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2012-2013学年圆玄中学高一数学第一学期寒假作业及答案


圆玄中学 2012-2013 年度第一学期寒假作业 高一数学
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分)
1. 若 A(?2,3), B (3, ?2), C ( , m) 三点共线, 则 m 的值为( )
m

1 2

A.

1 2

/>B. ?

1 2

C. ?2

D. 2

2. 已知集合 A= y y ? log 2 x, x ? 1 , B= ? y y ? ( ) x , x ? 1? ,则 A ? B =( ) A.( 0 , 1 )

?

?

?

1 B. ( 0 , ) 2

? 1 C.( , 1 ) 2

1 2

? ?

D.

?

3.一个几何体的三视图如图 1 所示,其中正视图与左视图都是边 长为 2 的正三角形,则这个几何体的侧面积为( )

3 A. B. 2? C. 3? D. 4? ? 3 4. 已知 A( 2,1 ),B( ? 1, b ),︱AB︱=5, 则 b =( ) A. ? 3 B. 5 C. ? 3 或 5 D. ? 3 或 ? 1 1 x 5.函数 f ( x ) ? e ? 的零点所在的区间是( ) x 1 1 3 3 A. (0, ) B. ( , 1) C. (1, ) D. ( , 2) 2 2 2 2
m

正(主)视 图

左(侧)视 图

俯视图

图 1

6. 如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( ) .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 7.已知 ? , ? 是平面, m , n 是直线,给出下列命题 ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? . ③如果 m ? ? , n ? ? , m 、n 是异面直线,那么 n与? 相交. ④若 ? ? ? ? m , n ∥ m ,且 n ? ? , n ? ? ,则 n ∥ ? 且 n ∥ ? . 其中正确命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8. 设函数 f ( x ) 定义在实数集上, 它的图像关于直线 x ? 1 对称, 且当 x ? 1 时,f ( x) ? 3x ?1, 则有( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

A. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3
B. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

9.已知函数 f ( x) ? log0.5 x ,若 0 ? c ? b ? a ? 1 ,令 M ?

f (a) f (b) ,N? , a b

P?

f (c ) ,则( ) c A. M>N>P B.N>M>P

C.P>N>M
1

D. M>P>N

10. 0 ? a ? 1 , 设 函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) , 则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 ( ) A. (??,0) B. (??, loga 3) C. (0,??) D. (loga 3,??)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11. 我国 2000 年底的人口总数为 M, 人口的年平均自然增长率 p,到 2010 年底我国人口总数 是 ;

12.已知点 A(?5,4) 和 B (3,2), 则过点 C (?1,2) 且与 AB 的距离相等的直线方程 为 ;

13. f (x) 为定义在区间 (?2,2) 的奇函数,它在区间 (0,2) 上的图象 为 如右图所示的一条线段,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为 ;

14. 如右图, 在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, P 在侧面 BCC1 B1 及边界上运动并保持 AP 点 ⊥ BD1 ,在图中画出点 P 的运动轨迹。 A1 1 D1 1 B1 D A B P C

C1

三、解答题(共 80 分)

15. (本小题 13 分)已知 ?ABC 的三个顶点是 A(?1,4) , B(?2,?1) , C(2,3) . (1)求 BC 边的高所在直线方程; (2)求 ?ABC 的面积 S.

16. (本小题 13 分)如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA ? AD ? a , AB ? 2a , 1

E 为 C1D1 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 BEC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

17. (本小题 13 分)甲、乙两地相距 200 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过
2

50 千米/ 小时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v 千米/小时的平方成正比,比例系数为 0.02;固定部分为 50 元/小时. (1) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 18. (本小题 13 分)如右图,在棱长都等于 1 的三棱锥 A ? BCD 中, F 是 AC 上的一点, 过 F 作平行于棱 AB 和棱 CD 的截面,分别交 BC,AD,BD 于 E,G,H (1) 证明截面 EFGH 是矩形; (2) F 在 AC 的什么位置时,截面面积最大,说 明理由. B E C 19. 本小题 14 分) a 为实数, ( 设 函数 f ( x) ? x x ? a , (1)当 ? 1 ? x ? 1 时,讨论 f (x) 的奇偶性; (2)当 0 ? x ? 1 时,求 f (x) 的最大值. F A G

H

D

20. (本小题 14 分)二次函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 ,

(1)求 f (x) 的解析式; (2)在区间 [?1,1] 上 y ? f (x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 图象的上方,试确定实 数 m 的范围。

圆玄中学 2012-2013 年度第一学期寒假作业

高一数学
班级 姓名 学号
3

答案
评分

一.选择题答案栏(30 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

B

C

B

D

B

B
D1 1

C

B

二、填空题(12 分) 11. 12.

M (1+p)10 x+4y-7=0 ,x=-1
14. A A1 1

C1 B1 D B P C

13. (?2,?1) ? (0,1) 三、解答题(58 分) 15. (10 分)

解: (1)设 BC 边的高所在直线为 l,由题知 k BC ?

3 ? (?1) ? 1 ――――2 分 2 ? (?2)
――――3 分

则 kl ?

?1 ? ?1, k BC

又点 A(?1,4) 在直线 l 上 所以直线 l 的方程为 y ? 4 ? ?1( x ? 1) 即x? y ?3 ? 0 ――――4 分

(2)BC 所在直线方程为: y ? 1 ? 1? ( x ? 2) 即 x ? y ? 1 ? 0 ――5 分 点 A(-1,4)到 BC 的距离 d ?

