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圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)



专题:圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题
一、临阵磨枪
1.直接法(五部法) :如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些 几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含 x, y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义) ,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法(代入法) :有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随 着另一动点 (称之为相关点) 而运动的, 如果相关点所满足的条件是明显的, 或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。 4.参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现 (或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间 等)的制约,即动点坐标 ( x, y ) 中的 x, y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以把这个变 量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程, 只要消去参变量即可。 5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标, 再消去参数得出所求轨迹方程, 此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀
1.已知 M(-3,0) ,N(3,0) PM ? PN ? 6 ,则动点 P 的轨迹方程为 析:

MN ? PM ? PN ∴点 P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 y ? 0( x ? 3) 2.已知圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,圆 O ? 的方程为 x ? y ? 8x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向两
2 2 2 2

圆所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程为 析: ∵圆 O 与圆 O ? 外切于点 M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点 P 的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为 x ? 2 3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , M 是椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点, 则线段 MF1 a2 b2

的中点 P 的轨迹方程为 析:设 P ( x, y )

M ( x0 , y0 ) 又 F1 ( ?c,0) 由中点坐标公式可得:

x ?c ? x? 0 ? ?x ? 2x ? c ? 2 ?? 0 ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2
1

又点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 a2 b2



2 2 x0 y0 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

因此中点 P 的轨迹方程为

(2 x ? c) 2 4 y 2 ? 2 ?1 a2 b

4.已知 A、B、C 是不在同一直线上的三点,O 是平面 ABC 内的 一定点,P 是动点,若 OP ? OA ? ? ( AB ? 则点 P 的轨迹一定过三角形 ABC 的 重

1 BC ), ? ? ?0,?? ? , 2
心。

析:设点 D 为 BC 的中点,显然有 OP ? OA ? AP

AB ?

1 BC ? AB ? BD ? AD 2

AP ? ? AD, ? ? ?0, ??? 故点 P 的轨迹是射线 AD, 所以,轨
迹一定过三角形的重心。

三、大显身手
1、直接法 例 1、设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,若 BP ? 2PA, 且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程为 解:设 A(a,0), B(0, b) 又 P( x, y ) 所以 BP ? ( x, y ? b), PA ? (a ? x, ? y )

又 BP ? 2PA,

3 ? ? x ? 2(a ? x ) ?a ? x ?? 所以 ? 2 ? y ? b ? ?2 y ? ? b ? 3y

3 3 ? A( x,0), B(0,3 y ) ? AB ? ( ? x,3 y ) 2 2
而 Q 点与 P 点关于 y 轴对称,∴点 Q 的坐标为 ( ? x, y ) 即 OQ ? (? x, y) 又 OQ ? AB ? 1 所以

3 2 x ? 3 y 2 ? 1 这个方程即为所求轨迹方程。 2

变式 1、已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,动点 P 的轨 迹方程为 解:设 P( x, y ) 则: MN ? 4, MP ? 又 MN ? MP ? MN ? NP ? 0

( x ? 2)2 ? y 2 , MN ? (4,0), NP ? ( x ? 2, y ).

? 4 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x ? 2) ? 0 化简得所求轨迹方程为: y 2 ? ?8x

2

y

2、定义法 例 2 、 已 知 圆

A

的 方 程 为
M

,M 为圆 O ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 100,点 B(-3,0) 上任意一点,BM 的中垂线交 AM 于点 P,求点 P 的轨迹方程。 解:由题意知: MP ? BP

P

A B O

x

? PB ? PA ? MP ? PA ? AM
又 圆 A 的 半 径 为 10 , 所 以

AM ? 10

? PA ? PB ? 10
即点 P 的轨迹是以定点 A(3,0) B(-3,0)为焦点,10 为长轴的椭圆 (椭圆与长轴所在的对称轴 的两交点除外)其轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) 25 16
y P M

x2 y2 变式 2、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 a b

F1 , F2 ,P 是椭圆上的任意一点,如果 M 是线段 F1 P 的
中点,则动点 M 的轨迹方程是
F1

0

F2

x

解:因为 M 是线段 F1 P 的中点,连接 OM,则

OM ?

1 PF2 2

MF1 ?

1 PF1 2

由 椭 圆 的 定 义 知 :

PF1 ? PF2 ? 2a

MF1 ? MO ?

