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等比数列教案


等比数列
一、课题名称:等比数列 二、教学目标: (1) 知识与技能: 经过实例观察与举例分析, 发现等比数列项与项之间的 “等 比”关系,理解等比数列的概念。 (2) 过程与方法: 通过类比等差数列通项公式的推导过程, 经历观察、 归纳、 猜想等过程, 探索发现等比数列的通项公式及其性质并且会用公式解决一些简单 的问题,提高抽象概括与类比推理能力。 (3)情感态度与价值观:经过实例分析与探索过程,感受等比数列的应用价 值,体会建立等比数列模型的基本思想方法,激发数学学习的兴趣,体现数学的 文化价值。 三、教学重点、难点、关键 (1)重点:理解等比数列的定义,类比等差数列探索等比数列的通项公式并 且会用公式解决一些简单问题。 (2)难点:分析具体问题的情境,建立等比数列模型,并且运用等比数列定 义与通项公式解决有关问题。 (3)关键:发现等比数列的项与项之间的“等比”关系,探索发现等比数列 通项公式,体会等比数列定义、递推公式及通项公式的作用。 四、教学方法:讲授法、直观演示法、类比讨论法 五、教具学具准备:黑板、粉笔、相关教具 六、教学过程: (1)复习: 和大家一起回顾前面所学过的等差数列的一些内容,等差数列的定义:一个 数列从第二项起, 每一项与它前一项的差是同一个常数,那么我们叫这个数列为 等差数列。 我们用数学符号来表示一下这个定义是: an

? an?1 ? d ?n ? 2?

接着,我们来回忆一下等差数列的通项公式: an 这里我们把 a1 叫做首项, d 叫做公差。

? a1 ? ?n ?1?d

(2)引入课题: 复习了前面所学的知识, 大家对数列也有了更深入的了解,下面我们来举几 个实际生活中的例子,看看它们之间存在着什么样的关系? ?细胞的有丝分裂:是由一个细胞分裂成两个细胞,两个细胞分裂成四个细 胞,四个细胞分裂成八个细胞,以此类推。 通过细胞有丝分裂这一现象我们可以得到一组数列:

1,2,4,8,16,??
?古代学者庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。 ” 我们用现在汉语来说就是:一尺长的木棒,每天取它的一半,那永远也去不 完。把这个木棒看作单位“1” ,我们得到一组数列:

1 1 1 1, , , ,?? 2 4 8
大家观察一下这两组数列,看看它们各自有什么特点? (3)探究新知 ?定义: 通过观察这两个实际生活中的问题,我们不难发现:它们相邻两项之间是比 的关系, 并且是每一项与它前一项的比都是同一个常数。类比刚刚复习的等差数 列,在等差数列中我们把每一项与它前一项的差叫做公差,用字母 d 来表示, 在这里我们把每一项与它前一项的比叫做公比,用字母 q 来表示。通过上面的 观察、归纳我们来叙述一下等比数列的定义。 等比数列:一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母 q 表 示。 学习了等比数列的定义, 为了加深同学们对等比数列的理解,我们来看下面 几个例子。 举例:⑴ ⑵

1,3,9,27,??

2,0,2,0,??

⑶ ⑷

1,?1,1,?1,??

1, a, a 2 , a 3 , ??

大家判断一下,它们是否为等比数列。是,请说出公比;不是,请说 出理由。 单独把⑷拿出来讨论,引出 q

? 0 ,任意一项都不能为零。

返回定义,强调在等比数列的定义中, q和an 均不能为零。 用数学符号来表示等比数列的定义:

an ? q?n ? 2, q ? 0, an ? 0? an?1
?通项公式:

?an ? 假设:在等比数列 中,a1 , a2 , a3 ,?, an , ?公比为q
那么根据定义我们可以得到:

a2 ? q, a2 ? a1 ? q a1 a3 ? q, a3 ? a2 ? q ? a1 ? q ? q ? a1 ? q 2 a2
3 a4 ? q, a4 ? a3 ? q ? a1 ? q 2 ? q ? a1 ? q a3

?? an ? q, an ? a1 ? q n?1 ?a1 , q ? 0 ? an?1
于是我们就得到了用首项 a1 和公比 q 表示 an 的式子, 我们把它叫做等比数 列的通项公式。 (4)巩固练习 回顾刚刚引入的几个例子, 写出等比数列的通项公式,并依此求出它们的第 9 项。 填写等差数列与等比数列的对比表格,加深对知识的记忆和了解。 (5)小结与作业

小结:等比数列与等差数列的定义、通项公式及其性质。类比探究等比数列 的通项公式的方法有观察、归纳、猜想等。 作业:教材 53 页,习题 2.4A 组第 1、2 题。


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