?1? 4 ?1 12 ? (?1) 2

?2 2

――――7 分

又 BC ? 则 S ?ABC ?

(?2 ? 2) 2 ? (?1 ? 3) 2 ? 4 2
1 1 ? BC ? d ? ? 4 2 ? 2 2 ? 8 2 2

――――8 分 ――――10 分

16. (12 分) 解: (1)证明:? BC ? 侧面 CDD1C1 ,

DE ? 侧面 CDD1C1 ,
∴ DE ? BC ―――2 分 在 ?CDE 中, CD ? 2a, CE ? DE ?
2 2 2 则有 CD ? CE ? DE ,

2a ,

4

∴ ?DEC ? 90? ,即 DE ? EC , 又∵ BC ? EC ? C ∴ DE ? 平面 BCE . (2)

――――4 分 ―――-6 分

? BC ? 侧面 CDD1C1 且 CE ? 侧面 CDD1C1 ,
∴ CE ? BC 则 S ?BCE ? ――――8 分

1 1 2 2 ? BC ? CE ? ? a ? 2a ? a 2 2 2

――――9 分

又∵ DE ? 平面 BDE DE 就是三棱锥 E-BCD 的高 则 VE ? BCD ? VD ? BCE ? 17. (12 分) 解: (1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为

-―――10 分

1 1 2 a3 ―――12 分 ? DE ? S ?BCE ? ? 2a ? a? 3 3 2 3
200 小时 v

――――1 分

全程运输成本 y(元)与速度 v(千米/时)的函数关系是:

y ? (50 ? 0.02v 2 ) ?
(2)令 f (v) ?

200 10000 ? ? 4v , v ? (0,50] v v

――――5 分

10000 ? 4v , v
――――6 分

设 0 ? v1 ? v2 ? 50

f (v1 ) ? f (v2 ) ?

v v ? 2500 10000 10000 8分 ? 4v1 ? ( ? 4v 2 ) ? 4(v1 ? v2 ) 1 2 v1v2 v1 v2

由 v1 ? v2 得 v1 ?v2 ? 0 ,又 v1 ? v2 ? 50 得 v1v2 ? 2500 且 v1v2 ? 0 ∴ f (v1 ) ? f (v2 ) ? 0 则 f (v) 在 (0,50] 上单调递减 ∴ f (v) min ? f (50) 答:为了使全程运输成本最小,汽车应以 50 千米/ 时的速度行驶。―――12 分 18. (14 分) A 解: (1)证:∵AB∥平面 EFGH, 平面 ABC ? 平面 EFGH=EF ∴AB∥EF 同理 AB∥GH ∴EF∥GH
5

――――10 分 ――――11 分

――2 分

F

G

B E C

H S

D

同理 EH∥CD∥FG

――4 分 ――5 分

∴四边形 EFGH 是平行四边形 取 CD 中点 S,连接 AS,BS ∵AC=AD,S 是 CD 中点 ∴AS⊥CD 同理 BS⊥CD 又∵AS ? BS=S ∴CD⊥平面 ABS ∴CD⊥AB 又∵AB∥EF,FG∥CD ∴EF⊥CD 即 四边形 EFGH 是矩形 (2) 设 FG= x , x ? (0,1) 由(1)知

――6 分

――8 分

――9 分 ――10 分

FG AF AB ? EF ? ? ,又 CD=AB=1 CD AC AB ∴EF= 1 ? x ―-12 分
――――13 分

则 S EFGH ? EF ? FG ? x(1 ? x)

1 1 ? ?( x ? ) 2 ? 2 4 1 时, S EFGH 最大 2 即 F 是 AC 的中点时,截面面积最大
∴当 x ? 19. (10 分) 解: (1)当时 a ? 0 , f (?x) ? ?x ? x ? ?x x ? ? f ( x) , 此时 f (x) 为奇函数。 ――――1 分

――――14 分

当 a ? 0 时, f (a ) ? 0 , f (?a) ? ?a ? a ? a ? ?2a a ? 0 , 由 f ( ?a ) ? f ( a ) 且 f ( ?a) ? ? f ( a) , 此时 f (x) 既不是奇函数又不是偶函数 (2) 当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a) 为增函数, ∴ x ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a . ―――4 分 ――――3 分

6

当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1,
2 ∴ f ( x) ? x( x ? a ) ? x ? ax ,其图象如图所示:

①当

a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 1 . 2

――――5 分

②当

a a2 a 1? 2 ―― 7 分 ?1? a ,即 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 4 2 2
1? 2 a ? 1 ,即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a 2
――9 分

③当

综上:当 a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? 1 ? a ; 当 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? 当 a ? 2 时, f ( x) max ? a ? 1 ; 20. 解: (1)由题设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0)

a2 ; 4
――――10 分

∵ f (0) ? 1

∴ c ?1

又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x

∴ a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? (ax2 ? bx ? c) ? 2x ∴ 2ax ? a ? b ? 2 x ∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (2)当 x ? [?1,1] 时, y ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1的图象恒在 y ? 2 x ? m 图象上方 ∴ x ? [?1,1] 时 x 2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 恒成立,即 x 2 ? 3x ? 1 ? m ? 0 恒成立 令 g ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ? m
x ? [?1,1] 时, g ( x) min ? g (1) ? 12 ? 3 ?1 ? 1 ? m ? ?1 ? m

?2a ? 2 ∴ ? ?a ? b ? 0

?a ? 1 ∴ ? ?b ? ?1

故只要 m ? ?1 即可,实数 m 的范围 m ? ?1

7


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