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2014届高考数学二轮复习复习升级训练篇专题二第二讲三角恒等变换、解三角形及其应用


第二讲 三角恒等变换、解三角形及其应用 π 3 1.(2013· 山西省高三上学期诊断考试)已知 sin( +θ)= ,则 cos(π -2θ)=( ) 2 5 12 12 A. B.- 25 25 7 7 C.- D. 25 25 2.(2013· 高考湖南卷)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3 b,则角 A 等于( ) π π

A. B. 3 4 π π C. D. 6 12 π π 3.若 cos(3π -x)-3cos(x+ )=0,则 tan(x+ )等于( ) 2 4 1 A.- B.-2 2 1 C. D.2 2 4.(2013· 高考陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,已知 b2=c(b+2c),若 a= 6, 7 cos A= ,则△ABC 的面积等于( ) 8 A. 17 B. 15 15 C. D.3 2 π 6.(2013· 高考四川卷)设 sin 2α =-sin α ,α∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ? π 7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=2 5,B= ,sin C 4 5 = ,则 c=________,a=________. 5 8.某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25°方向,从 A 出发有一条南偏东 35°走向的公路, 在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上的 B 处有一个人开车正沿着此公路向 A 驶去, 行驶 20 km 到达 D,此时测得 CD 距离为 21 km,若此人从 D 处必须在 20 分钟内到达 A 处,则此人 的行驶速度为________. π 9.已知函数 f(x)=tan?3x+ ?. 4? ? π (1)求 f? ?的值; ?9? 3π π α π (2)设 α∈?π , ?,若 f? + ?=2,求 cos?α - ? 2 ? 4? ? ?3 4 ? ? 的值.

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10.(2013· 青岛市质检)如图,在△ABC 中,已知 B= 点. (1)若 AD=2,S△DAC=2 3,求 DC 的长; (2)若 AB=AD,试求△ADC 的周长的最大值.

π ,AC=4 3

3,D 为 BC 边上一

11.(2013· 高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2 + 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 cos(α+A)cos(α+B) 2 (2)设 cos Acos B= , = ,求 tan α 的值. 5 5 cos2α

