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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第3部分 专题1 第1讲 送分题——准确解,一分不丢


第一讲

送分题——准确解,一分不丢

高考试卷虽然是选拔性的试卷,但是试卷中仍然有相当部分 的送分题.所谓送分题是指知识点基础,数据计算量小,解题方 法基本的试题.这部分试题往往因为简单,导致许多考生思想重 视不够, 从而失分, 特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此. 笔 者以多年送考的经验告诉大家, 只要处理好以下几个方面的问题, 即

可达到“送分题,一分不丢”的效果,使考生能在高考考场上 取得开门红,增强考试的信心.

使用概念要明确
[例 1] (2013· 大连模拟)若复数 z=(a2+2a-3)+(a+3)i ( B.-3 或 1 D.1 )

为纯虚数,则 a 的值是 A.-3 C.3 或-1

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

[错因] 限制条件.
[正解]

本题易混淆复数的有关概念,忽视虚部不为零的

因为复数 z=(a2+2a-3)+(a+3)i 为纯虚数, 所以 解得 a=1.

?a2+2a-3=0, ? ? ?a+3≠0, ?

[答案]

D

[反思领悟]

利用复数的有关概念解题时,一定要过好审题关,

仔细辨析试题中的待求问题;在准确用好概念的前提下对试题进行 解答,这样才能避免应用概念出错.如本题,若能搞清复数 z 为纯虚 数的概念,只需令复数 z 的实部为零,虚部不为零,从而把求参数问 题转化为求方程组解的问题,即可避开概念的陷阱.

[例 2]

已知:p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)· (x-m-1)≤0,

若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围为______.

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _______________________________ ____________________________________________ ___________________________________________ ____________________________________________ ___________________________________________
[错因] 本题的易错点是对充要条件的概念把握不清,判断

错误,并且不会将充要条件进行转化.

[正解]

∵p:-2≤x-3≤2,1≤x≤5.

∴綈 p:x<1 或 x>5.

易得 q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1.

又∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ?m+1≤5, ?

∴2≤m≤4.

[答案]

[2,4]

[反思领悟]

对充要条件的判定需注意:(1)要善于举出反例:

如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时, 可以通 过举出恰当的反例来说明. (2)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么綈 p 是

綈 q 的必要不充分条件.同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那

么綈 p 是綈 q 的充分不必要条件; 如果 p 是 q 的充要条件, 那么綈

p 是綈 q 的充要条件.

作图用图要准确
[例 3] 函数
?4x-4,x≤1, ? f(x)=? 2 ?x -4x+3,x>1 ?

的图像和函数 g(x)= ( )

log2 x 的图像的交点个数是 A.4 C.2 B.3 D.1

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _______________________________ ___________________________________________ __________________________________________ ___________________________________________ __________________________________________

[错因]

不能准确作出两函数在相应区间的图像以及两函数

图像的相对位置关系,只是想当然、没有依据地乱作图像,很容 易导致错误.
[正解] 分别在同一坐标系内作出两函

数的图像.如图所示,观察易知两函数图像 有且仅有 3 个交点.

[答案]

B

[反思领悟]

在判断函数图像交点的个数或利用函数图像判

断方程解的个数时,一定要注意函数图像的相对位置关系,可以 1 取特殊值验证一下,如取 x=2时,4x-4<log2x,即此时对函数图 像上的点应在相应直线的上侧,因此我们可以通过取特殊值的方 法相对准确地确定两函数图像的相对位置关系.

[例 4] 已知函数 f(x)=ax2+bx-1(a,b∈R 且 a>0)有两个零 b 点,其中一个零点在区间(1,2)内,则 的取值范围为 a+1 A.(-∞,1) C.(-2,1] B.(-∞,1] D.(-2,1) ( )

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

[错因]

不能根据函数解析式的特点以及零点所在区间确

定 a,b 所满足的条件,导致找不到解决问题的突破口,或者忽 视 a>0 的限制条件,导致错解.

[正解]

因为 a>0,所以二次函数 f(x)的图像开口向上,又

因为 f(0)=-1, 所以要使函数 f(x)的一个零点在区间(1,2)内, 则 ?a>0, ? 有?f?1?<0, ?f?2?>0, ? ?a>0, ? 即?a+b-1<0, ?4a+2b-1>0. ?

如图所示的阴影部分是上述不等式组所 b 确定的平面区域,式子 表示平面区域内 a+1 的点 P(a,b)与点 Q(-1,0)连线的斜率.而 1-0 直线 QA 的斜率 k= =1,直线 4a+2b-1=0 的斜率为 0-?-1? -2,显然不等式组所表示的平面区域不包括边界,所以 P,Q 连线的斜率的取值范围为(-2,1).