1 ( PF1 ? PF2 ) ? a 2

即点 M 到定点 O、定点 F1 的距离和为定值 a ,故动点 M 的轨迹是以 O、 F1 为焦点,

c 4( x ? ) 2 2 2 ? 4y ? 1 以 a 为长轴的椭圆,其方程为 a2 b2
(说明:此题也可以用代入法解决) 3、坐标转移法(代入法) 例 3、从双曲线 x ? y ? 1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂
2 2

线,垂足为 N,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程。
3

解:设 Q ( x0 , y0 ) 则由

? x ? y ? x0 ? y 0 ? 0 可得 N 点坐标 ? ? x? y?2?0
x0 ? y 0 ? 2 ? ? x? 2 ? ? x0 ? y 0 ? 2 ?y ? 2 ?
由中点坐标公式可得: 设 P( x, y)

3x0 ? y 0 ? 2 ? ? 2x ? ? 2 x ? 3x ? y ? 2 2 ?? 0 ? ? x0 ? 3 y 0 ? 2 ?2 y 0 ? x ? 3 y ? 2 ?2 y ? 2 ?
2 2 所以 4 x0 ? 4 y0 ?4
2

又点 Q ( x0 , y0 ) 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上,

代入得 (3x ? y ? 2) ? ( x ? 3 y ? 2) ? 4
2

化简得 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 即为所求轨迹方程。 2

变式 3、自抛物线 y 2 ? 2 x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线,垂足为 Q,连接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直线交于 R,求点 R 的轨迹方程。

解:设 R( x, y), P( x0 , y0 ) ∵抛物线的方程是 y 2 ? 2 x
1 1 ∴ F ( ,0), Q (? , y 0 ) 2 2
所以 直线 OP 的方程是 y0 x ? x0 x ? 0 直线 QF 的方程是 y 0 x ? y ?

1 y0 ? 0 2

? 2x ? ? x0 ? 2 x ? 1 2 联立两方程得: ? 又 y0 ? 2 x0 ? 2y ? y0 ? 2x ? 1 ? ? 2y 2 ? 2x ) ? 2( ) 化简得: 2x 2 ? y 2 ? x ? 0 即为所求轨迹方程。 所以 ( 2x ? 1 2x ? 1
4、参数法 例 4、设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆 4

于 A、B,点 P 满足 OP ? M 旋转时,求:

1 1 1 (OA ? OB ) ,点 N ( , ) ,当直线 l 绕点 2 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) NP 的最大、最小值。
4

解: (1)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 代入椭圆方程得

(4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

? 2k 4? k2

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? ?

2k 2 ?2 4? k2
1 (OA ? OB ) 可得 2

设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OP ?

x1 ? x2 k ? ?x ? 2 ? ? 4 ? k 2 消去参数 k 即得所求轨迹方程为: 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ? y1 ? y 2 4 ?y? ? 2 4? k2 ? 当斜率 k 不存在时,点 P 的坐标为(0,0)显然在轨迹上,
故动点 P 的轨迹方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 。

1 (2)P 点的轨迹方程可以化为 16 x 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 2 1 1 1 所以可设点 P 的坐标为 ( cos ? , ? sin ? ) 则 4 2 2 1 1 2 1 3 1 1 2 PN ? ( cos ? ? ) ? ( sin ? ) 2 ? ? cos 2 ? ? cos ? ? 4 2 2 16 4 2 3 2 7 ? ? (cos ? ? ) 2 ? 16 3 12
所以 当 cos ? ? ?

2 时 3
2

PN max ?

21 6

当 cos ? ? 1 时 PN

min

?

1 4

变式 4、过抛物线 y ? 2 x 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB. (1) 求弦 AB 的中点的轨迹方程; (2)证明:直线 AB 与 x 轴的交点为定点。 解: (1)由题意知 OA 的斜率存在且不为零,设为 k

则直线 OA 的方程为 y ? kx 与抛物线 y 2 ? 2 x 联立可得
点 A 的坐标为 (

2 2 , ) 同理可得点 B 的坐标为 k2 k

(2k 2 ,?2k )
1 ? 2 ?x ? k ? k 2 ? 1 ? y ? ?k k ?
5

设弦 AB 的中点为 M(x,y)则

消去 k 得弦 AB 的中点的轨迹方程为

y2 ? x ? 2
(2)直线 AB 的斜率为 k AB ?

