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人教版高一数学正弦定理与余弦定理


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在直角三角形Rt⊿ABC 中,a2=b2+c2. 问题:在任意的三角 形中三边是否存在着类似 B 的关系呢?
C b A a B A

C

a

b

c

A C

b

a D B



c

D

c

当 ?A 为锐角时, 过点C作AB(或延长线)的垂线交AB (或延长线)于D点,

C b A a B A c B b

C a D

c

D

BD ? c ? b cos A ? BD ? b cos A ? c ? 2 2 2 a ? BD ? CD
? ? c ? b cos A? ? ? b sin A ?
2 2 2 2 2

? c ? 2bc cos A ? b ? sin A ? cos A ?
2

? b ? c ? bc cos A.
2 2

当 ?A为钝角时,
? c ? b cos?? ? A? ? c ? b cos A BD ? AB ? AD
C a

b D

a 2 ? CD 2 ? BD 2 2 2 ? ? b sin A ? ? ? c ? b cos A ?
2 2 2 2

A

c

B

? b ? sin A ? cos A ? ? c ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A.

当?A角为直角时,
a ? b ? c ? b ? c ? 2bc cos 90
2 2 2 2 2 0

? b ? c ? 2bc cos A.
2 2

上述证明是一个十分累赘的过程,化 简上述证明 以?ABC 的顶点 A 为原点, AC为 x 轴的正半轴建立 直角坐标系,则

C 点的坐标为 ? b, 0 ?
且由三角函数的定义知点
B c

y

B 的坐标为 ? c cos A, c sin A?
根据据两点间的距离公式有:
a?

a x A b C

? b ? c cos A? ? ? ?c sin A?
2

2

.

化简整理得

a ? b ? c ? 2bc cos A.
2 2 2

余弦定理:在⊿ABC中,
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

S ?ABC

1 1 ? b ? ?c sin A? ? bc sin A 2 2

y B(ccosA,csinA) c a x A b C

1 1 1 bc sin A ? ab sin C ? ac sin B ? S ?ABC 2 2 2

正弦定理: (副产物) 在三解形ABC中, a b c abc ? ? ? sin A sin B sin C 2S

正弦定理的发生过程:
B c

B

a c
2R C b A

A a b 2R

C

A’

A’

a ? 2R sin A

sin?? ? A?

a

? 2R

在三解形ABC中,
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

正、余弦定理的向量证明
B B

j
A C

AC ? CB ? AB

j ? AC ? CB ? j ? AB

?

A

?

C

j AC cos90 0 ? j CB cos 90 0 ? C ? j AB cos 90 0 ? A

?

?

?

?

a b a sin C ? c sin A, ? . sin A sin B

??? ??? ??? ? ? ? AC ? AB ? BC

C

AC ? AC ? AB ? BC ? AB ? BC
2

?

??

?
2

? AB ? 2 AB ? BC ? BC
2

? AB ? 2 AB ? BC cos?180 ? B ? ? BC
0

A

B
2

? c ? 2ac cos B ? a
2

2

b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C.

余弦定理:在⊿ABC中,
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

正弦定理: 在三解形ABC中,
a b c abc ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C 2 S ?ABC

(副产物)
S?ABC 1 1 1 ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B 2 2 2


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