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新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)


新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1? x2 1.设 y ? ,则 y ' ? ( ) . sin x A. C.
? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

B.

?

2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

D. ) .
1 5

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

2.设 f ( x) ? ln x 2 ? 1 ,则 f ' (2) ? ( A.
4 5

B.

2 5
x ?3

C.

D.

3 5

3.已知 f (3) ? 2, f ' (3) ? ?2 ,则 lim A. ? 4 B. 0

2 x ? 3 f ( x) 的值为( x?3

) .

C. 8 ) .

D.不存在

4.曲线 y ? x 3 在点 (2,8) 处的切线方程为( A. y ? 6 x ? 12 C. y ? 8x ? 10 5.满足 f ( x) ? f ?( x) 的函数是 A . f(x)=1-x B. f(x)=x

B. y ? 12x ? 16 D. y ? 2 x ? 32 C . f(x)=0 D . f(x)=1

6.曲线 y ? 4 x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是 A . y ? 7x ? 4 B.
y ? 7x ? 2

C.

y ? x?4

D.

y ? x?2

7.若关于 x 的函数 y ? mx2m?n 的导数为 y ? ? 4 x ,则 m ? n 的值为 A. -4 B. C. D . 4 ?1 8.设 y ? x ? ln x ,则此函数在区间(0,1)内为 A.单调递增, B.有增有减 C.单调递减, D.不确定

9.函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A . 1,-1 B. 3,-17 C. 1,-17 D. 9,-19

第 1 页

10.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 y y ? f ?( x)

b

a

O

x

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分。请将答案填在答题卷相应空格上。 ) 11.若 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是__ 12.函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? m(m为常数) 在 [?2, 那么此函数在 [?2, 2] 上有最大值 3, 2] 上 的最小值为_____

13.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 为零的时刻是_______________。

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速度 4 5

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 45 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 14. (本小题满分 9 分) 已知曲线 y ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第
3

三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

15.(本小题满分 9 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

第 2 页

16.(本小题满分 9 分) 设 0 ? x ? 2 ,求函数 f ( x) ? 3x 4 ? 8x 3 ? 6 x 2 ? 24x 的最大值和最小值。

17.(本小题满分 9 分) 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆 心角 ? 多大时,容器的容积最大?

18.(本小题满分 9 分) 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) (1)求导数 f ?( x) ; (2)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值;

第 3 页

参考答案
一、选择题: 1 A 二、填空题: 11、 a ? 2 或 a ? ?1 12、 -37 三、解答题: 14.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 13、 t=0 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 A

由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ? ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4)

1 , 4

1 ( x ? 1) 即 x ? 4 y ? 17 ? 0 . 4 15.解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意,
∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ?

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 , 即 ? 解 得 a ? 1, b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
f ' ( x) ? x 3 ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1)
令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;



, 1) ,则 f ' ( x) ? 0 若 x ? (?1
故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 (2)曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。
3

设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

3

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0
第 4 页
3 3 2

2

16.解: f ' ( x) ? 12x 3 ? 24x 2 ? 12x ? 24 ? 12( x ? 1)(x ? 1)(x ? 2) 令 f ' ( x) ? 0 ,得: x1 ? ?1, x2 ? 1, x3 ? 2 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(0,1)

1

(1,2)
- 单调递减

2

(2,??)

?
单调递增

0
极大值

0
极小值

?
单调递增

∴极大值为 f (1) ? 13 ,极小值为 f (2) ? 8 又 f (0) ? 0 ,故最小值为 0,最大值为 13。 17. 解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h ? r ? R ,所以
2 2 2

V ?

1 1 1 1 ?r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ?R 2 h ? ?h 3 , (0 ? h ? R) 3 3 3 3

∴V ' ?

1 2 3 ?R ? ?h 2 ,令 V ' ? 0 得 h ? R 3 3

易知: h ? ∴当 h ? 把h ?

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3

3 R 时,容积最大。 3

3 6 R 代入 h 2 ? r 2 ? R 2 ,得 r ? R 3 3

由 R? ? 2?r 得 即圆心角 ? ?

??

2 6 ? 3

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3 2 6 ? 时,容器的容积最大。 3
3 2 2

答:扇形圆心角 ? ?

18. 解:⑴由原式得 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? 4a, ∴ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4. ⑵由 f ?(?1) ? 0 得 a ?

1 1 2 2 ,此时有 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3 x ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 又 f ( ) ? ? 3 3 27 2 9 50 . 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? 2 27

第 5 页


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