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16-17版1.1.2+弧度制


1.1.2

弧度制

1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“弧度的角”的定义,掌握弧度与角度的换算、弧长公 式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点) 3. “角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)

[基础· 初探] 教材整理 1 角度制与弧度制的定义

>阅读教材 P6~P7 第三行以上内容,完成下列问题. 1. 角度制与弧度制的定义 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定 1 度 角度制 1 的角等于周角的360 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用 弧度制 符号 rad 表示,读作弧度,以弧度作为单位来度量角的 单位制叫做弧度制 2.角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧 l 度数的绝对值是|α|=r.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧.( (2)1 弧度是长度为半径的弧.( )

)

(3)1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和.(

)

(4)1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角, 它是角的一种度量 单位.( )

【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)× 教材整理 2 (2)× (3)× (4)√

角度制与弧度制的换算

阅读教材 P7 第四行至 P8 例 3 以上内容,完成下列问题. 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 360°=2π rad 180°=π rad π 1°=180 rad≈0.017_45 rad 弧度化角度 2π rad=360° π rad=180°
?180? 1 rad=? π ?°≈57.30° ? ?

2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 弧度 0° 0 1° π 180 30° π 6 45° π 4 60° π 3 90° π 2 120° 2π 3 135° 3π 4 150° 5π 6 180° π 270° 3π 2 360° 2π

(1)把 112°30′化成弧度=________. 3 (2)把5π rad 化成度=________. π 【解析】 (1)112°30′=112.5°=112.5°× rad 180°

5 =8π rad. 3 3 (2)5π rad=5×180°=108°. 5 【答案】 (1)8π 教材整理 3 (2)108°

扇形的弧长与面积公式

阅读教材 P8 例 3 内容,完成下列问题. 设扇形的半径为 R,弧长为 l,α 为其圆心角,则 α 为度数 扇形的弧长 扇形的面积 α πR l= 180° α π R2 S= 360° α 为弧度数 l=αR 1 1 S=2lR=2α R2

π 圆心角为 3 弧度,半径为 6 的扇形的面积为________. π 1 【解析】 扇形的面积为2×62× 3 =6π. 【答案】 6π [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑:

疑问 3: 解惑:

[小组合作型]

角度与弧度的互化与应用 (1)将下列角度与弧度进行互化. ①20°=________;②-15°=________; 7π 11 ③ 12 =________;④- 5 π =________. (2)把-157°30′化成弧度为________. (3)在[0,4π ]中,与 72°角终边相同的角有________.(用弧度 表示) 【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时,关键是抓住π rad π =180°,1°=180 rad 这一关系. π π π 【自主解答】 (1)①20°=20×180= 9 ; ②-15°=-15×180
?180? π 7 7 11 11 =- 12 ; ③ 12 π= 12 π × ? π ? °= 105 °; ④ - 5 π=- 5 π × ? ? ?180? ? ?°=-396°. ?π?

315 π (2)因为-157°30′=-157.5°=- 2 ×180 rad

7 =-8π rad. (3)因为终边与 72°角相同的角为 θ=72°+k· 360°(k∈Z). 2 当 k=0 时,θ=72°=5π; 12 当 k=1 时,θ=432°= 5 π, 2 12 所以在[0,4π]中与 72°终边相同的角有5π, 5 π. π 【答案】 (1)① 9 7 (2)-8π 2 12 (3)5π , 5 π π ②-12 ③105° ④-396°

角度制与弧度制互化的方法及注意点:
?180? ? ? (1)方法: 设一个角的弧度数为 α, 角度数为 n, 则 α rad=α· π °; ? ?

π n°=n· 180. (2)注意点: ①以“弧度”为单位度量角时, “弧度”二字或“rad”可以省略 不写. ②以“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形 式,如无特别要求,不必把π写成小数. ③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.

[再练一题] 1.把 56°15′化为弧度是( 5π A. 8 5π C. 6 ) 【导学号:00680003】 5π B. 4 5π D. 16

5π 225 π 【解析】 56°15′=56.25°= 4 ×180 rad= 16 rad. 【答案】 D

用弧度数表示角 2 (1)与角3π 终边相同的角是( 11 A. 3 π 2 B.2kπ -3π (k∈Z) 10 C.2kπ - 3 π (k∈Z) 2 D.(2k+1)π +3π (k∈Z) α (2)若 α 是第三象限的角,则π - 2 是( A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 ) )

【精彩点拨】 (1)可把选择题中角写成 2kπ+α, (k∈Z, α∈[0, 2π))形式来判断;(2)可由 α 范围写出π- 2 范围后,根据 k 为奇数 或偶数来确定π- 2 终边位置. 11π 5 5 【自主解答】 (1)选项 A 中 3 =2π+3π, 与角3π终边相同, 2 4 故 A 错;2kπ-3π,k∈Z,当 k=1 时,得[0,2π)之间的角为3π, 4 10 故与3π有相同的终边,B 错;2kπ- 3 π,k∈Z,当 k=2 时,得[0, 2 2 2 2π)之间的角为3π,与3π有相同的终边,故 C 对;(2k+1)π+3π, 5 k∈Z,当 k=0 时,得[0,2π)之间的角为3π,故 D 错. 3 (2)因为 α 为第三象限的角,所以有 2kπ+π<α<2kπ+2π,k ∈Z, π α 3 kπ+ 2 < 2 <kπ+4π,k∈Z,

α

α

α π 3 -kπ-4π<- 2 <-kπ- 2 ,k∈Z,
π α π 故-kπ+ 4 <π- 2 <-kπ+ 2 ,k∈Z. 当 k 为偶数时,π- 2 在第一象限; 当 k 为奇数时,π- 2 在第三象限,故选 B. 【答案】 (1)C (2)B

