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2013高考理科数学二轮1-20


必考问题20 统计及其与 概率的交汇问题

(2012·广东)某班50位学生期中考试 数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100].
(1)求图中x的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩

在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.

必备知识方法

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解 (1)由题意得:10x=1-(0.006×3+0.01+0.054)×10=0.18, ∴x=0.018. (2)成绩不低于 80 分的学生共有(0.018+0.006)×10×50=12 人, 其中 90 分以上(含 90 分)的共有 0.006×10×50=3 人, 的可能值 ξ 为 0,1,2,
1 1 C2 6 C9C3 9 C2 1 9 3 P(ξ=0)=C2 =11,P(ξ=1)= C2 =22,P(ξ=2)=C2 =22, 12 12 12

∴ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 6 9 1 P 11 22 22 6 9 1 1 ∴E(ξ)=0×11+1×22+2×22=2.
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本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归
分析,独立性检验的简单应用,一般是选择题、填空题, 试题难度中等或稍易.若以解答题出现,往往与概率、离 散型随机变量的分布列交汇考查.

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在复习统计问题时,要紧紧抓住这些图表和方法,把 图表的含义弄清楚,这样剩下的问题就是有关的计算和对 统计思想的理解,在弄清楚统计问题的基础上,要与概

率、离散型随机变量的分布列、期望、方差密切结合掌
握.

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必 备 知 识 方 法

必备知识方法

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必备知识

抽样方法
抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方 法,三种抽样方法都是等概率抽样,体现了抽样的公平 性,但又各有其特点和适用范围.

必备知识方法

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用样本估计总体 (1)利用样本频率分布估计总体分布:

①频率分布表和频率分布直方图;
②总体密度曲线; ③茎叶图.

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(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征: ①众数、中位数; 1 1n ②样本平均数 x =n(x1+x2+?+xn)=n ?xi; i=1 1 1 n 2 2 2 ③样本方差s = n [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ]= n ? (xi- i=1
2

x )2;

必备知识方法

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④样本标准差 s= = 1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2] n 1n ? ?xi- x ?2. ni=1

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线性回归方程

?xiyi-n x
方程y=bx+a称为线性回归方程,其中b=
^ i=1

n

y

?xi2-n x 2
i=1

n

a= y -b x ;( x , y )称为样本中心点.

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独立性检验

假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}
和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为: 2×2列联表 y1 x1 a y2 b

总计
a+b c+d a+b+c+d

x2
总计

c
a+c

d
b+d

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n?ad-bc?2 构造一个随机变量 K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?

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必备方法 用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频 率,各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关

的问题时,应正确理解已知数据的含义,掌握图表中各个
量的意义. (2)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分 布规律而得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体 中抽取一个样本,分析它的频率分布,以此估计总体分 布.
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1n ①总体期望的估计,计算样本平均值 x =n ?xi; i=1 1n ②总体方差(标准差)的估计:方差= ? (xi- x )2,标准差= ni=1 方差,方差(标准差)较小者较稳定.

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热 点 命 题 角 度

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统计
此类试题主要考查分层抽样、频率分布直方图、茎叶 图、线性回归方程、平均数和方差的计算、以及识图能

力、借助概率统计知识分析、解决问题的能力,均可单独
命制一道小题.

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【例1】? 某校举行了由全部 学生参加的校园安全知识 考试,从中抽出60名学生,

将其成绩分成六段[40,50),
[50,60),?,[90,100)后,画出如图所示的频率分布直 方图.观察图形的信息,回答下列问题:估计这次考试 的及格率(60分及以上为及格)为__________;平均分为 __________.

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[审题视点] (1) 用样本中及格的频率估计总体的及格率,以样本 的平均数估计总体的平均数,即以各组的中点值乘以各组的频

率之和估计总体的平均数.
[听课记录]

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解析

及 格 的 各 组 的 频 率 是 (0.015 + 0.03 + 0.025 +

0.005)×10 = 0.75 , 即 及 格 率 约 为 75% ; 样 本 的 均 值 为 45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.15 + 75×0.3 + 85×0.25 +

95×0.05=71,以这个分数估计总体的分数即得总体的平均
分数约为71. 答案 75% 71

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(1)如果已知频率分布直方图,那么就用样本在
各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率,用样本的 均值估计总体的均值,根据频率分布图估计样本均值的方 法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行 的.

(2)根据茎叶图,我们可方便地求出数据的众数与中位数,
大体上估计出两组数据的平均数大小与稳定性.

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【突破训练1】(2012· 陕西)从甲乙两个城市 分别随机抽取16台自动售货机,对其销 售额进行统计,统计数据用茎叶图表示 (如图所示).设甲乙两组数据的平均数分 别为 x 甲, x 乙,中位数分别为m甲,m乙,则 ( A. x 甲< x 乙,m甲>m乙 C. x 甲> x 乙,m甲>m乙 B. x 甲< x 乙,m甲<m乙 D. x 甲> x 乙,m甲<m乙 ).

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答案:B [由茎叶图可知甲数据集中在 10 至 20 之间, 乙数据集中 在 20 至 40 之间,明显 x 甲< x 乙,甲的中位数为 20,乙的中位数 为 29,即 m 甲<m 乙,所以选 B.]