k 1? k 2 k ( x ? 2k 2 ) 所以,其方程为 y ? 2k ? 1? k 2

令y ?0 得x ? 2

故直线 AB 与 x 轴的焦点为定点(2,0) 5、交轨法

x y2 例 5、垂直于 x 轴的直线交双曲线 2 ? 2 ? 1 于 M、N 两点, A1 , A2 为双曲线的顶点, a b
求直线 A1 M 与 A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状。

解:.解:(1)设 M 点的坐标为(x1,y1),则 N 点坐标为(x1, -y1),又有 A1 (?a,0), A2 (a,0) 则 A1M 的方程为:y=

y1 ( x ? a) x1 ? a



A2N 的方程为:y=-

y1 ( x ? a) x1 ? a
2 2



①×②得:y =-

2

y1
2

x1 ? a

(x2 ? a 2 )
2 2



又因点 M 在双曲线上,故

x1 y1 b2 2 2 ? ? 1 , 即 y ? ( x1 ? a 2 ). 1 a2 b2 a2

x2 y2 代入③并整理得 2 ? 2 =1.此即为 P 的轨迹方程. a b

变式 5、设点 A、 B 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上除原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,
2

OM⊥AB 于 M,求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。

解:设OA=y=kx, 则 OB : y ? ?

1 x, k

? 2p 2p ? y ? kx 得 A( 2 , ) 同理 B(2pk2, -2pk) ? 2 k k ? ? y ? 2 px 2p 1 ? 2 pk ?k 1 k k AB ? k ? k ? ? 2p 1 1 1? k 2 2 2 ? 2 pk ? k ? k k k2 k2
6

k k 2 pk 3 2 ( x ? 2 pk ) ? x ? 1? k 2 1? k 2 1? k 2 k 2 pk 3 k 2 pk k y? x ? 2 pk ? ? x? ? ( x ? 2 p) ....① 2 2 2 2 1? k 1? k 1? k 1? k 1? k 2 1? k 2 x .....② 而op: y ? k k ? 1) ? y ? 1 ? k 2 ( x ? 2 p).......( ? ∵ M 为AB与 OM 的交点,联立①② ? 2 ? y ? ? 1 ? k x.......... ......(2) ? k ? (1)×(2)消去k, 2 2 2 y =-(x-2p)x, ∴ x +y -2px=0(x≠0) 即为所求.

AB: y ? 2 pk ?

四、享受战果
1、已知 M (?2,0), N (2,0), PM ? PN ? 4 ,则动点 P 的轨迹方程为 析:满足条件的点在线段 MN 上,故轨迹方程是 y ? 0( ?2 ? x ? 2) 2、经过抛物线 y 2 ? 2 px 焦点的弦的中点的轨迹方程为
析:设过焦点的弦 AB 所在的直线方程为 y ? k ( x ?

p ) 代入抛物线方程消去 y 的 2

p k 2 p2 k 2 ( x ? )2 ? 2 px ? k 2 x 2 ? p(k 2 ? 2) x ? ?0 2 4

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

AB 的中点为 M ( x, y )

? x1 ? x2 p (k 2 ? 2) x ? ? ? ? 2 k2 则 ? 消去参数 k 得 ? y ? y1 ? y2 ? k ? ( x ? x ) ? p ? ? 2 p 1 2 ? 2 2 k ?
y 2 ? p( x ?
2 2

p ) 这就是所求轨迹方程。 2

3、与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 析:若与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,又与 y 轴相切的圆在 y 轴的左侧,
2 2

则所求轨迹方程为 y ? 0( x ? 0) 若与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 外切,又与 y 轴相切的圆在 y 轴的右侧
7

则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径 2 等于动圆圆心到 y 轴的距离, 故所求轨迹方程为 y 2 ? 8x.
4、 设 A1 , A2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点,P1 , P2 是垂直于长轴的弦的端点, 则直线 A1 P 1 9 4

与 A2 P2 的交点的轨迹方程为

解析:设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0) ∵A1、P1、P 共线,∴
y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3 y ? y0 y ? x ? x0 x ? 3
2 2

∵A2、P2、P 共线,∴ 解得 x0= , y0 ?
9 x

x y 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 x 9 4 9 4

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,A 是椭圆上任意一点,过点 F1 向∠ F1 AF2 的外 5、已知椭圆 4 3
角平分线作垂线于 D,则点 D 的轨迹方程为

解:设 F1 D 的延长线交直线 F2 A 于 P,

D( x, y), P( x1 , y1 ) 由椭圆的定义知:

PF2 ? AF 1 ? AF 2 ? 2a =8
∴ ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? 8 ①

x1 ? 1 ? ?x ? 2 ?x ? 2x ? 1 又? ?? 1 y ? y1 ? 2 y ? y? 1 2 ?

