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谁更优秀,空间角问题中传统几何法与现代向量法的PK


谁更优秀? --------空间角问题中传统几何法与现代向量法的 PK
高中阶段数学教学中,立体几何主要分布在高一必修、高二选修中。学生大多反映“立体 几何比代数部分难学”,立几是高中数学的一个难点,这是因为从初中的平面图形知识过渡到 空间图形知识,本身就是难点,加之立几中的基本概念集中、抽象,要求学生形成一定的空 间想象能力和演绎推理能力,这在思维能力上有一个较高的要求,再加上客观上高中数学课 堂教学容量大,进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的 因此,新课程引入了空间向量 ,用向量来处理立体几何问题 ,体现了 “数”与“形”的有机结 合,淡化了传统几何中从“形”到“形”的推理论证,降低了思维难度, 向量在立体几何中的运用,只是向量在平面几何中应用的扩充与推广,但由于空间想象 能力的个别差异导致了同学们在用传统方法处理立体几何问题时的巨大差异,而向量法在立 体几何问题中具有简化作用,显示出向量具有处理问题的一般性. 那么几何法与向量法比较,到底用哪种方法更好一些呢?下面就从求空间夹角来感受。 一.求异面直线所成角 求异面直线所成角的方法: 1.平移到一个三角形中,利用解三角形解决。 2.直接求两向量的夹角。
例:在棱长为1的正方体ABCD ? A1B1C1D1中,M , N 分别为A1B1和B1B的中点, 求直线AM 与CN 夹角的余弦值。

解法( 1 ):取A1 A, D1C1的中点E , F,连接DE, DF ? 在正方体ABCD ? A1 B1C D1中,M , N是所在边的中点 ? CN // DE, AM // DF ? ?EDF(或其补角)就是异面直 线AM , CN所成角。 在?DEF中,DE ? 在?A1 EF中,A1 E ? a 5 5 AD 2 ? AE 2 ? a 2 ? ( ) 2 ? a,同理DF ? a 2 2 2

1 5 2 a, A1 F ? A1 D1 ? D1 F 2 ? a 2 2 6 ? EF ? A1 E 2 ? A1 F 2 ? a 2 DE 2 ? DF 2 ? EF 2 2 ? cos?EDF ? ? 2 DE ? DF 5 2 ? 直线AM , CN夹角的余弦值为 5

解法(2) :分别以 DA,DC, DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 则:A(1,0,0), C(0,1,0), M(1,
1 ,1) 2

N(1,1,

? ? 1 1 ? AM ? (0, ,1), CN ? (1,0, ) 2 2

1 ) 2

? ? ? ? AM ? C N ? cos? AM , CN ? ? ? ? ? AM ? CN

1 2 5 5 ? 4 4

?

2 5

2 ? 直线 AM,CN 的夹角的余弦值为 。 5

点评:比较上述两种解法,解法 1 用的是几何法,难点是平移到一个三角形中,且在计 算上也有些复杂。解法 2 用的是向量法,无论从哪个方面看都比较简单,显然解法 2 要简 洁明了许多。 二.求线面角 求线面角的方法: 1.找到斜线在面内的射影,作出线面角,在三角形中解决。 2.求直线的方向向量与平面法向量的夹角的余角。 例:正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求 A1 B 与平面 A1 B1CD 所成角的大小。 解法(1) :连接 BC1交B1C于点H , 连A1 H

? 正方体ABCD ? A1 B1C1 D1 ? BC1 ? B1C , DC ? 面B1 BCC1 ,? DC ? BC1又DC ? B1C ? C ,? BC1 ? 面A1 DCB1 ? A1 B在面A1 DCB1中的射影是A1 H ? ?BA1 H是所求角 在Rt?A1 BH中,A1 B ? 2 , BH ? ? sin ?BA1 H ? 2 2

BH 1 ? ?? ? 又线面角? ?0, ? A1 B 2 ? 2?

? ?BA1 H ? 30? ? A1 B与平面A1 B1CD所成角的大小为 30?。
解法(2) :分别以 DA,DC, DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 则 A1 (1,0,1), B(1,1,0), D(0,0,0), C(0,1,0)

? ? ? ? A1 B ? (0,1,?1),平面A1 B1CD的两个向量 A1 D =(-1,0,-1) , DC ? (0,1,0)

? n ? DA1 ? x ? z ? 0 ? 设平面 A1 B1CD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ? n ? DC ? y ? 0
? 令 z ? ?1, 则 x ? 1,? n ? (1,0,?1)

? sin ? ?

0 ? 0 ?1 2? 2

?

1 2

30? ? A1 B与平面A1 B1CD所成的角的大小为

点评:比较两种解法,解法 1 是用几何法解的,其难点在于找到线面角。解法 2 是用向 量法解的,难点在于求平面的法向量。从解题过程来看,两种方法差不多,但从思维过 程来看还是向量法要简单些。 三.求二面角 求二面角的方法: 1.作出二面角的平面角,放入三角形中求解。 2.求出两平面法向量的夹角
1 AA1 ? a, ?BAC ? 90?, D为棱BB1中 解法 (1) : 2 点,求平面A1CD与平面ABC所成二面角的余弦值。 例:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1中, AB ? AC ?

延长 A1 D, AB交于点G, 连CG

? CG ? 面A1CD ? 面ACB
过点A作AH ? CG, 连A1 H
? 直三棱柱ABC ? A1 B1C1 ,? AA1 ? 面ABC, A1 A ? CG , AH ? A1 A ? A ? CG ? 面A1 AH ,? CG ? A1 H ? ?A1 HA为二面角的平面角。 ? D是BB1的中点,AB ? AC ? ? AG ? 2a, 又?BAC ? 90? ? CG ? 5a, AH ? ? tan?A1 HA ? 2a 2 5a ? 2 5 a 5 1 AA1 ? a 2

A1 A 5 6 ? ,? cos?A1 HA ? AH 2 6 6 。 6

? 平面A1CD与平面ABC所成二面角的余弦值为

解法(2) :分别以 AC,AB, AA 1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),C(a,0,0), B(0, a,0), A1 (0,0,2a), D(0, a, a)

? ? 平面ABC的个法向量BD ? (0,0, a ) ? ? ? 设平面A1CD的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 又A1C ? (a,0,?2a ), A1 D ? (0, a,? a ) ? ? ? ? n ? A1C ? 0, n ? A1 D ? 0 ?x ? 2z ? ?? ? 令z ? 1,? n ? (2,1,1) ?y ? z ? ? n ? BD a 6 ? cos? ? ? ? ? ? 6 n ? BD a ? 6 ? 平面A1CD与平面ABC所成二面角的余弦值为 6 。 6

点评:比较两种解法,解法 1 用的是几何法,其难点是找到两平面的交线,作出二面角的 平面角。解法 2 用的是向量法,主要是利用二面角的平面角与两平面法向量夹角间的关系解 决问题。无论从计算过程还是思维过程来看,解法 2 都比较简单。 ?? a· b 综上所述,利用通式 cosθ= ? ? ,求夹角是向量法在立体几何中的典型应用.过去学习 | a |· |b | 几何主要使用从一个图形的性质推出图形的另一性质,简称“形-形”的推理,这种推理方法, 一般没有规律可寻,比较难学.而且与代数学的学习没有多少联系.向量的引入,可使学生提早 运用方便有效的代数工具研究几何,向量几何主要采用“形-数-形”的推理,这种推理方法,有 较强的规律性,因而使得学生在立体几何的学习中可能总结规律和一般方法,从而降低思维 难度。


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