[答案]

D

[反思领悟]

本题是一个函数的零点取值范围与线性规划

的综合问题,先结合函数图像确定函数在指定区间存在零点的 条件,再确定不等式组所表示的平面区域,将目标函数转化为 平面区域内的点与定点连线的斜率,根据图形判断其取值范 围.在作图时要注意不等式组中各个不等式是否带有等号,否 则很容易忽视边界值而导致错解.

思考问题要严谨
[例 5] (2013· 福州模拟)已知数列{an}中 an=n2-kn(n∈N*), 且{an}单调递增,则 k 的取值范围是 A.(-∞,2] C.(-∞,2) B.(-∞,3) D.(-∞,3] ( )

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

[错因]

认为 an 是关于 n 的二次函数, 定义域为整数集, n} 又{a

k 递增,则必有2≤1,即 k≤2,思维不严谨导致解题错误.
[正解] an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,由

于{an}单调递增,故应有 an+1-an>0,即 2n+1-k>0 恒成立,分 离变量得 k<2n+1,故只需 k<3 即可.

[答案]

B

[反思领悟]

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有

区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列 单调,其所在函数不一定单调,关键原因在于数列是一个定义域 为正整数 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数.故对于 数列的单调性的判断一般要通过比较 an+1 与 an 的大小来判断: 若 an+1>an,则数列为递增数列;若 an+1<an,则数列为递减数列.

[例 6] 如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若 ???? ??? ? ???? AD =x AB +y AC ,则 x=________,y=________.

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _______________________________ ___________________________________________ __________________________________________ ___________________________________________ __________________________________________

[错因]

本题想利用向量的基本运算,但由于计算费时,时

间紧迫,所以思路出现阻碍,致使问题无法求解或求解失误.

[正解]

以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标

系,且取单位长度为 AB,则问题转化为求 D 点坐标(x,y).易知 6 BC= 2,所以 DE= 2,所以 BD=DEsin 60° 2 .易知直线 BD = 3 的倾斜角是 45° ,所以 D 点纵坐标 y=BDsin 45° 2 ,D 点的横 =
? 3 3 3? ? 坐标 x=1+BDcos 45° =1+ 2 ,所以 D 点坐标为?1+ , ?. 2 2? ? ? 3 3 [答案] 1+ 2 2

[反思领悟]

在试题中不含有向量的坐标时, 要善于根

据问题的实际情况,在不改变问题本质的情况下建立适当 的坐标系,把向量问题代数化,可以降低问题的难度.

特殊情况要谨记
[例 7] 已知 l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0, ( 1 B.-6 1 D.0 或-6 )

且 l1∥l2,则 a 的值为 A.0 C.6

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ________________________________ ____________________________________________ ___________________________________________ ____________________________________________ ___________________________________________

[错因]
[正解]

本题易出现忽略直线斜率不存在的特殊情况致误.
法一:当直线斜率不存在,即 a=0 时,有 l1:

3x-5=0,l2:-x-2=0,符合 l1∥l2; 当直线斜率存在时, 3 3a-1 5 2 1 l1∥l2?-2a= a 且2a≠-a?a=-6. 1 故使 l1∥l2 的 a 的值为-6或 0.

法二:l1∥l2?3· (-a)-(3a-1)· 2a=0, 1 得 a=0 或 a=- . 6 1 故使 l1∥l2 的 a 的值为 0 或- . 6

[答案]

D

[反思领悟]

在给定直线的一般方程,利用直线的位置关

系,求参数的值时,一定要注意直线斜率存在性的讨论,不能 想当然地以斜率存在进行求解,致使答案错误.为避免讨论, 此类题可采用法二解决.

[例 8]

(2013· 郑州模拟)过点(0,3)作直线 l 与抛物线 y2=4x 只 ( )

有一个公共点,则直线 l 的条数为 A.0 C.2 B.1 D.3

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
[错因] 本题易只考虑斜率 k 存在的情况, 而忽视斜率 k 不存

在以及直线 l 平行于抛物线对称轴时的两种情形.

[正解]

当斜率 k 存在且 k≠0 时,由题中条件知,直线 l 的方

1 程为 y=3x+3; 当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=3,此时 l 平行于对称轴,且与
?9 ? 抛物线只有一个交点?4,3?; ? ?

