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2015-2016学年高中数学 模块综合检测 新人教A版选修2-1


模块综合检测
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.下列命题中是全称命题,并且又是真命题的是( ) A.所有菱形的四条边都相等 B.? x0∈N,使 2x0 为偶数 2 C.对? x∈R,x +2x+1>0 D.π 是无理数 解析:根据全称命题的定

义可以判断 A、C 两项为全称命题,对于 C 项,在 x=-1 时, 2 x +2x+1=0,故 C 项为假命题. 答案:A 2.若抛物线的准线方程为 x=1,焦点坐标为(-1,0),则抛物线的方程是( ) 2 2 A.y =2x B.y =-2x 2 2 C.y =4x D.y =-4x 解析:∵抛物线的准线方程为 x=1, 焦点坐标为(-1,0), ∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点,其中 p=2. 2 ∴抛物线的标准方程为 y =-4x. 答案:D 3.若 a=(1,-1,-1),b=(0,1,1)且(a+λ b)⊥b 则实数 λ 的值是( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 解析:λ b=(0,λ ,λ ), a+λ b=(1,λ -1,λ -1). ∵(a+λ b)⊥b,∴(a+λ b)?b=0, ∴λ -1=0,λ =1. 答案:B 4.已知命题 p:? x∈R,x≥1,那么命题綈 p 为( ) A.? x∈R,x≤1 B.? x0∈R,x0<1 C.? x∈R,x≤-1 D.? x0∈R,x0<-1 解析:全称命题的否定是特称命题. 答案:B 2 5.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( ) 1 1 A. B.- 8 8 C.8 D.-8 1 2 2 解析:由 y=ax 得 x = y,

a

1 1 ∴ =-8,∴a=- . a 8 答案:B 6.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 A. 5 4 B. 5 2

x2 y2 a b

3 x y ,则双曲线 2- 2=1 的离心率为( 2 a b

2

2

)

-1-

C.

3 2

D.

5 4

解析:因为椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1=
2

x2 y2 a b

3 , 2

b 3 2 所以 1- 2=e1= , a 4 b2 1 x2 y2 即 2= ,而在双曲线 2- 2=1 中,设离心率为 e2, a 4 a b b2 1 5 5 则 e =1+ 2=1+ = ,所以 e2= . a 4 4 2
2 2

答案:B 7.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( ) A.p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d x B.p:a>1,b>1,q:f(x)=a -b(a>0 且 a≠1)的图象不过第二象限 2 C.p:x=1,q:x =x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0 且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 解析:由于 a>b,c>d? a+c>b+d,而 a+c>b+d 却不一定推出 a>b,且 c>d.故 A x 中 p 是 q 的必要不充分条件.B 中,当 a>1,b>1 时,函数 f(x)=a -b 不过第二象限,当 f(x)=ax-b 不过第二象限时,有 a>1,b≥1.故 B 中 p 是 q 的充分不必要条件.C 中,因为 x 2 2 =1 时有 x =x,但 x =x 时不一定有 x=1,故 C 中 p 是 q 的充分不必要条件.D 中 p 是 q 的 充要条件. 答案:A 8.四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且 AB=BC=2,AD=3, PA⊥平面 ABCD 且 PA=2,则 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为( )

A. C.

42 7

B.

7 7

3 6 D. 3 3 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,

则 P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0). → → → PB=(2,0,-2),CD=(-2,1,0),PD=(0,3,-2). 设平面 PCD 的一个法向量为 n=(x,y,z), ? ?-2x+y=0, 则? 取 x=1 得 n=(1,2,3). ?3y-2z=0. ?

-2-

→ → PB?n -4 7 cos〈PB,n〉= = =- , → 7 2 2? 14 |PB|?|n| 可得 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 7 . 7 )

答案:B 9.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 A-BD-C 的正弦值为( 5 3 A. B. 5 3 2 5 6 D. 5 3 解析:取 BC 中点 O,连接 AO,DO. 建立如图所示坐标系,设 BC=1, C.

1 ? 3? ? ? 3 ? ?,B?0,-2,0?,D? ,0,0?. ? ?2 2? ? ? → 3? → ? 1 3? → ? 3 1 ? ? ∴OA=?0,0, ?,BA=?0, , ?,BD=? , ,0?. 2? ? ? 2 2? ?2 2 ? → 3? ? 由于OA=?0,0, ?为面 BCD 的法向量, 2? ? 则 A?0,0, 可进一步求出面 ABD 的一个法向量 n=(1,- 3,1), → 5 ∴cos〈n,OA〉= , 5 → 2 5 ∴sin〈n,OA〉= . 5 答案:C 10.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则该双曲线的离 心率等于( ) A. 3 B.2 C. 6 D. 5 解析:双曲线的一条渐近线为 y= x,

? ?

x2 y2 a b

2

b a

b ? ?y= x, 由? a ? ?y=x2+1,

消 y 得 x - x+1=0.

