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圆锥曲线中的定点、定值和最值问题


1.[2015·山西质监]已知动点 Q 与两定点(- 2,0),( 2,0)连线的斜率的乘积为- 1 ,点 Q 形成的轨迹为 M. 2 (1)求轨迹 M 的方程; → → (2)过点 P(-2,0)的直线 l 交 M 于 A,B 两点,且PB=3PA,平行于 AB 的直线与 M 位于 x 轴上方的部分交于 C,D 两点,过 C,D 两点分别作 CE,DF 垂直 x 轴于 E,F

两点,求四边形 CEFD 面积的最大值. 解 y y 1 (1)设 Q(x,y),则 · =- (x≠± 2), 2 x+ 2 x- 2
2

x 2 化简得轨迹 M 的方程为 +y =1(x≠± 2). 2 (2)由(1)知直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=my-2, 代入椭圆方程得(m +2)y -4my+2=0, Δ =8(m -2). 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4m 2 则 y1+y2= 2 ,①y1y2= 2 .② m +2 m +2 → → 由PB=3PA得,y2=3y1.③ 由①②③可得 m =4.经检验,满足 Δ >0. 不妨取 m=2,设直线 CD 的方程为 x=2y+n,代入椭圆方程得 6y +4ny+n -2=0,Δ =8(6-n ), 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 2 n -2 则 y3+y4=- n,y3y4= , 3 6 又由已知及 Δ >0,可得 2<n <6. 2 12-2n 又|x3-x4|=2|y3-y4|= , 3 1 2 2 2 2 2 6 2 2 2 则 S 四边形 CEFD= |y3+y4||x3-x4|= n ?6-n ?≤ × = , 2 9 9 2 3 当且仅当 n =3 时等号成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 所以四边形 CEFD 面积的最大值为 . 3 2.[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线 E:y =2px(p>0)的准线与 x 轴交 4 2 2 2 于点 K,过点 K 作圆 C:(x-2) +y =1 的两条切线,切点为 M,N,|MN|= . 3 (1)求抛物线 E 的方程; → → 9 (2)设 A、B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且OA·OB= (其中 O 为坐标原 4 点). ①求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 Q 的坐标; ②过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G、D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值. 解
2

? p ? (1)由已知得 K?- ,0?,C(2,0). ? 2 ?

2 2 设 MN 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|MR|= . 3 1 2 2 于是|CR|= |MC| -|MR| = , 3 |MC| |MC| p 2 所以|CK|= = =3,即 2+ =3,p=2,故抛物线 E 的方程为 y =4x. sin∠MKC sin∠CMR 2

?y1 ? ?y2 ? (2)①证明:设直线 AB 的方程为 x=my+t,A? ,y1?、B? ,y2?, ?4 ? ?4 ?
?y =4x ? 联立? ?x=my+t ?
2

2

2

得 y -4my-4t=0,则 y1+y2=4m,y1y2=-4t.
2

2

?y1y2? 9 → → 9 由OA·OB= 得: +y1y2= ? y1y2=-18 或 y1y2=2(舍去), 4 16 4 9 ?9 ? 即-4t=-18? t= ,所以直线 AB 过定点 Q? ,0?; 2 ?2 ? ②由①得|AB|= 1+m |y2-y1|= 1+m · 16m +72, 同理得,|GD|=
2 2 2

? 1?2 1+?- ? |y2-y1|= ? m?

1 1+ 2· m

16 2 +72, m 1+ 1 2 m 16 2 +72 m

1 1 2 2 则四边形 AGBD 面积 S= |AB|·|GD|= 1+m · 16m +72 2 2 =4

?2+?m2+ 12??·?85+18?m2+ 12?? ? ? ?? ? ? ?? m ?? ? m ?? ? ? ?

1 2 2 令 m + 2=μ (μ ≥2),则 S=4 18μ +121μ +170是关于 μ 的增函数, m 故 Smin=88.当且仅当 m=±1 时取到最小值 88.

x y 3.[2015·洛阳统考]设 M 是焦距为 2 的椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上一点,A,B 是椭 a b 1 圆 E 的左、右顶点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=- . 2 (1)求椭圆 E 的方程; x y x0x y0y (2)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上点 N(x0, y0)处切线方程为 2 + 2 =1.若 P 是直线 x a b a b =2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C,D,求证直线 CD 恒过定点,并求出该 定点坐标. 解 (1)由题意,2c=2,c=1,A(-a,0),B(a,0),设 M(x,y),
2 2 2

2

2

1 y y 1 y 1 ∵k1k2=- ,∴ · =- ,即 2 2=- . 2 x+a x-a 2 x -a 2 x y ∵M(x,y)在椭圆 E 上,∴ 2+ 2=1, a b x? 2? b ?1- 2? 2 1 b 1 ? a? 2 2 ∴ 2 2 =- ,∴ 2= ,∴a =2b . x -a 2 a 2 又 a -b =c =1,∴a =2,b =1. x 2 ∴椭圆 E 的方程为 +y =1. 2 (2)证明:设切点坐标为 C(x1,y1),D(x2,y2),P(2,t), x1x x2x 则切线方程分别为 +y1y=1, +y2y=1. 2 2 ∵两切线均过点 P, 2x1 2x2 ∴ +ty1=1, +ty2=1,即 x1+ty1=1,x2+ty2=1, 2 2 ∴直线 CD 的方程为 x+ty=1. 对于任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,即直线 CD 恒过定点(1,0). 4.[2015·大连双基测试]已知过点(2,0)的直线 l1 交抛物线 C:y =2px(p>0)于 A,B 两点,直线 l2:x=-2 交 x 轴于点 Q. (1)设直线 QA,QB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值; → → (2)点 P 为抛物线 C 上异于 A, B 的任意一点, 直线 PA, PB 交直线 l2 于 M, N 两点, OM·ON =2,求抛物线 C 的方程. 解 (1)设直线 l1 的方程为:x=my+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2). ,得 y -2pmy-4p=0,y1+y2=2pm,y1·y2=-4p.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?x=my+2 联立方程? 2 ?y =2px ?