代入①得

x 2 ? y 2 ? 2( y ? 0) 即为点 D 的轨迹方程。
6、过原点的双曲线以 F(4,0)为一个焦点,且实轴长为 2,则此双曲线的中心的轨迹方 程为 析:设双曲线的中心为 P( x, y ) ,则双曲线的另一个焦点为 F ?(2 x ? 4, 2 y )

又双曲线过原点,且实轴长为 2,

8

所以 OF ? OF ? ? 4

即 4 ? (2 x ? 4)2 ? 4 y 2 ? 4

化简得: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 16 (x ? 6).
7、在 ?ABC 中,已知 B(-3,0) ,C(3,0),AD⊥BC 于 D, ?ABC 的垂心 H 分 AD 所成的比为

1 。 (1)求点 H 和点 A 的轨迹方程; (2)设 P(-1,0) ,Q 8
(1,0)那么

1 1 1 能成等差数列吗? , , HP PQ HQ

解 (1)设 H 点的坐标为 ( x, y ) ,对应的 A 的坐标为

( x1 , y1 ) , 则 D 的坐标为 ( x1 ,0) , 由 H 分有向线段
1 AD所成的比为 知 8

? x ? x1 ? ? 8 y ? y1 ? 9 ?
? y y ? 1 ? ?1 x ? 3 x1 ? 3
x2 y2 即 ? ? 1( y ? 0), 9 8

又 ? BH ? AC

9 y y 8 故 ? ? ?1, x ?3 x ?3
此即点 H 的轨迹方程. ? x ? x1 ? 再将? 8 代入上式, 得 y ? y1 ? 9 ?

64 2 y1 x12 8 2 x 即 ? y1 ? 1, 81 ? ? 1, 9 81 9 8 x2 8 2 故点A的轨迹方程为 ? y ? 1( y ? 0). 9 81 1 1 1 , , 能成等差 (2)由(1)可知, P, Q 分别为椭圆的左右焦点, 设 H(x, y), 且 HP PQ QH
2 1

1 1 数列, 则 2 ? ? ,但 PQ HP HQ
2 ? 2

1 1 PQ ? 2, HP ? 3 ? x, HQ ? 3 ? x, 故 3 3

1 1 ? , 化简得 x 2 ? 27 1 1 3? x 3? x 3 3 2 y x2 但此时 ? 1 ? ? 1 ? 3 ? 0, 矛盾! 8 9
8、 已知直线 l 与椭圆
9



1 1 1 , , 不可能成等差数列 . HP PQ QH

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y 轴分别 a2 b2

交于 R、S,求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解: 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2, 得 b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 . 化简后,得关于的一元二次方程 于是其判别式

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.

? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ).

由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m2 . 在直线方程 y=kx+m 中,分别令 y=0,x=0,求得 令顶点 P 的坐标为(x,y),由已知,得



R(?

m ,0), S (0, m). k

代入①式并整理,得

m y ? ? ?x ? ? , ?k ? ? , 解得 ? k x ? ? ? ? y ? m. ?m ? y.

a2 b2 ? ? 1, x2 y2

即为所求顶点 P 的轨迹方程. 9、动点 P 到直线 x=1 的距离与它到点 A(4,0)的距离之比为 2,则点 P 的轨迹方程 是 略解:由题意知:点 P 到点 A(4,0)与它到直线 x=1 的距离之比为

1 2

( x ? 4) 2 ? y 2 1 ? 设 P(x,y)则 x ?1 2
化简得: 3x ? 4 y ? 30x ? 63 ? 0
2 2

10、已知 A(0,7) ,B(0,-7)C(12,2) ,以 C 为一个焦点作过 A、B 的椭圆,求椭圆的 另一焦点 F 的轨迹方程。 解:由题意得: AC ? AF ? BC ? BF 而 AC ? 13, BC ? 15 所以 AF ? BF ? 2 故动点 F 的轨迹是分别以 A、B 为焦点,实轴为 2 的双曲线的下半

支,其方程是

y2 ?

