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沈晨竞赛讲义竞赛课件22:电磁感应面面观


?

动生电动势与感生电动势
动生电动势
+ B

感生电动势
B

F

v
E

Bqvl ?? ? Blv q

?? ?B Eq ? l ? ?S ?? ? El ? ? ?t ?t q ?B S E? . 示例

?t l 示例

如图所示,一长直导线中通有电流I=10 A,有一长l=0.2 m 的金属棒AB,以v=2 m/s的速度平行于长直导线做匀速运动,若棒的近导线的 一端与导线距离a=0.1 m,求金属棒AB中的动生电动势.

专题22-例1

解:

?0 直线电流磁场分布有 B ? 2? r I

?0 ? I ? ri ?1 ? ri ? v ? 2? ri n n r??r ? n 2?? ? i 1 2?? ? i ?? 1 ? 1 lim ? lim ri r ? ? n??I?1 ? nv ? I ? nv ?0 n??
?
i

设棒中总动生电动势为ε,

?0 ?i ? I ? ri ?1 ? ri ? v 2? ri

距直线电流ri处元动生电动势
I ri

v

?

a?l ?e a

2?? nv ?0 I

?

0

?

?0 Iv a ? l ?? ln 2? a

如图所示是单极发电机示意图,金属圆盘半径为r,可以无 摩擦地在一个长直螺线圈中,绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动,线圈导 线的一端连接到圆盘的边缘,另一端连接到杆上,线圈的电阻为R,单位长度有n 匝,它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量B0平行,若圆盘以角速度ω 转动,那么流过图中电流表的电流为多少? ω

专题22-例2

解: 通电螺线圈内磁场分布有 B ? ? nI
0

B0

A 1 ? ? ? B0 ? ?0 nI ? ? r 2 圆盘产生转动动生电动势 2 I 电流表读数: B0 ? ?0 nI ? ? r 2 ? 由I ? 2R

2R

I?

? r B0
2

?0 nr 2
2

ω

2 R ? ?0 n? r

O
B0 ?0 n

试手 规律

返回

a B0

O
??nI 0 0 nI

在磁感应强度为B,水平方向的均匀磁场内,有 一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动,如图所示.环上有长度为l 的很小的缺口,磁场方向垂直于环面.求当角AOC为α时环上产生的 感应电动势 .

解:

开口的细金属丝环在滚动过程“切割” 磁感线而产生动生电动势.如图:
O v
? ?

? ? Blv sin?
C

v

A

如图所示,在电流为I的无限长直导线外有与它共面的直角 三角形线圈ABC,其中AB边与电流平行,AC边长l,∠BCA=θ,线圈以速度v向右 做匀速运动,求当线圈与直线电流相距d时,线圈中的动生电动势. 无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为

解:

直角三角形线圈ABC的AB边在距直线电流d 时的动生电动势为 ? Ivl tan?

?0 B? I 2? r

B

v I B A d C l

?1 ? Bd vl tan? ?

0

直角三角形线圈的BC边各段处在不同磁场, 取第i段: 有效切割长度: ? r ? r ? tan ?
i ?1

2? d
i

则Bi ? ri ???Iv?tan ?? ? d ? l 1 0 ri v tan ? BC ? ln n r? d ?0 I ? ri ?1 ? 2i? ? BC ? v tan ? ? 2? ri n
BC 0

? BC

? ? ? ? 1 ? ? 2 ?2?? 0 Iv tan ? ? ln d ? l ? l ? ? ? d?l ? Iv tan? ? 2 d d? ? ?e

f

如图所示,一根永久性圆磁棒,在它的磁极附近套上一环 返回 形线圈,摆动线圈,使线圈沿轴做简谐运动,振幅A=1 mm(这比磁铁和线圈的尺 寸小得多),频率f=1000 Hz.于是,在线圈里产生感应电动势,其最大值εm=5V, 如果线圈不动,线圈通以电流I=200 mA,求磁场对线圈的作用力 .

解:

设线圈所在处磁场辐向分量为 Bx,线圈摆动时“切割”Bx而 产生动生电动势,线圈简谐运 动最大速度:

vmax ? 2? fA

此时有最大电动势:

? max

? max ? 2? fABx L B x ? 2? fAL
0.2 ? 5 N ?3 2 ? 3.14 ? 1000 ? 10

线圈通电时受所在处磁场辐向分量Bx安培力:

? max F ? Bx LI ? 2? fAL LI ?