2

b a

由题意,知 Δ =? ? -4=0 a ∴b =4a . 2 2 2 2 2 2 2 又 c =a +b ,∴c =a +4a =5a .
-32 2

?b?2 ? ?

∴ = 5. 答案:D

c a

x2 y2 11.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 a b 的中点 P 的轨迹是( )
A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.线段

1 1 解析:∵P 为 MF1 中点,O 为 F1F2 的中点,∴OP= MF2,又 MF1+MF2=2a,∴PF1+PO= MF1 2 2 1 + MF2=a.∴P 的轨迹是以 F1,O 为焦点的椭圆. 2 答案:A 12.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,P 是 A1B1 的中点,则直线 PQ 与 AM 所成的角为( )

-4-

π π B. 6 4 π π C. D. 3 2 解析:以 A 为坐标原点,AB、AC、AA1 所在直线为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐 → → → → 标系, 设 AA1=AB=AC=2, 则AM=(0,2,1), Q(1,1,0), P(1,0,2), QP=(0, -1,2), 所以QP?AM =0, A.

π 所以 QP 与 AM 所成角为 . 2 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. - =1 的焦距是________. m2+12 4-m2 2 2 2 2 2 2 2 解析:依题意 a =m +12,b =4-m ,所以 c =a +b =16,c=4,2c=8. 答案:8 14.命题 p:若 a,b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y= x-3的定义 域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“綈 p”中是真命题的有________. 解析:依题意可知 p 假,q 真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈 p”为真. 答案:p∨q,綈 p 2 15.已知 A(0,-4),B(3,2),抛物线 y =x 上的点到直线 AB 的最短距离为________. 2 2 |2t-t -4| t -2t+4 2 2 解析: 直线 AB 为 2x-y-4=0, 设抛物线 y =x 上的点 P(t, t ), d= = 5 5 ?t-1? +3 3 3 5 = ≥ = . 5 5 5 3 答案: 5 5 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________. 解析:建系如图,
2

13.双曲线

x2

y2

1? ? 1 ? ? 则 M?1, ,1?,N?1,1, ?,A(1,0,0),C(0,1,0), 2? ? 2 ? ?

-5-

→ → 1? ? 1 ? ? ∴AM=?0, ,1?,CN=?1,0, ?. 2? ? 2 ? ? 1 → → → → AM?CN 2 2 ∴cos〈AM,CN〉= = = . → → 5 5 |AM||CN| 4 2 即直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5 2 答案: 5 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 2 17.(本小题满分 10 分)命题 p:x -4mx+1=0 有实数解,命题 q:? x0∈R,使得 mx0- 2x0-1>0 成立. (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (3)若命题綈 p∨綈 q 为真命题,且命题 p∨q 为真命题,求实数 m 的取值范围. 2 解析:(1)∵x -4mx+1=0 有实根; 1 1 2 ∴Δ =16m -4≥0,∴m≤- 或 m≥ . 2 2 1? ?1 ? ? ∴m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? 2 (2)设 f(x)=mx -2x-1. 当 m=0 时,f(x)=-2x-1,q 为真命题; 当 m>0 时,q 为真命题; 当 m<0 时,需有 Δ =4+4m>0, ∴m>-1,综上 m>-1. (3)∵綈 p∨綈 q 为真,p∨q 为真, ∴p、q 为一真一假.p、q 为真时 m 的范围在数轴上表示为

p 真,q 假时,m≤-1;p 假,q 真时,- <m< .
1 1 ∴满足条件的 m 的取值范围是 m≤-1 或- <m< . 2 2 18.(本小题满分 12 分)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 A1D1、D1D、 D1C1 的中点.

1 2

1 2

(1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面 EFG∥平面 AB1C. → → → 证明:把{AA1,AB,AD}作为空间的一个基底. → → → 1→ 1→ → → → (1)因为EG=ED1+D1G= AD+ AB,AC=AB+AD, 2 2 → → 所以AC=2EG.所以 EG∥AC.
-6-

(2)由(1)知 EG∥AC,又 AC? 平面 AB1C,EG?平面 AB1C, 所以 EG∥平面 AB1C. → → → 1 → 1→ → → → 因为FG=FD1+D1G= AA1+ AB,AB1=AB+AA1, 2 2 → → 所以AB1=2FG.所以 FG∥AB1. 又 AB1? 平面 AB1C,FG?平面 AB1C, 所以 FG∥平面 AB1C. 又 EG∩FG=G,所以平面 EFG∥平面 AB1C.

x2 y2 19.(本小题满分 12 分)已知直线 l:y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A、B a b