x2 ? 1( y ? ?1) 48
2 2

11、已知圆 O 的方程 x ? y ? 4 ,若抛物线过点 A(0,-1),B(0,1),且以圆的切线为准线, 求抛物线的焦点的轨迹方程。 解: 首先 设焦点为 F(x,y),准线(即圆的切线)为 L

10

A 到 L 的距离为 a, B 到 L 的距离为 b 那么 根据抛物线的性质 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b 而 a+b 恰是圆的直径(画个示意图 想想为什么) 既有 |AF|+|BF|=4 故 动焦点 F 的轨迹是分别以 A,B 为焦点的椭圆, 而且半长轴是 2

y2 x2 ? ? 1。 故所求轨迹方程是 4 3
12、已知圆 O 的方程 x 2 ? y 2 ? 2 ,圆 O ? 的方程 x 2 ? y 2 ? 8x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向圆 O 和圆 O ? 所引的切线长相等,求动点 P 的轨迹方程。 解:设由动点 P 向圆 O 和圆 O ? 所引的的切线的切点分别为 A、B,则由题意有:

P A? P B , 即
2 2

P O ? O A?
2 2

2

2

P? O?

2

? O B 设 P( x, y )

2

则 x ? y ? 2 ? ( x ? 4) ? y ? 6 ? x ?

3 即为动点 P 的轨迹方程。 2

13、已知抛物线 y 2 ? 2 px ,过顶点的两弦 OA、OB 互相垂直,以 OA、OB 为直径的两圆 的另一交点 Q 的轨迹方程。 解:设 A(

y12 y2 , y1 ), B( 2 , y2 ). 由 OA⊥OB 可得 2p 2p
2p 2p ? ? ?1,? y1 y2 ? ?4 p 2 . …………..① y1 y2

kOA ? kOB ?

可以求得,以 OA 为直径的圆的方程为: x( x ? x1 ) ? y( y ? y1 ) ? 0. 即 x( x ?

y12 ) ? y ( y ? y1 ) ? 0 . 2p
2 y2 ) ? y ( y ? y2 ) ? 0. 2p

同理,以 OB 为直径的圆的方程为 x( x ? 设 P( x0 , y0 ) ,点 P 为两圆交点,则

x0 ( x0 ?

y12 y2 ) ? y0 ( y0 ? y1 ) ? 0, x0 ( x0 ? 2 ) ? y0 ( y0 ? y2 ) ? 0. 2p 2p z2 ) ? y0 ( y0 ? z ) ? 0 的两根 2p

所以, y1 , y2 可以看作是关于 z 的方程 x0 ( x0 ?
11

2 2 整理得 x0 z 2 ? 2 py0 z ? 2 p( x0 ? y0 ) ? 0.
2 2 2 p( x0 ? y0 ) . x0

由根与系数的关系,可知

y1 y2 ? ?

结合①式,有

2 2 x0 ? y0 ? 2 px0

2 即 ( x0 ? p)2 ? y0 ? p2

所以 P 的轨迹方程为 故

2 ( x ? p) ? y2 ? p2 ( x? 0 ) .

点 P 的轨迹是以 ( p,0) 为圆心, p 为半径的圆(去掉原点).

(另法);解:设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? b (显然 b ? 0 ) ∴

y ? kx y ? kx ? 1 则 y 2 ? 2 px ? 1 ? 2 px ? ? by 2 ? 2 pxy ? 2 pkx 2(两边同时除以 x 2 ) b b y y ? b( ) 2 ? 2 p( ) ? 2 pk ? 0 ∵OA⊥OB 则 x x

y1 y2 2 pk ? ? ?1 ? b ? ?2 pk . x1 x2 b
代入直线 AB 的方程: y ? k ( x ? 2 p) ………..① ∵OP⊥AB ∴OP 的方程为: y ? ?

1 x ………….② k
2

①、②式联立消去 k ,得到 P 的轨迹方程 y ? ? x( x ? 2 p),( x ? 0) 当 AB⊥ x 轴时,斜率 k 不存在,此时 P 点为 AB 中点,且在 x 轴上,坐标为 (2 p,0) 满足上面的方程,因此 P 点的轨迹方程为 y ? ? x( x ? 2 p),( x ? 0) .
2