? 0.16N

专题22-例3 一个“扭转”的环状带子(称为莫比乌斯带)是由长度为L,宽 度为d的纸条制成.一根导线沿纸带的边缘了一圈,并连接到一个电压表上,如图
? L ? ?? ? S 变化的磁场引起感生电场: 2 E ? k ? ? k ? 2? ? kL L L ? L 电压表读数: 由? ? E ? 2 L ?k 2? 4? 由法拉弟电磁感应定律,每个

解1:磁场随时间均匀变化

所示.当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中, 且磁场随时间均匀变化,即 B ? t ? ? kt ,电压表记录的数据为多少? 2

B ? kt

解2 : 线圈中的电动势为:
2

2 ? L ? L ?0 ? k ? S ? k ?? ? ? ?k ? 2? ? 4? 2

kL ?? 2?

专题22-例4 一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管,它的半径R是外 面螺线管半径的一半,两螺线管单位长度具有相同的圈数,且初时都没有电

解:

流.在同一瞬时,电流开始在两个螺线管中线性地增长,任意时刻,通过里边螺 线管的电流为外边螺线管中电流的两倍且方向相同,由于增长的电流,一个处于 两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆轨道运动,如图所示,求 该圆轨道半径r. 变化电流在螺线管上产生变化的匀强 ① Er

B2 ? 2?0 nI 2 ?0I ? Rr 2?0 nI R2 ? 2 R ? ?0 nI ? 2 R E ?0 n2 nI ? 2 ? 粒子绕行一周时间设为ΔT,则 ? ? ? r ?T 2 ?T 2r 2 4 ?0 nI ? R ? v 由动量定理,感生电场使静止粒子获得速度: q r ?? ?m B? ? ? 2 ?02 E T nI 2 1 v 2? R 2 粒子运动的一个动力学方程为: q ? 2R Bv ? 1 m r 2 2 ?0 nI r ? 2R q? ? T 2r T q ?0 nI ? 试手 规律 r B1 ? ?0 nI

磁场,变化的磁场产生感生电场。带 电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹 力与电场力;在向心力与速度相适配 的确定轨道做圆周运动.

r


?

?

?

?

? 2B

r ? 2R

返回

E

? B? S

?B ? R2 ?B R E? ? ? ? ?t 2? R ?t 2

B

R

由动量定理,感生电场使电子增加速度Δv为:

Fm

eE ? ?t ? m?v
v2 当电子速度为v 时,有: evB ? m 0 R

?B0 m eE ?B ? R ? ? ? ?t eR m 2 R?t

eE mv ? B0 ? eR ?B0 m ?v ? ? ? ?t eR ?t

轨道所在处的磁场磁感应强度为轨 道内磁场平均磁感应强度的一半!

B B0 ? 2

在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场.有一 长为l的金属棒放在磁场中,如图所示,设磁场在增强,其变化率为k.⑴求棒中的 感生电动势,并指出哪端电势高;⑵如棒的一半在磁场外,其结果又如何?

解:

?B ?感 ? ?S ?t 2 1 l? 2 ? kl 4 R 2 ? l 2 ?感 ? k ? l R ? ? ? ? 2 ? 2? 4
棒一半在磁场外时
?感
其中? ? tan ?1

回路中的感生电动势

B
O
?

2 ? ? 1?l ?l? ? k? R2 ? ? ? ? R2? ? 右端电势高 ? 2 ?2 ? 2? ? ? 2l l ?1 ? tan 4 R2 ? l 2 4 R2 ? l 2

? l 4 R2 ? l 2 R2 ? 2l l ?1 ?1 ? ? ?k ? ? tan ? tan ? 8 2 ? ? 4 R2 ? l 2 4 R2 ? l 2 ?

?? ?? ?? ??

一个很长的直螺线管半径为R,因线圈通过交流电而在线圈内引 起均匀的交变磁场B=B0sinωt,求螺线管内、外感生电场E的分布规律.