当 k 不存在时,直线 l 与抛物线也只有一个公共点,此时 l 的 方程为 x=0. 综上,过点(0,3)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线 l 的 1 方程为 y=3x+3,y=3,x=0,共 3 条.
[答案] D

[反思领悟]

解答直线与抛物线位置关系的相关问题时,

注意直线与抛物线的两种特殊的位置关系:直线和抛物线的 对称轴垂直与直线和抛物线的对称轴平行.

[例 9]

数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{an·n+1}是公比为 a

q(q>0)的等比数列,则数列{an}的前 2n 项的和 S2n=________. [尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ________________________________ ____________________________________________ ___________________________________________ ____________________________________________ ___________________________________________
[错因] 对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊

情况,造成概念性错误.再者没有从定义出发研究条件中的数列 {an·n+1}是公比为 q(q>0)的等比数列, a 得不到数列{an}的奇数项和 偶数项成等比数列,从而找不到解题的突破口,使思维受阻.

[正解]

由数列{an·n+1}是公比为 q 的等比数列,得 a

an+1an+2 an+2 =q? a =q, anan+1 n

这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都 是 q,又 a1=1,a2=2, 所以,当 q≠1 时,S2n=a1+a2+a3+a4+?+a2n-1+a2n=(a1+a3+a5+? a1?1-qn? a2?1-qn? 3?1-qn? +a2n-1)+(a2+a4+a6+?+a2n)= + = ; 1-q 1-q 1-q 当 q=1 时,S2n=a1+a2+a3+a4+?+a2n-1+a2n =(a1+a3+a5+?+a2n-1)+(a2+a4+a6+?+a2n) =(1+1+1+?+1)+(2+2+2+?+2) =3n.
[答案] 3?1-qn? ? ? ,q≠1, 1-q ?

?3n,q=1 ?

[反思领悟]

(1)本题中拆成的两个数列都是等比数列, 其中

an+2 an =q 是解题的关键; (2)不要认为奇数项、偶数项都成等比数列,且公比相等, 就是整个数列成等比数列,解题时要慎重,写出数列的前几项 进行观察、比较就能得出正确结论; (3)对等比数列的求和一定要注意公比为 1 这种特殊情况, 高考往往就是在此设计陷阱,使考生考虑的问题不全面而导致 解题错误.

问题分类要全面

[例 10] 取值范围是

已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项和 S3 的 ( B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞ ,-1]∪[3,+∞) )

A.(-∞,-1] C.[3,+∞ )

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

[错因]

本题易忽视对公比大于 0 和小于 0 的讨论.

[正解] 所以

因为等比数列{an}中 a2=1,

? 1? 1 ?1+q+ ?=1+q+ . S3=a1+a2+a3=a2 q? q ?

所以当公比 q>0 时, 1 S3=1+q+q≥1+2 当公比 q<0 时,
? 1? S3=1-?-q-q?≤1-2 ? ? ? 1? ?- ?-q?· q?=-1(当且仅当 ? ?

1 q·=3(当且仅当 q=1 时,等号成立); q

q=-1

时,等号成立). 所以 S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).
[答案] D

[反思领悟]

在利用基本不等式解决函数的值域问题

时,要注意其使用条件和等号成立的条件,即所谓“一正、 1 a b 二定、三相等”.例如,求函数 y=x+x的值域和b+a的取 值范围问题时,要注意分类讨论.

[例 11]

2 (2013· 滨州模拟)设函数 f(x)=x-x-aln x(a∈R).

(1)当 a=3 时,求 f(x)的极值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
[错因] 本题的易错点是在讨论函数 y=f(x)的单调性时,因 缺乏分类讨论意识,导致解题错误;或者有分类讨论意识,但分 类标准模糊导致分类不全致误.

[正解]

(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

2 2 3 x -3x+2 ?x-1??x-2? 当 a=3 时,f′(x)=1+x2-x= = , x2 x2

令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=2. f′(x)与 f(x)随 x 的变化如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) + 递增

1 0

(1,2) -

2 0 极小值

(2,+∞) + 递增

极大值 递减

所以 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)=-1; 在 x=2 处取得极小值,f(2)=1-3ln 2. x2-ax+2 2 a (2)f′(x)=1+x2-x= . x2 令 g(x)=x2-ax+2,其判别式 Δ=a2-8, ①当|a|≤2 2时,Δ≤0,f′(x)≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单 调递增; ②当 a<-2 2时,Δ>0,g(x)=0 的两根都小于 0,所以在 (0,+∞)上,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增;

a- a2-8 ③当 a>2 2时,Δ>0,g(x)=0 的两根为 x1= , 2 a+ a2-8 x2= ,且都大于 0, 2 f′(x)与 f(x)随 x 的变化如下表:

x f′(x) f(x)

(0, x1) + 递增

x1 0

(x1, x2) -

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 递增

极大值 递减


?a- 在? ? ?