14、 已知三点 N (0,? 2 ? a) ,P ( t ,?2 ? a), F (0, a) ,其中 a ? 0 , 动点 M 满足 NP ? PM ? 0 且 PM ? MF ? 2. (1) 求动点 M 的轨迹方程; (2) 过点 F 作直线与动点 M 的轨迹交于 A、B 两点,求 ?AOB 的面积的最小值。 解: (1)∵动点 M 满足 NP ? PM ? 0 ,且 PM ? MF ? 2. ∴动点 M 的轨迹是以 F (0, a) 为焦点,以 y ? ? a 为准线的抛物线。 所以点 M 的轨迹方程是 x ? 4ay .
2

(2) 显然直线 AB 的斜率存在设为 k, 则直线 AB 的方程为 y ? kx ? a 与抛物线方程联立消
12

去 y 得: x ? 4akx ? 4a ? 0
2 2

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

则 x1 ? x2 ? 4ak , x1x2 ? ?4a 2 而 S?AOB ?

1 1 a x1 ? x2 ? a ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2a 2 k 2 ? 1 2 2

2 所以 当 k ? 0 时, ?AOB 面积的最小值为 2a .

15、已知点 Q 位于直线 x ? ?3 右侧,且到点 F(-1,0)与直线 x ? ?3 的距离之和为 4. (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)直线 l 过点 M(1,0)且交曲线 C 于 A、B 两点,点 P 满足 FP ?

1 ( FA ? FB ) ,且 2

EP ? AB ? 0 ,求点 E ( x0 ,0) 的横坐标 x0 的取值范围。
解: (1)设 Q( x, y )( x ? ?3) 由题意有

x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ? y 2 ? ?4 x, x ? ? ?3,0?
∴动点 Q 的轨迹 C 为以 F ( ?1,0) 为焦点,坐标原点为顶点的抛物线在直线 x ? ?3 右侧 的部分. (2)由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y 2 ? ?4 x 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 由 ? 可得 ? y ? k ( x ? 1)
2 2 k 2 x 2 ? (4 ? 2k ) x?k ? 0,? x1 ? x 2 ?

2k 2 ? 4 ,x x 1 ? 2 1. k2
3 ? k 2 ? 1. 4

? (4 ? 2k 2 ) 2 ? 4k 4 ? 0 ? 由题意 ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? 0 ?( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 0 2 ? 1
由 FP ?

解之得

1 k2 ? 2 2 ( FA ? FB ) 可知:点 P 为线段 AB 的中点, ? P( 2 , ? ) 2 k k

由 EP ? AB ? 0 可知 EP⊥AB

2 2 k 整理得 x0 ? ? 2 ? 1. ? ? k ? ?1 2 k k ?2 x0 ? k 11 ∴ x0 的取值范围是 ( ? , ?3) 3
13

16、设双曲线 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a2 b2

A、B 为其左、右两个顶点,P 是双曲线 C1 上的任意一 点,引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点 Q. (Ⅰ)求 Q 点的轨迹方程; (Ⅱ)设(I)中所求轨迹为 C2,C1、C2 的离心率分别为 e1、e2,当 e1 ? (I)解法一:设 P(x0,y0), Q(x ,y )

2 时,e2 的取值范围.

? A(? a,0), B (a,0), QB ? PB, QA ? PA y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1?? (1) ? 0 ?? ? y 0 ? y ? ?1?? (2) ? ? x0 ? a x ? a y2 y2 由(1) ? (2)得 : 2 0 2 ? 2 ? 1?? (3) x0 ? a x ? a2 ? x2 0 a2 ? y2 0 b2 ? 1,? y2 0 x2 ? a2 0 ? b2 a2

代入(3)得b 2 y 2 ? x 2 a 2 ? a 4 即a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4
经检验点 (?a,0), (a,0) 不合 因此 Q 点的轨迹方程为 a2x2-b2y2=a4(除点(-a,0),(a,0)外) (I)解法二:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵A(-a, 0), B(a , 0), QB⊥PB, QA⊥PA

y ? y0 ? x ? a ? x ? a ? ?1 ?( x ? a) x ? yy ? ?ax ? a 2 ?? (1) ? 0 ? 0 0 ?? ?? y y ? ( x ? a) x 0 ? yy0 ? ax ? a 2 ?? (2) ? 0 ? ? ?1 ? ? ? x0 ? a x ? a 由(1) ? (2)得2ax0 ? ?2ax ? x 0 ? ? x ?? (3) 把(3)代入(2)解得 : y 0 ? ? 把(3)(4)代入 ( x 0 ? a)(x ? a) ( x ? a)(x ? a) x 2 ? a 2 ? ? ?? (4) y y y