解:

把螺线管理想化为无限长通电直 螺线管,其磁场均匀且只分布在 管内.由于磁场按正弦规律变化, 必会引起感生电场.
2

B O

?B ? r ?B r E? . ? . ?t 2? r ?t 2 其中 sin ? ? t ? ?t ? ? sin ? t ?B r ? B0 lim ? B ? cos ? t ?E 0 t? 0?t 內 ?t 2 t ? ?t ? sin ??t cos ? ? 2 ?B R2 在管外,距轴心r处 ?B ? R ? 2 ? B0?Elim . ? ? . ?t ? 0?t 2? r ??t t 2r ? 2 R 2 ? B0? cos ?? E t B ? cos ? t
在管内,距轴心r处



2r

0

?

自感电动势

?? ?I ?自 ? N ?L ?t ?t

线圈面积

自感系数
电感

单位长度匝数 总匝数 有无铁芯

?

自感线圈中的磁场能

产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场 能的过程! I I I 若某?t , I i ? i , 电源移送元电量为 i ?t , 元功为 i ?t ? ?自 , n n n n 电流由0增至I做的总功为:

I I L W ? lim ? i ? ?t ? ?自 n ? ?t 1 2 n?? i ?1 n Em ? LI 2

有一个N匝的螺旋状弹簧如图所示,线圈半径为R、弹簧自然长 专题22-例5
度为x0 (x0 少?

R ? ) ,劲度系数为k,当电流I0通过弹簧时,求弹簧的长度改变了多

解: ? N ?? ? N ? nI? R 由?
自 0

先计算螺线管的自感系数
2
I

?t

N N 2 达到稳定时,磁通量不变: ?0 I 0? R ? ?0 I t ? R2 x0 xt xt 2 2 N ? 0? R ? It ? I0 Lt ? x0 x
由能量守恒:

L ? N ?0 n? R2

?t 2 I ? N ?0 n? R ?t

1 1 1 2 2 k ? x0 ? xt ? ? L0 I0 ? Lt I t2 2 2 2 N 2 ?0? R 2 2 2 k ? x0 ? xt ? ? I 0 ? x0 ? x t ? ? ? 2 x0 2 ?0? N 2 R 2 I 0 x0 ? x t ? 2 kx0

t

如图所示电路,直流电源的电动势为E,内阻不计,两个电阻值 为R,一个电阻值为r,电感的自感系数为L,直流电阻值为r.闭合开关S,待电路 电流稳定后,再打开开关S(电流计G内阻不计)⑴打开开关时,电阻值为r的电阻 两端电压为多少? ⑵打开开关后有多少电量通过电流计? ⑶闭合开关到电流稳 定时,有多少电量通过电流计?

解:

rE R?r 这也是开关刚打开时电感的端电压! ⑵开关打开过程,电源电流为0,通过 电表的是自感电流 E 电感上电流从原来的 I L ? ? R ? r ? ? 0
⑴闭合开关稳定时 U r ?

S
R E
r

R

⑶开关闭合过程,电源电流与自感电流叠加,通过电表的 是自感电流 E 电感上电流从原来的 0 ? IL ?

?自 L ? ?I LE q? ? ?t ? ? ?t ? 2r 2r ? ?t 2r ? R ? r ?
?R ? r?

L

?自 L ? ?I LE q? ? ?t ? ? ?t ? 2r ? R ? r ? 2r 2r ? ?t

解:

电磁涡流制动器由一电阻为ρ、厚度为τ的金属圆盘为主要部件,如 图所示.圆盘水平放置,能绕过中心O的竖直轴转动,在距中心O为r 处,一边长 为a的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若r a,试写 ? 出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘转动角速度之间的关系式.

处在磁场中的小金属块电阻为:

由法拉弟电磁感应定律,小金属块中的 感应电动势为: 2 小金属块中产生的感应电流(涡流)为:

a R?? a ??

?? B ? a E? ? ?t ?t

a ? r ? a, ? ?t ? r ?? 磁制动力矩:

E B ? a2 ?? I? ? R ? ? ?t

?

I?
2

Ba? r?

M ? BIa ? r ?

B a r ??
2 2

?

?

如图,在竖直面内两平行导轨相距l=1 m,且与一纯电感线圈L、 直流电源E(ε,r)、水平金属棒AB联为一闭合回路,开始时,金属棒静止,尔后 无摩擦地自由下滑(不脱离轨道).设轨道足够长,其电阻可忽略,空间中磁场B 的大小为0.4 T,其方向垂直于轨道平面,已知电源电动势为ε=9 V,内电阻r= 0.5Ω,金属棒质量m=1 kg,其电阻R=1.1Ω,线圈自感系数L=12 H,试求金属 棒下落可达到的最大速度.