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抽样方法、直方图、茎叶图与概率的 交汇问题
准确提取直方图、茎叶图中的信息是解此类题的关键, 借助这些数据结合独立事件、互斥事件可设计概率、分布

列问题,高考在此结合点处命题有加强的趋势.

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【 例 2】? (2012· 韶 关 模 拟 ) 某 班 同 学 进 行 社 会 实 践 , 对 [25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否 符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称 为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统

计表和各年龄段人数频率分布直方图:
组数 第一组 第二组 第三组 分组 [25,30) [30,35) [35,40)
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低碳族的人数 占本组的频率 120 195 100 0.6 p 0.5
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第四组 第五组 第六组

[40,45)
[45,50) [50,55)

a
30 15

0.4
0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图,并求n、a、p的值; (2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取

18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选
取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X,求X的分布列和 期望E(X).

[审题视点] (1)频率=小长方形的面积;?
(2)用超几何分布解决. [听课记录]
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(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=

0.3 0.3,所以高为 5 =0.06.频率直方图如下:

120 第一组的人数为 0.6 =200,频率为 0.04×5=0.2, 200 所以 n= =1 000. 0.2
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由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3 195 =300,所以 p= =0.65. 300 第四组的频率为 0.03×5=0.15, 所以第四组的人数为 1 000×0.15 =150,所以 a=150×0.4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳 族”的比值为 60∶30=2∶1,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40,45)岁中有 12 人,[45,50)岁中有 6 人.随机变量 X 服从超几何 分布.

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0 C12C3 5 6 P(X=0)= C3 =204, 18 1 C12C2 15 6 P(X=1)= C3 =68, 18 2 C12C1 33 C3 C0 55 6 12 6 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = . C18 68 C18 204

X

0

1

2

3

5 15 33 55 P 204 68 68 204 所以随机变量 X 的分布列为 5 15 33 55 所以数学期望 E(X)=0×204+1×68+2×68+3×204=2.
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解决该类问题的基础是频数分布表、茎叶图等 知识,在解题时,一定要仔细认真,防止在这个数据表中 出现错误,导致后续各问解答也随之出现错误.

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【突破训练2】 (2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组 各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模 糊,无法确认,在图中以X表示.

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(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两 名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望. 1 (注:方差s = n [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为
2

x1,x2,?,xn的平均数)

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(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:

8,8,9,10, 8+8+9+10 35 所以平均数为: x = =4; 4 方差为: 35?2 ? 35?2 ? 35?2? 1 ?? 35?2 ? s =4×??8- 4 ? +?8- 4 ? +?9- 4 ? +?10- 4 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

11 = . 16

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(2)当 X=9 时, 由茎叶图可知, 甲组同学的植树棵数是: 9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的 同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”,所以该事件有 2 种 2 1 1 可能的结果,因此 P(Y=17)=16=8.同理可得 P(Y=18)=4;P(Y 1 1 1 =19)=4;P(Y=20)=4;P(Y=21)=8.所以随机变量 Y 的分布列 为:

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Y

1 1 1 2 2 7 8 9 0 1

1 1 1 1 1 P 8 4 4 4 8 E(Y)=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y= 1 1 1 1 1 20)+21×P(Y=21)=17× +18× +19× +20× +21× =19. 8 4 4 4 8

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独立性检验与概率相结合
以实际问题为背景,给定数据表,借助这些数据结合

独立事件或对立事件设计概率及分布列问题.

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【例3】? (2012·辽宁)电视传媒公司为了解某地区电视观众 对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进 行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体

育节目时间的频率分布直方图:

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将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体

育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料你是 否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 体育迷 合计

10

55

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(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观 众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽 取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互 独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). n?n11n22-n12n21?2 附:K2= , n1+n2+n+1n+2

[审题视点] (1)按照独立性检验的步骤进行;(2)建立概率分布表, 利用期望的定义式求解数学期望. [听课记录]
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解 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷” 有 25 人,从而 2×2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?n11n22-n12n21?2 100×?30×10-45×15?2 100 K2= = = ≈3.030. 33 n1+n2+n+1n+2 75×25×45×55 因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
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(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视 1 为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 . 4 由题意
? 1? X~B?3,4?,从而 ? ?

X 的分布列为 0 1 2 3

X

27 27 9 1 P 64 64 64 64 1 3 E(X)=np=3×4=4, 1 3 9 D(X)=np(1-p)=3×4×4=16.
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根据图表给出的信息解决相关问题时,一定要

仔细阅读表中信息,千万别“看花了眼”,同时,要正确
理解相关概念和计算准确.