2 2 x0 y0 x 2 (x 2 ? a 2 )2 ? ? 1 得 : ? ?1 a2 b2 a2 y 2b 2

?当x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0 ?a 2 x 2 ? b2 y 2 ? a 4 ? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除点(?a,0), (a,0)外)
(I)解法三:设 P(x0,y0), Q(x,y), ∵PA⊥QA
14



y0 y ? ? ?1 ??(1) x0 ? a x ? a
1 1 | PQ |, | RB |? | PQ | 2 2

连接 PQ,取 PQ 中点 R

? PA ? QA, QB ? PB,?| RA |? ?| RA |?| RB |,? R点在y轴上

x0 ? x ? 0, 即x0 ? ? x ?? (2) 2 y y 把(2)代入(1)得 : 2 0 2 ? ?1 a ?x 2 2 x ?a ? y0 ? 0 ?? (3) y ? 把(2)(3)代入
2 2 x0 y0 x2 (x2 ? a 2 )2 ? ? 1 , 得 ? ?1 a2 b2 a2 y 2b 2

? x ? ? a时, 不合题意,? x 2 ? a 2 ? 0 整理得 : a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 ? Q点轨迹方程为a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? a 4 (除去点(? a,0), (a,0)外) ( II )解 : 由( I )得C 2的方程为 x2 a2 ? y2 ?1 a4 b2

a4 2 a2 a2 1 2 b e ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1? 2 2 2 2 2 a b c ?a e ?1 ? e1 ? 2 a2 ?
2 ? e2 ? 1?

1 ( 2)2 ?1

?2

?1 ? e ? 2

17、如右图,给出定点 A(a,0)(a>0)和直线 l:x=-1.B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的角平分线交 AB 于 C.求点 C 的轨迹方程,并讨论 方程表示的曲线类型与 a 值的关系. 依题意,记 B(-1,b)(b∈R),则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=-bx.设点 C(x,y),则有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得
|y| = |y ? bx| 1 ? b2 . ①

依题设,点 C 在直线 AB 上,故有

15

y=-

b (x-a) . 1? a (1 ? a)y . x?a ②

由x-a≠0得 b=-
将②式代入①式得

(1 + a) 2 y 2 (1 ? a)xy 2 y [1 + ] , 2 ] = [y- x?a (x ? a)
2

整理得

y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0,

若 y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a); 若 y=0,则 b=0,∠AOB=π ,点 C 的坐标为(0,0),满足上式. 综上得点 C 的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a). (i)当 a=1 时,轨迹方程化为 y2=x(0≤x<1).③

此时,方程③表示抛物线弧段; (ii)当 a≠1 时,轨迹方程为 a 2 (x ? ) 2 1? a + y = 1(0≤x<a) . a 2 a2 ( ) 1? a 1? a2 所以,当 0<a<1 时,方程④表示椭圆弧段; 当 a>1 时,方程④表示双曲线一支的弧段.



18、已知椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0),点 P 为其上一点,F1、F2 为椭圆的焦点, a 2 b2

∠F1PF2 的外角平分线为 l,点 F2 关于 l 的对称点为 Q,F2Q 交 l 于点 R. 当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程; .解:(1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线,故点 F1、P、Q 在 同一直线上,设存在 R(x0,y0),Q(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.
x ?c ? x0 ? 1 ? ? 2 又? y ?y ? 1 0 ? 2 ?

得 x1=2x0-c,y1=2y0.
16

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x02+y02=a2. 故 R 的轨迹方程为:x2+y2=a2(y≠0) 19、已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A, B 两点, (1)如果 | AB |?
4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解:(1)设 Q(a,0) 由 | AB |?
4 2 ,可得 3

| MP |? | MA | 2 ?(

| AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? , 由 射 影 定 理 , 得 2 3 3

| MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,

故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由 点 M,P,Q 在一直线上,得 2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,并注意到 y ? 2 ,可 得
7 1 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( y ? 2). 4 16
20、 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程. 解:设过 B、C 异于 l 的两切线分别切⊙O′于 D、 E 两点, 两切线交于点 P. 由切线的性质知: |BA|=|BD| , |PD|=|PE|,|CA|=|CE|, 故
17

|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|, 故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆, 以 l 所在的直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,可求得动点 P 的轨迹方程 为

x2 y2 ? =1(y≠0) 81 72

18


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