解:

释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速 运动,由于线圈自感及棒的切割运动,产生与电源电动势相反 的感应电动势,使通过AB棒的电流逐渐减小,当感应电动势与 电源电动势相等时,棒上无电流,棒加速度为g,此后感应电 动势大于电源电动势,安培力与重力方向相反,当电流达到恒 定,棒速度达到最大时,线圈自感电动势为零,通过电流



vm lB ? E mg ? lB R?r

v m lB ? E I? R?r

L l A

E B

vm ? 122.5m/s

一无限长圆柱,偏轴平行地挖出一个圆柱空间,两圆柱轴间距 离,图所示为垂直于轴的截面.设两圆柱间存在均匀磁场,磁感应强度B随时间t 线性增长,即 B=kt .现在空腔中放一与OO′成60°角、长为L的金属杆AB,求杆 中的感生电动势.

解:

空洞处视作变化率相同的两反 向匀强磁场Ba、Bb叠加:

Ba EA O ra O ? d Bb

1 Ea ? k ? ra 2

两变化磁场在空洞中A处引起感生电 场Ea、Eb:

E A ? Ea ? Eb 1 ? k ? ra ? rb ? 2
1 即 E A ? kd 2

1 Eb ? ? k rb 2

A rb

空腔内为一匀强电场! ?

? ? EL sin60
3 ?? kdL 4

? 感应电流电路计算

?I ? 0

? IR ? ? ? ? 0

专题22-例6

在半径为a的细长螺线管中,均匀磁场的磁感应强度随时间均 匀增大,即B=B0+bt.一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路ABCDA,上底长为a, 下底长为2a,总电阻为R,放置如图所示:试求:⑴梯形各边上的感生电动势, 及整个回路中的感生电动势;⑵B、C两点间的电势差.

解: ?
? AD

⑴梯形回路处于感生电场中

? BC

1 2 ? ? b ? a sin 60 ? 3 ba 2 2 4

AB

? 0 ? CD ? 0

B

O

? ba 2 3 ⑵由全电路欧姆定律: I ? ? ? ? ?6 ? R B 4 ? ?
由一段含源电路欧姆定律:

?? 3? 2 ? ?? ? ? ba ?6 4 ? ? ? ??

1 2? ? 2 ? b? a ? ba 2 3 6

A B A

D C D

U BC ? I ? ?

?R 2?

? ? ba

2 3 ba 2 ?

C

专题22-例7 两个同样的金属环半径为R,质量为m ,放在均匀磁场中,磁 感应强度为B ,其方向垂直于环面,如图所示.两环接触点A和C有良好的电接触,
0

解:

角α=π/3.若突然撤去磁场,求每个环具有的速度.构成环的这段导线的电阻为r, 环的电感不计,在磁场消失时环的移动忽略不计,没有摩擦 .

磁场消失过程中,两环中产生的感应电流 I1 受磁场安培力冲量,因而获得动量.

B

磁场消失的Δt时间内每环平均电动势 2

?○

B? R ? ?t B? R2

O1

I 2 O2
BR 2 10? ? 3 3 10?t ? r BR 2 2? ? 3 3 2 ?t ? r

由基尔霍夫定律 ?t 3? 3? 2?? 2?? BR ? ? ? BR ? ? ? ?3 ?3 ? 2 ? 2 ? ? ??I r ? ?? ? 2 ?t 3 ?t 由动量定理: ? F ? F ? ?t ? mv
1 2

5r r ? I1 ? I 2 6 6

I1 ? I2 ?

?

?

?

?
F2

9 3B R B BR2 18 3 ? R? ? mv v ? 10rm 2 10r

2

3

F1

如图所示,由均匀金属丝折成边长为l的等边三角形,总电阻为 R,在磁感应强度为B的均匀磁场中,以恒定角速度ω绕三角形的高ac轴转动,求 线圈平面与B平行时,金属框的总电动势及ab、ac的电势差Uab、Uac.