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【突破训练3】 (2012·宝鸡三模)甲乙两个学校高三年级分 别有1 100人和1 000人,为了了解这两个学校全体高三 年级学生在该地区二模考试中的数学成绩情况,采用 分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学

成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成
绩在[120,150]内为优秀. 甲校: 分组 [70,80) [80,90) [90,100) 10 [130,140) [100,110) 15 [140,150)

2 3 频数 分组 [110,120) [120,130) 15 x 频数
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3

1
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乙校: 分组 频数 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)

1

2
[120,130)

9
[130,140)

8
[140,150)

分组 [110,120) 频数

10

10

y

3

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(1)试求x,y的值;
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,若按是否优秀来判 断,是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 甲校 乙校 总计

优秀
非优秀 总计

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(3)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率,若把频率视为概 率,现从乙校学生中任取3人,求优秀学生人数ξ的分布列和数学 期望. n?ad-bc?2 附:K2= ; ?a+b??c+d??a+c??b+d?

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解 (1)由分层抽样知,甲校抽取了 55 人成绩,乙校抽取了 50 人 的成绩.所以,x=6,y=7. (2)由以上统计数据填写右面 2×2 列联表如下: 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 10 45 55 20 30 50 30 75 105

105×?10×30-20×45?2 因为 K2= ≈6.109>5.024. 30×75×50×55 故有 97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.
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2 2 (3)由题意,可知:甲校的优秀率为 ,乙校的优秀率为 ,由题意 11 5 可知, 随机变量 ξ=0,1,2,3,且 23 0 2 0 P(ξ=0)=C3? ? ?1- ? =
?5? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ?5? ? ? ? ? ?

5?
?

27 , 125 54 125, 36 , 125 8 125,
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2 1 2 1 ? ? ?1- ?2= P(ξ=1)=C3 5?
?

21 2 2 2 P(ξ=2)=C3? ? ?1- ? = 5?
?

2 3 2 3 ? ? ?1- ?0= P(ξ=3)=C3 5?

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从而求得 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3

27 54 36 8 P 125 125 125 125 2 6 故 ξ 的数学期望 E(ξ)=3× = . 5 5

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阅 卷 老 师 叮 咛

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关注高考概率与统计新视角

视角一 关注“实质性”知识
【示 例 1】? (2011· 福 建 )某产品按行业生产标准分成8个等 级,等级系数X依次为1,2,?,8,其中X≥5为标准 A,X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产 品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产

品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相
应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如表所 示:
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X1 P

5 0.4

6 7

8

a b 0.1

且X1的数学期望E(X1)=6,求a,b的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随

机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率, 求等级系数X2的数学期望;
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(3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工 厂的产品更具可购买性?说明理由. 产品的等级系数的数学期望 注:①产品的“性价比”= ; 产品的零售价 ②“性价比”大的产品更具可购买性.

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[满分解答]

(1)因为E(X1)=6,

所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6, 即6a+7b=3.2. 又由X1的概率分布列,得0.4+a+b+0.1=1, 即a+b=0.5.
?6a+7b=3.2, ? 由? ?a+b=0.5, ? ?a=0.3, ? 解得? ?b=0.2. ?

(4分)

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(2)由已知得样本的频率分布表如表: X2 3 4 5 6 7 8

f

0.3 0.2 0.2 0.1 0.1

0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率, 可得等级系数X2的概率分布列如表:

X2
f

3
0.3

4
0.2

5
0.2

6
0.1

7
0.1

8
0.1

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所以E(X2)=3·P(X2=3)+4·P(X2=4)+5·P(X2=5)+6·P(X2

=6)+7·P(X2=7)+8·P(X2=8)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+
6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (8分)

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(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,所 6 以其性价比为6=1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,所 4.8 以其性价比为 4 =1.2. 据此,可知乙厂的产品更具可购买性. (12分)

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老师叮咛:本题是一道概率与统计的综合性问题,考查数

据的处理能力、函数与方程思想、必然与或然思想等.本题
对高考数学的复习有很好的导向作用,命题设计的特色是 注重考查考生对概率与统计知识的形成过程的理解和应用. 其中,在求每一个随机变量的概率时,要确切地解释每一 个随机变量的含义,也就是要弄清楚每一个随机变量指的

是什么.对于判断“哪个工厂的产品更具可购买性”,不仅
需要考生理解产品“性价比”的数学意义,还要理解“性 价比”的大小决定产品的购买价值.这样的考题,更能体现 数学的现实性和应用性.
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视角二 关注“开放性”知识
【示例2】? (2011·陕西)如图所示,A地 到火车站共有两条路径L1和L2,据统 计,通过两条路径所用的时间互不影 响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(
分钟) L1的 频率 L2的

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1
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频率
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现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车

站.
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和 乙应如何选择各自的路径? (2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人 数,针对(1)的选择方案,求X的分布列和数学期望.

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[满分解答]

(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火

车站”, i 表示事件“乙选择路径 Li 时, 分钟内赶到火车站”, B 50 i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, 因为 P(A1)>P(A2),所以甲应选择 L1. P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, 因为 P(B2)>P(B1),所以乙应选择 L2. (6 分)
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X

0

1

2

P

0.04

0.42

0.54

所以E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. (12分)

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老师叮咛:本题考查概率与统计知识的综合应用,在求解 离散型随机变量分布列和计算离散型随机变量的期望值的 问题中,考查考生分析问题、处理数据、解答问题的数学 应用能力.设问的开放性、答题的多样性以及根据统计数据

提供的频率估计相应的概率,作出科学决策等是本题的亮
点,较好地体现了新课标理念.

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