? a- ? f(x)在?0, ?

? a2-8? ?a+ a2-8 ? ? ? ,? ,+∞?上单调递增, ? 2 2 ? ? ?

a2-8 a+ a2-8? ? , ?上单调递减. 2 2 ?

综上,当 a≤2 2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a>2 2
? a- ? 时,f(x)在?0, ? ?a- ? ? ? ? a2-8? ?a+ a2-8 ? ? ? ,? ,+∞?上单调递增,在 ? 2 2 ? ? ?

a2-8 a+ a2-8? ? , ?上单调递减. 2 2 ?

[反思领悟]

判断含参数的单调性问题应注意: 先树立分类

讨论的思想意识,做题时应先对问题作深入的研究,明确其分 类的标准,如本题中要讨论函数 f(x)的单调性,应讨论 f′(x)的 符号,即讨论 x2-ax+2 的符号,从而应分 Δ≤0 与 Δ>0 两种情 况讨论;由于考虑到函数的定义域为(0,+∞),应讨论 f′(x) =0 的两根与定义域的关系, 故再次分 a<-2 2和 a>2 2两种情 况,一般地,与 y=ax2+bx+c 有关的讨论有三种依据:a 取值, Δ 取值,根的大小.

等价转化要严谨

[例 12] 曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有公共点,则实 数 b 的取值范围为________. [尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
[错因] 本题易直接联立 y= 1-x2与 y=x+b, 整理为 2x2+2bx

+b2-1=0,然后错误地认为曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有公 共点等价于方程 2x2+2bx+b2-1=0 无解,从而导致解题错误.

[正解]

如图,根据图像可知:当 b> 2

或 b<-1

?y= 1-x2, ? 时,方程组? ?y=x+b ?

无解,即

曲线 y= 1-x2与直线 y=x+b 没有交点.故 b 的取值范围为(-∞,-1)∪( 2,+∞).
[答案] (-∞,-1)∪( 2,+∞)

[反思领悟]

在研究直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点

的个数时,通常联立与曲线的方程,通过方程组解的个数来判 断.但是在解决此类问题时,一定要注意圆或圆锥曲线是否为 完整的圆或圆锥曲线,否则应画出图形,利用数形结合法解决, 如本例中曲线 y= 1-x2表示的图形为半圆而不是整个圆, 故应 采用数形结合的方法求解.

[例 13]

1 若 sin x+sin y=3,则 sin y-cos2x 的最大值为

____________. [尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ?1 ? 2 [错因] 本题易将 sin y-cos x 转化为?3-sin x?-cos2x= ? ?
2 sin x-sin x-3,误认为 sin x∈[-1,1],致使问题转化不等
2

价而导致解题错误.

[正解]

1 由已知条件有 sin y=3-sin x,

?1 ? 2 ? -sin x?∈[-1,1],结合 sin x∈[-1,1],得- ≤sin x≤1, 且 sin y= 3 3 ? ?

1 2 2 2 而 sin y-cos x=3-sin x-cos x=sin x-sin x-3,
2

? 2 ? ?- ≤t≤1?, 令 t=sin x 3 ? ? ? 2 ? 1? 11? 2 则原式=t2-t-3=?t-2?2-12?-3≤t≤1?, ? ? ? ?

1 因为对称轴为 t=2, 2 2 4 故当 t=-3,即 sin x=-3时,原式取得最大值9. 4 [答案] 9

[反思领悟]

在利用换元法解决问题时,要注意换元后自

变量取值范围的变化,当题目条件中出现多个变元时,要注意 变元之间的相互约束条件,如本例中易忽视等式 sin x+sin y= 1 3中两个变量的相互制约,即由于-1≤sin y≤1,所以 sin x 必 1 需满足-1≤3-sin x≤1 这个隐含的约束条件.

推理论证要严谨
[例 14] (2013· 南京师大附中模拟)如图,

正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互 相垂直,EF∥BD,AB= 2EF. (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:BF⊥BD.

[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

[错因]

本题易失分的原因有以下两点:

(1)推理论证不严谨,在使用线面位置关系的判定定理、 性质定理时忽视定理的使用条件,如证明 BF∥平面 ACE 时, 易忽视指明 BF?平面 ACE; (2)线面位置关系的证明思路出错,缺乏转化意识,不知 道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的.

[正解]

(1)设 AC 与 BD 交于 O 点,连接 EO.

在正方形 ABCD 中, 2BO=AB, 又因为 AB= 2EF, ∴BO=EF. 又∵EF∥BD, ∴四边形 EFBO 是平行四边形,∴BF∥EO, 又∵BF?平面 ACE,EO?平面 ACE, ∴BF∥平面 ACE.