解:

2 3 2 ? B? l 4 ? 线圈等效电路如图 I ? R
由一段含源电路欧姆定律:

? ? Bs? ? B? ? l sin 60

线圈平面与B平行时,金属框的 总电动势由 1 2 ? a

B

d a

c

b

R 3 ? 2 Uab ? ? I ? ? ? ? l ? B 3 2 24 R ? Uac ? ? I ? ? ? 0

I d c b

解:

在轻的导电杆的一端固定一个金属小球,球保持与半径为R= 1.0 m的导电球面接触.杆的另一端固定在球心处,并且杆可以无摩擦地沿任何 开关闭合后,电源电流通过 方向转动.整个装置放在均匀磁场中,磁场方向竖直向上,磁感应强度B=1.0 电路,达到稳定时,金属小 T.球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相联,如图所示.试描述当开关 闭合后,杆如何运动?如果杆与竖直线之间的夹角稳定在α=60°,求电源的电 球在适当位置沿球面做匀速 动势. 圆周运动;杆绕球面球心转动

??

产生与电源相反的电动势, 回路中电流为零 : 1 2 2

B Rα

S

E

2 2 mg tan ? ? m? R sin ? ? ? ?

B? R sin ? ? E

g R cos ?
?
N

B

1 g E? B R2 sin2 ? 2 R cos ?
代入数据:

3 E ? BR 2 gR ? 1.68V 8

mg

解:

如图所示,无限长密绕螺线管半径为r,其中通有电流,在螺 线管内产生一均匀磁场B.在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环,金属环 由两个半环组成,a、b为其分界面,半环的电阻分别为R1和R2,且R1>R2,当 螺线管中电流按 I ? I0 ? ? t 均匀增大时,求a、b两处的电势差Uab.

B ? B0 ? ? t ?B 2 2 ?? ? ? r ? ?? r 金属圆环所在处 ?t ? 金属圆环等效电路如图 I ? R1 R1 ? R2
由一段含源电路欧姆定律:

螺线管内磁场变化规律为

a
r O


b

a R2
?
2

U ab ? I ? R1 ?

?

?

I b
bD

2

2 R ?R 2 1 2 ? ?? r ? 2 ? R1 ? R2 ?

由绝缘均匀导线做成的闭合回路如图 所示弯成∞字形,交叉 处M点在N点之上,回路1的半径为r1,回路2的半径为r2,当磁感应强度按B=B0t规 律穿入回路时,确定M与N两点间电压;若将回路2向左翻折在回路1上,M与N间 电压又是多少?

解: R ? 2? r ?
1 1

设导线的线电阻率为ρ,则两回路电阻 :

R2 ? 2? r2 ?

两回路电动势大小 :

1

? 1 ? B0? r12 ? 2 ? B0? r22
等效电路如图 : 由一段含源电路欧姆定律: R1

M
M R2

N

2

U MN ? ?1 ? IR1 2 2 N B0? r1 ? r2 2 ? 0? 1 ? ? ? 2? r1 ? B0? rr1r2 2?? ? r1 ? r2 ? ? U MN ? ? 2 ? IR2 2 2 B0?? r12 ? r2 R1 r1 r 2 ? B0 r r ? B0??2r1?2 ? ? 2? r2 2?? ?r2 ? r2 ? r1 ? 1

?

?

M M

N

?

?

R2

环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部,箍 的轴与螺线管的轴重合,如图所示.箍由两部分组成,每部分的 电阻R1、R2不同且未知.三个有内阻的伏特表接到两部分接头处A 点和B点,并且导体A—V3—B严格地沿箍的直径放置,而导体A— V1—B和A—V2—B沿螺线管任意两个不同方位放置,交变电流通 过螺线管,发现这时伏特表V3的读数u0=5 V,伏特表V1的读数u1 =10 V.问伏特表V2的读数是多少?螺线管外的磁场以及回路电 感不计.
A
V3 V1 R1

R2
V2

B

解答

解:

螺线管通交流电,感生电场的 方向可能为顺时针或逆时针

A

读题

顺时针时

U R1 ? UV 1 ? 10V

10V V1 R2 V3 R1 5V 10V

U R1 ? U R2 ?
逆时针时

?

?

2

? UV 3 ? UV 3

?