k1+k2= =0.

y1 y2 y1 y2 2my1y2+4?y1+y2? -8mp+8mp + = + = = x1+2 x2+2 my1+4 my2+4 ?my1+4??my2+4? ?my1+4??my2+4?

y1-y0 -4p+y1y0 (2)设点 P(x0,y0),直线 PA:y-y1= (x-x1),当 x=-2 时,yM= , x1-x0 y1+y0 -4p+y2y0 同理 yN= . y2+y0 -4p+y2y0 -4p+y1y0 → → 因为OM·ON=2,所以 4+yNyM=2, · =-2, y2+y0 y1+y0 16p -4py0?y2+y1?+y0y1y2 =-2, 2 y2y1+y0?y2+y1?+y0 16p -8p my0-4py0 2 =-2, -4p+2pmy0+y0 1 2 p= ,抛物线 C 的方程为 y =x. 2 5 .[2015·贵阳监测 ]已知椭圆 C 的两个焦点是 (0 ,- 3) 和 (0 , 3) ,并且经过点
2 2 2 2 2

? 3 ? ? ,1?,抛物线 E 的顶点在坐标原点,焦点恰好是椭圆 C 的右顶点 F. ?2 ?
(1)求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程; (2)过点 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1、l2,l1 交抛物线 E 于点 A、B,l2 交抛 → → 物线 E 于点 G、H,求AG·HB的最小值. 解 = y x (1)设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),焦距为 2c,则由题意得 c= 3,2a a b 3 2 2 2 2 +?1- 3? =4,∴a=2,b =a -c =1, 4
2 2 2

3 2 +?1+ 3? + 4

y 2 ∴椭圆 C 的标准方程为 +x =1. 4 ∴右顶点 F 的坐标为(1,0). 设抛物线 E 的标准方程为 y =2px(p>0), p 2 ∴ =1,2p=4,∴抛物线 E 的标准方程为 y =4x. 2 1 (2)设 l1 的方程:y=k(x-1),l2 的方程:y=- (x-1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、G(x3, k y3)、H(x4,y4).
? ?y=k?x-1? 由? 2 ?y =4x ?
2

消去 y 得:k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

4 4 2 4 ∴Δ =4k +16k +16-4k >0,x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 同理 x3+x4=4k +2,x3x4=1, → → → → → → ∴AG·HB=(AF+FG)·(HF+FB) → → → → → → → → =AF·HF+AF·FB+FG·HF+FG·FB → → → → =|AF|·|FB|+|FG|·|HF| =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) 4 2 =8+ 2+4k k ≥8+2 4 2 2·4k =16, k
2

4 → → 2 当且仅当 2=4k ,即 k=±1 时,AG·HB有最小值 16. k x y 6. [2015·贵州八校联考(二)]过椭圆 2+ 2=1 的右焦点 F 作斜率 k=-1 的直线交椭圆 a b → → ? 1? 于 A,B 两点,且OA+OB与 a=?1, ?共线. ? 3? (1)求椭圆的离心率; → → → 2 2 (2)设 P 为椭圆上任意一点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R),证明:m +n 为定值. 解
2 2 2 2

(1)设 AB:y=-x+c,直线 AB 交椭圆于两点,A(x1,y1),B(x2,y2)
2 2 2 2

?b x +a y =a b ? ? ?y=-x+c ?
2

? b x +a (-x+c) =a b ,(b +a )x -2a cx+a c -a b =0
2 2 2 2

2 2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2a c a c -a b x1+x2= 2 2,x1x2= 2 2 , a +b a +b → → ? 1? OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与 a=?1, ?共线, ? 3? 3(y1+y2)-(x1+x2)=0,3(-x1+c-x2+c)-(x1+x2)=0,即 3c 6a c 6 2 2 2 2 x1+x2= ,a =3b ,c= a -b = ,e= = . 2 3 a 3 → 2 2 2 2 2 (2)证明:a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b ,设 M(x,y)为椭圆上任意一点,OM=(x, → → → 2 y),OM=mOA+nOB,(x,y)=(mx1+nx2,my1+ny2),点 M(x,y)在椭圆上,(mx1+nx2) +3(my1 +ny2) =3b ,即 m (x1+3y1)+n (x2+3y2)+2mn(x1x2+3y1y2)=3b . 3c 3 2 2 1 2 2 ∴x1+x2= ,a = c ,b = c , 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a c -a b 3 2 x1x2= 2 2 = c , a +b 8 3 2 9 2 2 2 ∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(-x1+c)(-x2+c)=4x1x2-3c(x1+x2)+3c = c - c +3c =0, 2 2 将 x1+3y1=3b ,x2+3y2=3b 代入得 3b m +3b n =3b ,即 m +n =1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

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