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知识点-立体几何知识点常见结论总结


立体几何高考知识点和解题思想汇总
补充:三角形内心、外心、重心、垂心知识
四心的概念介绍: (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。

r />A

A
E

A M I E K
B O

A

F

F B G D

E

F

O

B

D

C

C

B

C

D H

C

垂心

重心

内心

外心

若 P 为 ?ABC 所在平面外一点, O 是点 P 在 ?ABC 内的射影,则: ①若 PA ? PB ? PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等, 则 O 为 ?ABC 的外心; ②若 P 到 ?ABC 的三边的距离相等, 则 O 为△ABC 的内心; ③若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直, 或 PA ? BC, PB ? AC 则 O 为 ?ABC 的垂心. 常见空间几何体定义: 1 .棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫做棱柱,这两个面为底面,其他面为侧面。 棱柱具有下列性质: 1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等; 2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类: 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形; 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 .棱锥:有一个面是多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫 做棱锥.(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面,这样的棱锥称为 正棱锥.正棱锥具有性质:①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线;②正棱锥的侧面是全等的等腰 三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高. (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体.

(3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形. 常见几何题表面积、体积公式 1.旋转体的表面积 (1) 圆柱的表面积 S =2 ? r 2 +2 ? rl ( 其中 r 为底面半径,l 为母线长) . (2) 圆锥的表面积 S = ? r 2 + ? rl (其中 r 为底面半径,l 为母线长) . (4) 球的表面积公式 S = 4? R 2 ( 其中 R 为球半径) . 2.几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式 V=Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 1 (2)锥体的体积公式 V= Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 3 4 3 (3)球的体积公式 V= π R (其中 R 为球半径). 3

三棱锥外接球问题:
一、正四面体:如图 1,正四面体 ABCD 的边长为 a,高为 h ,其外接球与内切球球心重合,且有 关系: r ? R ? h ?
6 6 6 a ,有外接圆球半径为: a ,内切圆的球半径为: a ,比例为 3:1。 3 4 12

D

E

A

C

B

答案:C 二、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。 【原理】 :长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b, c ,则体对角线长为 l ? a2 ? b2 ? c2 ,几何体
a 2 ? b2 ? c2 的外接球直径 2R 为体对角线长 l 即 R ? 2

【例题】 :在四面体 ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为 1, 6 , 3 ,若该四面体的四个顶 点在一个球面上,求这个球的表面积。 解: 因为:长方体外接球的直径为长方体的体对角线长,所以:四面体外接球的直径为 AE 的长

即: 4R 2 ? AB2 ? AC 2 ? AD2

, 4R2 ? 12 ? 32 ? 6 ? 16

2

所以 R ? 2 ,球的表面积为 S ? 4?R 2 ? 16?

二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。 【原理】 :直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 【例题】 已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上,AB ? BC 且 PA ? 7 ,PB ? 5 ,PC ? 51 ,AC ? 10 , : 求球 O 的体积。 解: AB ? BC 且 PA ? 7 , PB ? 5 , PC ? 51 , AC ? 10 , 因为 72 ? 51 ? 102 所以 PA ? PC
2

所以知 AC 2 ? PA2 ? PC 2 所以可得图形为:

P

在 Rt?ABC 中斜边为 AC 在 Rt?PAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O , 在 Rt?ABC 中 OA ? OB ? OC 在 Rt?PAC 中 OP ? OB ? OC

B

A

O

C

所以在几何体中 OP ? OB ? OC ? OA ,即 O 为该四面体的外接球的球心
R? 1 AC ? 5 2

4 500? 所以该外接球的体积为 V ? ?R 3 ? 3 3

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

立体几何总结:
1、多边形内角和:(n-2)*180 2、30°直角三角形,边比例 1:2:根 3 3、30°30°120°三角形边比例 1:1:根 3 4、45°直角三角形边比例 1:1:根 2 5、多面体的体积为 V,表面积为 S,则有内切球的半径为 r ?
3V S

第一节

平面、空间直线

(3) 、求异面直线所成角的方法:遵循“先作角,再求角”的原则,用平移转化法放到三角形中去求, 用好正、余弦定理.常用的平移方法有:①直接平移法;②中位线平移法(涉及中点时常用) ;③补形 法.
a

第二节 空间直线与平面
核心知识点 2、线面平行的判定和性质 (2)线面平行的判定(用来证明直线与平面平行的方法) : 下面的这些定理或推论也是证明线面平行的常用方法: ②如果平面外的两条平行直线 a , b 中有一条和平面 ? 平行,则另一条也和平面 ? 平行 ③如果两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面 ④如果直线 a 垂直于平面 ? ,平面 ? 外的直线 b 与直线 a 垂直,则直线 b 平行于平面 ? ⑤若平面 ? 和 ? 外的一直线 a 都垂直于同一个平面 ? ,则直线 a 平行于平面 ?