V2

2

? 5V

2 ?? U R1 ? ? UV 3 ? 0 ?? 2 ? 15V 2 ?? U R2 ? ? UV 3 ? 20V 2

U R2 ? 0
10V

UV 2 ? 0
B A
V1 R1

10V

V3

5V

R2
V2

20V

UV 2 ? 20V
B

如图所示,一椭圆形轨道,其方程为 ,在中心处有 ? 2 ? 1? a > b > 0? a2 b 一圆形区域,圆心在O点,半径为r,r<b.圆形区域中有一均匀磁场B1,方向垂 直纸面向里,B1以变化率k均匀增大.在圆形区域外另有一匀强磁场B2,方向与B1 相同.在初始时,A点有一带正电q、质量为m的粒子,粒子只能在轨道上运动, 把粒子由静止释放,若要其通过C点时对轨道无作用力,求B2的大小.

x2

y2

解:
U AC

粒子过C点的速度决定所受洛伦兹 力,当洛伦兹力全部作向心力时,粒 子与轨道无作用! A A、C点间的电势差为

EC

y C

qvcB2
O

B2
x

涡旋电场力做功使粒子动能增加:
2

3? 2 ? ? k ? ? r ? n ? ? ? n ? 0,1, 2?? E A 4? ?

B1

3? 1 ? 2 qk ? ? r ? n ? ? ? mv c 4? 2 C点动力学方程为: 2 ? mvc qB2vc ? ?c a 2 br ? 3 ? 4n ? mk? B2 ? 2 而? c ? a 2q b

解:

如图所示,半径为R的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强 度为B,方向竖直向上,半径为R的绝缘光滑细环水平放置,正好套住磁场 区.在细环上串有一质量为m、电量为q的带正电小珠.t=0时,磁场B=0;0 <t<T时,B随时间t均匀增大;t=T时,B=B0;此后保持B0不变.试定量讨论t >T时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力.(小珠所受重力与圆环支持 力平衡) .

B0 R 有涡旋电场时,场强为 E ? ? B0 T 2 珠子受电场力而加速,由动量定理: B0 R q ? ? T ? mv B0 Rq B0 Rq T 2 磁场稳定时珠子的速度为: v? < 2m m
珠子匀速圆周运动的动力学方程为: 2 2 2
2

磁场均匀增大时有涡旋电 场;磁场恒定时电场消失!

F qvB0

2 2 v q B0 R m ? qB0 R ? q B0 R FN ? ? ? qB0 v ? F ? m ?= 2m R ? 2m ? R 4m

? 两类感应电流稳态电路 A.“电源”受有一恒定外力,初
速度为零;回路初始态电流为零, “电源”电动势为零.
规律

B.“电源”不受外力(安培力除
外) ,具有初速度;回路初始态有 电流,“电源”有电动势.
规律

R
“电源”为受有一恒力的导体 棒产生动生电动势 电流达到恒定时 ,棒匀速运动,速度

B

BLv mg ? B ? ?L R

mg

vm ?

mgR B L
2 2

mg I? BL
过程中
q?

B L mg ? v ? ma R BLx

电流达到稳定的 2 2

B L a ? g? v mR

2 2

R

返回

C “电源”为受有一恒力 的导体棒产生动生电动势 电流恒定 ,棒匀加速运动,加速度 mg

B

C ? BL?v mg ? B ? L ? ma ?t
mg ? ma a? I? 2 2 m?B L C BL
mg

“电源” 动生电动势减 小 电流为零时达到稳定态
电流减为零的过程中
2 2 2 2 BLv ? B L ?L B L ? FB ? ? ? FB B x? ? v0 ? R R ? mR ? ? ?

B

R

v0

BLx B 2 L2 B ?v ? v ?L ? mv0 ? mv ? R 0 mR x

B ? q ? L ? mv0
mv0 q? BL

B 2 L2 ? B 2 L2 ? x ? mv0 R a? x? m ? v0 ? 2 2 ? ? mR ? mR ? B L

“电源” 动生电动势恒 定 电流稳定

? BqL ? mv ? mv0

B

q ? C ? BLv
m m ? CB L
2 2

C

v0 v

v?

v0

CBLmv0 q? 2 2 B LC?m

解:

的导轨平面,轨道平面与水平面有α的倾角.一根无摩擦的导体棒,质量为m, 横跨在两根金属导轨上.若开关依次接通1、2 、3 ,使阻值为R(其余电阻均 不计)、电容为C或电感为L的元件与棒构成电路,当从静止放开导体棒后, 本题三个感应电流电路中,“电源”均为受有恒定外力(重力之 求棒的稳定运动状态. “下滑”分力)的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势, 通过开关转换,构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路.初始 状态相同的三个电路,在不同的电路条件下,其暂态过程及稳定态 R 迥异。 1 C B S→1 2 3 L 经加速度减小的加速过程,达到稳定态

专题22-例8 如图所示,一个磁感应强度为B的均匀磁场,垂直于一轨距为l

S→2

BLvm mgR mg sin ? ? B ? ?l vm ? 2 2 sin ? R

?