?2 1? 两点,且线段 AB 的中点为? , ?. ?3 3? (1)求此椭圆的离心率; 2 2 (2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x +y =5 上,求此椭圆的方程.
y=-x+1 ? ? 2 2 解析:(1)由?x y 2+ 2=1 ? ?a b
2 2 2 2 2 2 2



(b +a )x -2a x+a -a b =0. 4 2 2 2 2 2 2 2 Δ =4a -4(a +b )(a -a b )>0? a +b >1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2a 则 x1+x2= 2 . b +a2 ?2 1? ∵线段 AB 的中点为? , ?, ?3 3? 2 2a 4 2 2 ∴ 2 2= ,于是得:a =2b . b +a 3 2 . 2 (2)设椭圆的右焦点为 F(c,0),则点 F 关于直线 l:y=-x+1 的对称点为 P(1,1-c), 2 2 由已知点 P 在圆 x +y =5 上, 2 2 ∴1+(1-c) =5,c -2c-3=0. ∵c>0,∴c=3, 2 2 2 又∵a =2c ,∴a =18,a=3 2.∴b=3, 又 a =b +c ,∴a =2c ,∴e=
2 2 2 2 2

∴椭圆方程为 + =1. 18 9 2 20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 y =-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点,点 O 是坐标原点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. 解析:(1)证明:当 k=0 时直线与抛物线仅一个交点,不合题意, ∴k≠0 由 y=k(x+1)得 x= -1 代入 y =-x 整理得:

x2

y2

y k

2

y2+ y-1=0 k
1 设 A(x1,y1),B(x2,y2)则 y1+y2=- ,y1y2=-1.

1

k

∵A,B 在 y =-x 上,

2

-7-

∴A(-y1,y1),B(-y2,y2), ∴kOA?kOB=

2

2

y1 y2 1 ? = =-1, 2 2 ?-y1? ?-y2? y1y2

∴OA⊥OB. (2)设直线与 x 轴交于 E,则 E(-1,0),∴|OE|=1, 1 1 S△OAB= |OE|(|y1|+|y2|)= |y1-y2| 2 2 = 1 2 1

k2

+4= 10,

1 解得 k=± . 6 21.(本小题满分 12 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形, AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)在 DE 上是否存在一点 P,使直线 BP 和平面 BCE 所成的角为 30°. 解析:设 AD=DE=2AB=2a, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,

则 A(0,0,0),B(0,0,a),C(2a,0,0),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a), 3 ?3 ? ∵F 为 CD 的中点,∴F? a, a,0?. 2 ?2 ? → 3 3 ? ? (1)证明:AF=? a, a,0?, 2 ?2 ? → → BE=(a, 3a,a),BC=(2a,0,-a), → 1 → → ∵AF= (BE+BC), 2 AF?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE. → 3 3 ? ? (2)证明:∵AF=? a, a,0?, 2 2 ? ? → → CD=(-a, 3a,0),ED=(0,0,-2a), → → → → ∴AF?CD=0,AF?ED=0, → → → → ∴AF⊥CD,AF⊥ED.

-8-

→ ∴AF⊥平面 CDE.又∵AF∥平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE. (3)设平面 BCE 的一个法向量为 n=(x,y,z), → → 由 n?BE=0,n?BC=0 可得: x+ 3y+z=0,2x-z=0, 取 n=(1,- 3,2), 不妨取 a=1,则 B(0,0,1), 设存在 P(1, 3,t)满足题意, → 则BP=(1, 3,t-1)(0≤t≤2), 设 BP 和平面 BCE 所成的角为 θ , → |BP?n| 则 sinθ = → |BP||n| |1-3+2?t-1?| 1 = = , 2 8 1+3+?t-1? 2 解得 t=3± 6,取 t=3- 6∈[0,2], ∴存在 P(a, 3a,(3- 6)a),使直线 BP 和平面 BCE 所成的角为 30°. x2 y2 3 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 l:y=x a b 3 +2 与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A,B,求△OAB 面积的最大值. 2 2 2 解析:(1)由题设可知,圆 O 的方程为 x +y =b , 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 O 相切,故有 |2| =b. 2 2 1 +?-1? 所以 b= 2. 已知 e= = 所以 a =3. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D, 1 2 由对称性知:S△OAB=2S△OAD=2? x0y0=kx0. 2
2

c a

3 2 2 2 2 ,所以有 a =3c =3(a -b ). 3

x2 y2

y0=kx0, ? ? 2 2 由?x0 y0 + =1 ? ?3 2

6 2 ,解得 x0= 2. 2+3k 6 2 = ?3k 6 . 2

6 6 所以 S△OAB=k? ≤ 2= 2+3k 2 +3k 2

k

k

-9-

2 6 当且仅当 =3k,即 k= 时取等号. k 2 所以△OAB 面积的最大值 6 . 2

- 10 -


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