?

A

a

?

①(判定定理)如果平面 ? 外一直线 a 与平面内一直线 b 平行,则直线 a 与平面 ? 平行, ?

a

图 9-2-1

(3)线面平行的性质定理:(如图 9-2-2)如果直线 l 与平面 ? 平行,过直线 l 的平面 ? 与面 ? 相交,则交
?
l

线与直线 l 平行 3、线面垂直的判定和性质: (1)定义:如果一条直线与平面内的任何一条直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)线面垂直的判定(证明直线与平面垂直的方法) ①(判定定理 1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 ②(判定定理 2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ③ (面面平行的性质定理) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个, 则这条直线垂直于另一个平面。 ④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直,则在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面。 ⑤如果两个相交平面都垂直于第三个平面,则交线也垂直于第三个平面 (3)线面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行 4、线面角 (1)如果平面 ? 外的直线 l 与平面 ? 不平行也不垂直,则称直线 l 为平面 ? 的斜线,设 l ? ? ? O ,在 l 上 任取一点 P ( P 不与斜足 O 重合) ,过 P 作面 ? 的垂线,垂足为 P' ,则垂足 P' 与斜足 O 的连线 OP ' 叫做 斜线 l 在平面 ? 上的射影, l 与其射影 OP ' 的夹角 ? 叫做 l 与面 ? 所成的角。规定:当 l // ? 或 l ? ? 时,

? ? 0 ? , l ? ? 时 ? ? 90? ,于是线面角的范围是 [0? ,90? ] .
5、三垂线定理:一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 6、三垂线逆定理:一直线,如果和穿过这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直

7、 方法总结: 下面的几个结论是找垂足的有力工具: (1)若 P 为 ?ABC 所在平面外一点, O 是点 P 在 ?ABC 内的射影,则: ①若 PA ? PB ? PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等, 则 O 为 ?ABC 的外心; ②若 P 到 ?ABC 的三边的距离相等, 则 O 为△ABC 的内心; ③若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直, 或 PA ? BC, PB ? AC 则 O 为 ?ABC 的垂心. (2)面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

第三节 空间平面与平面
核心知识点: 1、面面平行的判定和性质 (1)面面平行的判定: ①(判定定理)如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (线面平 行 ? 面面平行) ②垂直于同一直线的两平面平行; (线面垂直 ? 面面平行) ③(面面平行的传递性)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (2)面面平行的性质 ①若两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面; (面面平行 ? 线面平行) ②若两个平行平面同时与第三个平面相交,则两交线平行; (面面平行 ? 线线平行) ③若一条直线垂直于两平行平面中的一个,则该直线也和另一个平面垂直; ④夹在两平行平面间的平行线段相等; ⑤经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行. 2、两个平行平面间的距离:如果直线 l 与两平行平面都垂直,垂足分别为 A, B ,则称线段 AB 的长为两 平行平面间的距离. 3、二面角的定义及表示方法: (1)定义:平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线发 出的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面; (2)表示方法:棱为 AB (或 l ) ,面为 ? , ? 的二面角记为 ? ? AB ? ? (或 ? ? l ? ? ) . 4、二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线,两射线所成的角叫做二 面角的平面角. (范围: [0? ,180? ] ) . 5、面垂直的判定和性质 (1)面面垂直的判定: ①(定义法)两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则称这两个平面垂直(即求证二面角 的平面角是直角) ②(判定定理)如果平面 ? 经过了平面 ? 的一条垂线,则 ? ? ? ; (线面垂直 ? 面面垂直) (2)面面垂直的性质: ①如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面; (面面垂直 ? 线面垂直) ②若两平面垂直,则经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 方法总结 (1)熟记面面平行和垂直的判定和性质的相关定理,能快速明确题目解体思路,比如,要证面面平行, 则只需去其中一个平面内找到两相交的直线与另一平面都平行即可;又如,证面面垂直,则只需在其中 一个平面内去找到一条直线与另一平面垂直即可,解题过程中应注意转化的思想; (2)有关面面平行和垂直的相关的定理之间的转化关系,要结合上节的知识; (3)与面面距离相关的问题:二面角的平面角的作法及求法将在第四、五节中系统地讲解.