B l

a? g C ? BL?v 2 2 mg sin ? ? B ? L ? ma m?B L C ?t 续解

稳定态时电流恒定,导体棒做匀加速运动

m sin ?

S→3

读题
线圈产生自感电动势
BIl

g sin? Bl mg sin? ?I Bl ? ?s s L ? Blvi ? ?I ? v i ?t x 0 L ?t L Bl 0 s ?t ? 0时I ? 0 ? I ? L B2l 2 导体棒的运动方程为 mg sin ? ? s ? ma L mgL sin ? 取下滑 s0 ? g sin? v i 2 2 L B l

I?

B

B

加速度为零的平衡位置为坐标原点

B 2 l 2 ? mgL sin ? B2l 2 ? ma ? ? F ? ? mg sin ? ? ? x? ? ? x ? 2 2 L ? B l L ?
纯电感电路无稳定状态,导体棒和电流均做周期性变化 T ? 2?
振动方程为

mL B2l 2

? l 2 B2 ? Lmg sin ? x? cos ? t ?? ? 2 2 ? Lm ? l B ? ?

专题22-例9 如图所示,在与匀强磁场区域B垂直的水平面上有两根足够长

解:

的平行导轨,在它们上面放着两根平行导体棒,每根长度均为l、质量均为m、 电阻均为R,其余部分电阻不计.导体棒可在导轨上无摩擦地滑动,开始时左 棒静止,右棒获得向右的初速度v0.试求⑴右导体棒运动速度v1随时间t的变化; ⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势:E=Blv0,此后左 ⑵通过两棒的电量;⑶两棒间距离增量的上限.

v0 v1 ? v 2 ? 对两棒由动量守恒:mv0 ? mv1i ? mv2 i 2 ? 过程中两棒产生的动生电动势互为反电动势,则: ? B ? v1i ? v2 i ? l t ? n ? ? ? 中运动方程为 设右棒经时间t达稳态,元过程 n 右棒速度公式为 ? v ?i lB ? v1i1v ??v0i?? ? l B v1??vv1? i ?1? 2v i 2 t i lB v1 ? 0 ? 1 ? e m ? ? Rm 2R ? 2 2 ? ?t 2 B vi ? vi ?1 ? l B ?t ? ? l 左棒速度公式为v0 ? 2Rm ? 2vi ?
2 2

棒开始加速,右棒则减速,至两棒速度相同即达到稳定态;

l B ? ? 2 t? 2 ? 2viv?1 ? vv00? ??11? el B t ? Rm ? ? 2 2? Rmn ? ? 2vi ? v0 ? ? ?
2 2

续解

读题 ⑵通过两棒的电量相同,对任一棒运用动量定理导出式:

v0 Bql ? m 2

mv0 q? 2Bl

⑶设两棒间距离的最大增量为x:

?? B ? lx mv 0 q ? It ? ?t ? ? t ? 2R 2R 2Bl

x?

mv 0 R B l
2 2

半径为R的金属丝圆环,有一个沿直径方向放置的金属跨接线, 左、右两半圆上分别接上电容器C1和C2,如图所示.将环放置在磁感应强度随时 B0 t 间而线性增大的磁场中, B ? t ? ? ,磁场方向垂直于环面.某一时刻撤去跨接线, T 接着磁场停止变化,求每个电容器上带的电量 .

解:

金属跨接线两端电压即原来各电容 器电压,亦即环上感生电动势的一半: 2 ? ? B0? R U? ? - C1

-

撤去跨接线并停止磁场变化,两电容器相互 充、放电直至平衡:

2

2T

?

C2

B0? R2 ? Q ? ? C1 ? C2 ? ? ? C1 ? C2 ? 2 2T C1 ? C1 ? C 2 ? B0? R 2
Q1 ? C1 ? C 2 2T C2 ? C1 ? C2 ? B0? R2 Q2 ? ? C1 ? C2 2T ?