α α

1.弧度制下与角 α 终边相同的角的表示: 在弧度制下,与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α, k∈Z},即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π的整数倍. 2.确定角范围时,k 的值的取法: π 在表示角或角的范围时, 通常会用到 k, 如 α= 4 +2kπ(k∈Z)①, π π kπ- 3 <β<kπ- 6 ,k∈Z②,在确定角 α 或 β 的范围时,要根据 k 的系数来取值,如①中 k 的系数为 2π,则取 k 的任一个值如 0,得 α π = 4 在第一象限.②中 k 的系数为π,则要分 k 为奇数、偶数两种情 5 ? ?2 况取值.k 为奇数时,取 k=1,得 β∈?3π,6π?,在第二象限;k 为
? ? ? π π? 偶数时,取 k=0,得 β∈?- ,- ?,在第四象限,则 β 为第二或 6? ? 3

第四象限的角. [再练一题] 2.用弧度表示终边落在如图 1-1-7 所示阴影部分内(不包括边 界)的角 θ 的集合.

图 1-1-7

π 7π 【解】 因为 30°= 6 rad,210°= 6 rad, 这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线 AB 上的角为 π π α=kπ+ 6 ,k∈Z,而终边在 y 轴上的角为 β=kπ+ 2 ,k∈Z,从 而终边落在阴影部分内的角的集合为
? ? ? π π ?θ?kπ+ <θ<kπ+ ,k∈Z?. 6 2 ? ? ?

[探究共研型]

弧长公式与扇形面积公式的应用 l 探究 1 用公式|α|=r求圆心角时,应注意什么问题? 【提示】 应注意结果是圆心角的绝对值,具体应用时既要注意 其大小,又要注意其正负. 探究 2 在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时,若已知的角 是以“度”为单位,需注意什么问题? 【提示】 若已知的角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧 度后再计算,否则结果出错. (1)(2016· 鹤岗高一检测)设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

(2)已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值

时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

【精彩点拨】

(1)可由扇形周长和面积建立方程组,通过解方

程组求得;(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解. 【自主解答】 (1) 设 扇 形 半 径 为 r , 弧 长 为 l , 由 题 意 得

?2r+l=8, ? ?l=4, 解得? ?1 ? ?r=2, ?2l·r=4,
l 则圆心角 α=r=2 rad. 【答案】 B (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,面积为 S. 1 1 则 l=20-2r,∴S=2lr=2(20-2r)· r=-r2+10r=-(r-5)2+ 25(0<r<10). ∴当半径 r=5 cm 时,扇形的面积最大,为 25 cm2. l 20-2×5 此时 α=r= =2 rad. 5 ∴当它的半径为 5 cm,圆心角为 2 rad 时, 扇形面积最大,最大值为 25 cm2.

弧度制下解决扇形相关问题的步骤: 1 1 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=|α|r,S=2αr2 和 S=2

lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. [再练一题] 3.已知一扇形的圆心角为 α,所在圆半径为 R,周长为 4R,则 扇形中所含弓形的面积是________. 1 【解析】 由周长为 4R 可知扇形的弧长为 2R,面积为 S=2lR 1 l 2R =2·2R·R=R2,圆心角弧度数为|α|=R= R =2,所以扇形中除弓 形外所含的三角形的高为 Rcos 1,底为 2Rsin 1,所以此三角形面积 1 为 S1=2·Rcos 1·2Rsin 1=R2sin 1cos 1,从而弓形面积为 S2=S-S1 =R2(1-sin 1cos 1). 【答案】 R2(1-sin 1cos 1) [构建· 体系]

1.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(
? π? A.?2kπ ,2kπ + ?(k∈Z) 2? ?

)

? π? B.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? ? π? C.?2kπ ,2kπ + ?(k∈Z) 2? ? ? π? D.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ?

3 ? ? 【解析】 B 中 k=1 时为?π,2π?显然不正确;因为第一象限
? ?

角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错,只有 A 正确. 【答案】 A )

2.与 30°角终边相同的角的集合是(
? ? ? π ? A.?α?α=k· 360°+ 6 ,k∈Z ? ? ?

B.{α |α =2kπ +30°,k∈Z} C.{α |α =2k· 360°+30°,k∈Z}
? ? ? π ? D.?α ?α =2kπ + , k∈Z 6 ? ? ?

π π 【解析】 ∵30°=30×180 rad= 6 rad, ∴与 30°终边相同的所有角可表示为

α=2kπ+ 6 ,k∈Z,故选 D.
【答案】 D )

π

3.在半径为 10 的圆中,240°的圆心角所对弧长为(

【导学号:00680004】 40 A. 3 π 20 B. 3 π

200 C. 3 π

400 D. 3 π

π 4 【解析】 240°=240×180 rad=3πrad, 4 40 ∴弧长 l=|α|· r=3π×10= 3 π,选 A. 【答案】 A

4. 将-1 485°化成 2kπ +α(0≤α<2π , k∈Z)的形式为_______. 【解析】 由-1 485°=-5×360°+315°, 7 所以-1 485°可以表示为-10π+4π. 7 【答案】 -10π +4π 5.一个扇形的面积为 1,周长为 4,求该扇形圆心角的弧度数. 【解】 设扇形的半径为 R,弧长为 l,圆心角为 α, 则 2R+l=4.① 1 1 由扇形的面积公式 S=2 lR,得2lR=1.② l 由①②得 R=1,l=2,∴α=R=2 rad. ∴扇形的圆心角为 2 rad.

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案:

(1) (2)


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