第四节
核心知识点:

空间角

高考中立体几何题的计算常涉及“求角”“求距离”“求面积或体积”三类问题,其中“求角”问题几 、 、 乎年年涉及,求角问题包括异面直线所成的角,线面角及二面角的平面角. 三种空间角的概念及范围 (1)异面直线所成的角:过空间任一点分别引两异面直线的平行线,则此两相交直线所成的锐角(或 直角)叫做两异面直线所成的角.异面直线所成角的范围 . (2)直线与平面所成的角:①当 l // ? 或 l ? ? 时, l 与 ? 所成的角为 0 ? ;②当 l ? ? 时, l 与 ? 所成的 角为 90? ;③当 l 与 ? 斜交时, l 与 ? 所成的角是指 l 与 l 在面 ? 上的射影 l ' 所成的锐角.线面角的范围: . (3)二面角的平面角须具有以下三个特点:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的 两边与棱都垂直.二面角的范围: 方法总结: 1、求异面直线所成角的方法:主要通过平移转化法来作出异面直线所成的角,然后利用三角形的边角 关系(正、余弦定理)求角的大小,要注意角的范围. 2、求线面角的一般过程是: (1)在斜线上找到一个合适的点 P ,过 P 作面 ? 的垂线(注意垂足 P ' 的确 定) ,垂足 P ' 和斜足 A 的连线即为斜线 PA 在平面 ? 上的射影,则 ? PAP ' 即为所求; (2)将 ? PAP ' 放到
?PAP ' 或其它包含此角的三角形中去求.



说明:在解题过程中,我们会发现求角问题难在作角,其中又难在过平面外一点,作平面的垂线后,垂 足位置的确定.复习过程中应注意对常用的找垂足的方法进行归纳总结. 上面的(2)及下面的几个结论是找垂足的有力工具: (1)若 P 为 ?ABC 所在平面 外一点, O 是点 P 在 内的射影,则: ①若 PA ? PB ? PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等, 则 O 为 ?ABC 的外心; ②若 P 到 ?ABC 的三边的距离相等, 则 O 为 ?ABC △ABC 的内心; ③若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直, 或 PA ? BC, PB ? AC 则 O 为 ?ABC 的垂心. (2)面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面;

第五节 空间距离
核心知识点 点线距、点面距、线面距、面面距、两异面直线之间的距离是高考中常见求距离的问题. 常见的空间距离的求法: (1)求点到直线的距离 利用三垂线定理找到垂线段,垂线段就是所求; (2)点到平面的距离的求解方法 一般有两种:①直接求解法:从该点向平面引垂线,确定垂足位置,这里要用到两个平面垂直的性质定 理,求出点和垂足之间的距离即可. ②“体积代换法” :把点到平面的距离转化为以该点为顶点,平面内的一个三角形为底面的三棱锥的高, 再通过变换(从方便求高的角度)三棱锥顶点用等体积法,求点到平面的距离.

这种方法比较常用,应掌握. (3)直线到它的平行平面的距离 通常转化为直线上一个特殊点到平面的距离,要找到直线和它的平行平面的公垂面,直线和公垂面的垂 足就是这个特殊点,从这点向公垂面和已知平面的交线引垂线段,该垂线段就是直线到它的平行平面的 距离,还可以用等体积法求特殊点到平面的距离. (4)两个平行平面的距离 求解时,在一个面内任取一点,作它到另一平面的垂线段,垂线段的长就是所求.实质上也是点到平面 的距离.因此,点面距离的求解方法,对求解面到面的距离仍然适用. (5)两条异面直线间的距离 要注意定义中“都垂直且相交”的理解.两条异面直线的距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中 最段的一条.求解方法主要是定义法:找出两异面直线的公垂线段,求出其长度. (6)两点之间的球面距离 求法分三步:①计算两点之间的线段长;②计算两点对球心的张角 ? 即球心角(须用弧度表示) ; ③用弧长公式 l ? ? ? R球 计算大圆上两点之间的劣弧长即两点之间的劣球面距离. 方法总结:求空间距离的一般规律 (1)距离的求法有两种: ①直接法——第一步,作图.即先作出表示所求距离的线段;第二步:证明.即证明第一步中所作线段 就是所要求的距离;第三步:计算.解三角形求出这条线段. ②转移法——转化为其他易求的距离进而求解. (2)高考对于立体几何中“作图—证明—计算”的互相渗透,互相结合有明确的要求,所以用直接法求空 间距离的三个步骤缺一不可,而且要表述准确、清晰、简明,稍有不当,就有可能丢分.


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