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答案: π 3 1. 【解析】选 D.依题意得 sin(θ+ 2 )=cos θ =5,cos(π -2θ)=-cos 2θ =1- 3 7 2cos2θ =1-2×(5)2=25,故选 D. 2. 【解析】 选 A.在△ABC 中, a=2Rsin A, b=2Rsin B(R 为△ABC 的外接圆半径). ∵2asin B= 3b,∴2sin Asin B= 3sin B. π 3 ∴sin A= 2 .又△ABC 为锐角三角形,∴A= 3 . π 1 3. 【解析】选 D.由 cos(3π -x)-3cos(x+ 2 )=0,得 tan x=3. 1 +1 π tan x+1 3 所以 tan(x+ 4 )= = 1=2. 1-tan x 1-3 4. 【解析】选 B.∵bcos C+ccos B b2+a2-c2 c2+a2-b2 =b· 2ab +c· 2ac b2+a2-c2+c2+a2-b2 = 2a 2 2a = 2a =a=asin A,∴sin A=1. π ∵A∈(0,π ),∴A= 2 ,即△ABC 是直角三角形. 5. 【解析】选 C.∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0. 即(b+c)· (b-2c)=0,∴b=2c. b2+c2-a2 7 又 a= 6,cos A= 2bc =8, 解得 c=2,b=4. 1 1 15 ?7?2 ∴S△ABC=2bcsin A=2×4×2× 1-?8? = 2 . ? ? 6. 【解析】∵sin 2α =-sin α ,∴2sin α cos α =-sin α . 1 ?π ? ∵α ∈? ,π ?,sin α ≠0,∴cos α =-2. 2 ? ? π 2 ? ? 又∵α∈? ,π ?,∴α=3π , ?2 ? π π? 4 ? ∴tan 2α =tan 3π =tan?π + ?=tan 3 = 3. 3? ? 【答案】 3 b c bsin C 7. 【解析】根据正弦定理得:sin B=sin C,则 c= sin B =2 2,再由余弦定理 得:b2=a2+c2-2accos B,即 a2-4a-12=0,(a+2)· (a-6)=0,解得 a=6 或 a =-2(舍去). 【答案】2 2 6 8.
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【解析】由已知得∠CAD=60°,CD=21,BC=31,BD=20, BC2+BD2-CD2 312+202-212 23 ∴cos B= = =31, 2BC·BD 2×31×20 12 3 那么 sin B= 31 , BC·sin B 于是在△ABC 中,AC= sin A =24, 在△ABC 中,BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos 60°,即 312=242+AB2-24AB 解得 AB=35 或 AB=-11(舍去). 因此,AD=AB-BD=35-20=15, 故此人在 D 处距 A 处还有 15 km,则此人的行驶速度为 45 km/h. 【答案】45 km/h π π tan 3 +tan 4 3+1 ?π ? ?π π ? 9. 【解】(1)f? ?=tan? + ?= = 4? π π 1- 3 ?9? ?3 1-tan 3 tan 4 =-2- 3. 3π π ? ?α π ? ? ?=tan(α+π ) (2)因为 f? + ?=tan?α+ 4? 4 +4? ?3 ? =tan α =2, sin α 所以 =2,即 sin α =2cos α .① cos α 又 sin2α +cos2α =1,② 1 由①、②解得 cos2α =5. 3π ? 5 2 5 ? 因为 α∈?π , ?,所以 cos α =- 5 ,sin α =- 5 . 2 ? ? π π π? ? 所以 cos?α - ?=cos α cos 4 +sin α sin 4 4 ? ? 5 2 ? 2 5? 2 3 10 ?× =- =- 5 × 2 +?- 10 . 5 ? 2 ? 10. 【解】(1)∵S△DAC=2 3, 1 ∴2·AD·AC·sin∠DAC=2 3, 1 ∴sin∠DAC=2. π 2π ∵∠DAC<∠BAC<π - 3 = 3 , π ∴∠DAC= 6 . 在△ADC 中,由余弦定理,得
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π DC2=AD2+AC2-2AD· ACcos 6 , 3 ∴DC2=4+48-2×2×4 3× 2 =28, ∴DC=2 7. π (2)∵AB=AD,B= 3 , ∴△ABD 为正三角形. 在△ADC 中,根据正弦定理,可得 AD 4 3 DC = , sin C= 2π π sin 3 sin( 3 -C) π ∴AD=8sin C,DC=8sin( 3 -C), ∴△ADC 的周长为 π AD+DC+AC=8sin C+8sin( 3 -C)+4 3 3 1 =8(sin C+ 2 cos C-2sin C)+4 3 1 3 =8(2sin C+ 2 cos C)+4 3 π =8sin(C+ 3 )+4 3, 2π π π π 2π ∵∠ADC= 3 ,∴0<C< 3 ,∴ 3 <C+ 3 < 3 , π π π ∴当 C+ 3 = 2 ,即 C= 6 时,△ADC 的周长的最大值为 8+4 3. 11. 【解】(1)因为 a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有 cos C= 2ab = 2ab =- 2 . 3π 故 C= 4 . (2)由题意得, (sin α sin A-cos α cos A)(sin α sin B-cos α cos B) 2 =5. 2 cos α 2 因此(tan α sin A-cos A)(tan α sin B-cos B)= 5 . 2 tan2α sin Asin B-tan α (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= 5 , 2 tan2α sin Asin B-tan α sin(A+B)+cos Acos B= 5 .① 3π π 2 因为 C= 4 ,所以 A+B= 4 ,所以 sin(A+B)= 2 . 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,
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3 2 2 即 5 -sin Asin B= 2 . 3 2 2 2 解得 sin Asin B= 5 - 2 = 10 . 由①得,tan2α -5tan α +4=0, 解得 tan α =1 或 tan α =4.

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