(2)在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 又∵正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂 直,BD?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE. ∵EO?平面 ACE,∴BD⊥EO. ∵EO∥BF,∴BF⊥BD.

[反思领悟]

证明空间线面位置关系的基本思想是转化与

化归,根据线面平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间 的转化,如本题第(2)问是证明线线垂直,但分析问题时不能只 局限在线上, 要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线 平行的直线归结到某个平面上), 通过证明线面的垂直达到证明 线线垂直的目的,但证明线面垂直又要借助于线线垂直,在不 断的相互转化中达到最终目的.解决这类问题时要注意推理严 谨,使用定理时要找足条件,书写规范等.

[例 15]

已知点 A(x1,ax1),B(x2,ax2) 是函数 y=ax(a>1)

的图像上任意不同两点,依据图像,可知线段 AB 总是位于 A,

a x 1 + a x 2 x1 + x2 B 两点之间函数图像的上方, 因此有结论 >a 2 成立. 运 2
用类比思想,可知若点 C(x1,sin x1),D(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x∈(0, π))的图像上的不同两点, 则类似地有____________成立.
[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

[错因]

sin x1+sin x2 x1+x2 本题通过类比推理,易得“ >sin 2 ” 2

的错误结论,其错误的原因是类比推理不严谨,未真正读懂题意, 未能把握两曲线之间相似的性质,导致得出错误结论. [正解] 运用类比推理与数形结合,可知 y=sin x(x∈(0,π))的
sin x1+sin x2 图像是上凸, 因此线段 CD 的中点的纵坐标 总是小于函 2 数 y=sin
?x1+x2 x1+x2? x(x∈(0,π))图像上的点? ,sin 2 ?的纵坐标,即 ? 2 ?

sin x1+sin x2 x1+x2 <sin 2 成立. 2 sin x1+sin x2 x1+x2 [答案] <sin 2 2

[反思领悟]

类比推理是从特殊到特殊的推理,求解有关类

比推理题时,应找出两类事物之间的相似性和一致性,用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.类比 推理的关键是找到合适的类比对象,否则就失去了类比的意义.

运算过程要合理

[例 16]

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,

且 a=1,c= 3. π (1)若角 C=3,则角 A=________; π (2)若角 A=6,则 b=________.
[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

[错因]

在用正弦定理解三角形时,易出现丢解或多解的

asin C 错误, 如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大, 在求得 sin A= c 1 π 5π =2后,得出角 A= 6 或 6 ;在第(2)问中又因为没有考虑角 C csin A 3 π π 有两解, sin C= a = 2 , 由 只得出角 C=3, 所以角 B=2, 解得 b=2,这样就出现了丢解的错误.

[正解]

a c asin C 1 (1)由正弦定理sin A=sin C, sin A= c =2, 得

π 又 a<c,∴A<C,∴A=6. a c csin A 3 π 2π (2)由sin A=sin C,得 sin C= a = 2 ,得 C=3或 3 . π π 当 C=3时,B=2,可得 b=2; 2π π 当 C= 3 时,B=6,此时得 b=1. π [答案] (1)6 (2)2 或 1

[反思领悟]

已知两边及其中一边的对角解三角形时, 注

意要对解的情况进行讨论,讨论的根据:一是所求的正弦值 是否大于 1,当正弦值小于或等于 1 时,还应判断各角之和 与 180° 的关系;二是两边的大小关系.

[例 17]

x2 y2 双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,

若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围 为________.
[尝试解答] _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________
[错因] 本题容易因忽视特殊情况而出错.因为当点 P 在右

顶点处,∠F1PF2=π,所以 0<∠F1PF2≤π.如果忽视特殊情况, 就会出现 0<∠F1PF2<π 的错误.

[正解]

如图所示,设|PF2|=m,

∠F1PF2=θ(0<θ≤π),当点 P 在右顶 点处时,θ=π. 由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2= m2+(2m)2-4m2cos θ,且||PF1|-|PF2||=m=2a. m2+?2m?2-4m2cos θ 2c 所以 e=2a= = 5-4cos θ. m 又-1≤cos θ<1,所以 e∈(1,3].

[答案]

(1,3]

[反思领悟]

本题在求解中稍不注意,就会出现漏掉特殊情

况的错误.在平时的训练中应该加强对解题的监控,注意多研究 问题的各种情况,以形成全面思考,周密答题的良好习惯.这对 考生来说,是非常重要的.

“12+4”提速专练卷(一~五)


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