解:

如图所示为一“电磁枪”,它有一轨距为l、电阻可以忽略的水 平导轨,导轨另一端与一个电容为C、所充电压为U0的电容器相连接,该装置的 电感可以忽略,整个装置放入均匀的竖直的磁感应强度为B的磁场中,一根无摩 擦的质量为m、电阻为R的导体棒垂直于轨道放在导轨上,将开关翻转到b,求导 体棒获得的最大速度vmax及这个“电磁枪”的最大效率.

电容器上原电量为 Q1 ? CU0 当棒的速度达最大时电容器电量

Q2 ? vm lBC
设此过程历时Δt,由动量定理:
CU 0 ? v m lBC lB ? ?t ? mv m ?t

a b S

B l

vmax

lBCU 0 ? m ? l 2 B 2C
? m ? l 2 B 2C ? ? ml B C
2 2 2

最大效率为25%
?

1 2 mv m ?? 2 1 CU 02 2

?

ml 2 B 2C 2 ml 2 B 2C

?

2

1 ? 4

一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L,放 在竖直的圆柱形磁棒上面,如图所示.圆环与棒有同一对称 轴.在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的x0-y坐标中可近似地表示为 B y ? B0 ?1 ? ? y ? 和 Bx ? B0 ? x ,其中B0、α、 β为常量.初始时,圆环中没有电流,当它被放开后开始向下运动 且保持它的轴仍为竖直,试确定圆环的运动并求圆环中的电流.
y
0 x

解答

解:

初始时,圆环中没有电流,环中磁通量 :

读题

? y ? B0? r

2

圆环开始向下运动时,

B y 变化,感应电流I的磁通量 ? ? LI 2 环中磁通总量 : ? y ? B0 ?1 ? ? y ? ? r ? LI
即B0 ?1 ? ? y ? ? r 2 ? LI ? B0? r 2 U ? 0 ?? ? 0 ? B0? r 2 则I? y L

环受安培力为 :

Fm ? Bx I ? 2? r

环所在处磁场 y Fm

其中,环面过平衡位置时 :

Fm 2? 2 B02?? r 4 mg ? B0 ? r ? I 0 ? 2? r ? y0 L 环面在平衡位置下y时 : 2 2 4 2B0 ??? r y ? F ? mg ? Bx I y ? 2? r ? ? L

x

y mg

续解

∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:

1 T? B0 r 2

2mL

??

y
x

A?

mgL 2B02??? 2 r 4

圆环中最大电流为:

圆环中电流随时间变化规律为:

mg I0 ? 2B0 ?? r 2

mg I? 2 B0 ?? r 2

? ? 2 2?? ? ? t ? ? 1? ?cos ? ? r B0 ? Lm ? ? ? ? ? ? ?

如图(a)所示,在水平地面上有足够长的两条平 行金属导轨,导轨上放着两根可无摩擦地滑行的平行导体棒,每根 棒中串接电容为C的相同固体介质电容器,构成矩形回路.整个回 路处在匀强磁场中,磁场方向与回路平面垂直.已知两棒长均为l, 质量均为m,电阻均为R,其余电阻不计.开始时左棒静止,右棒 以初速v0平行导轨运动,则在运动过程中可给两电容器充电.⑴两 棒的最终速度是否相同?⑵就电容器C充电过程而言,回路可等效 ? C? 为图(b)所示无外磁场的静态回路,试求图(b)中 和? 值.

C?
B

C

C v0
(a)

l

C

??

C
S (b) 解答

解:C

B

C?
?
v1

读题

C

?

v2 l

C

⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势: E=Blv0,此后回路有充电电流,左棒开始加速,至两 棒速度差恒定即达到稳定态;

??

C

? 右棒 BlQ ? m ? v0 ? v1 ? ? 对两棒分别由动量定理: ? ? 左棒 BlQ ? mv2 ? 2BlQ B 2 l 2C 得 v1 ? v 2 ? v 0 ? ? v0 2 2 m m?B l C Q 故达到稳定时,回路中总电动势 :? ? B ? v ? 2BlQ ? l ? 2 ? 0 ? ⑵两电路等效, C m ? ? 由充电之初知 ? ? ? Blv0 ?? Blv0BCmlv0 m BCmlv0 QQ ? ? 由充电之末知 ? ? 2 2 ? m ? B2CC ? 1 2 2 l2 ? 2B 2l 2 2?m ? B l C ? ?
C C?


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