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2014届高三数学辅导精讲精练23


2014 届高三数学辅导精讲精练 23
1.(2013· 东城区期末)已知 cos78° 约等于 0.20,那么 sin66° 约等于 ( A.0.92 C.0.88 答案 A ( ) B.0.85 D.0.95 )

3 2.设 f(sinx)=cos2x,那么 f( 2 )等于 1 A.-2 1 C.2 答案 3.若 A cos2α 2 =- 2

,则 sinα+cosα 的值为 π sin?α-4? 1 B.-2 7 D. 2 C π sin?2-2α? cos2α π= π sin?α-4? sin?α-4? 3 B.- 2 3 D. 2

(

)

7 A.- 2 1 C.2 答案

解析

π π 2sin?4-α?cos?4-α? π = =-2cos(4-α) π sin?α-4? 2 2 2 =-2( 2 sinα+ 2 cosα)=- 2(sinα+cosα)=- 2 . 1 所以 sinα+cosα=2. x 2sin22-1

4.(2013· 湖北八校)已知 f(x)=2tanx-

x x, sin2cos2

π 则 f(12)的值为 A.4 3 C.4 答案 解析 D cosx sinx cosx ∵f(x)=2(tanx+ sinx )=2×(cosx+ sinx ) 8 3 B. 3 D.8

(

)

1 4 =2×cosx· =sin2x, sinx π 4 ∴f(12)= π=8. sin6 5.若 3sinα+cosα=0,则 10 A. 3 2 C.3 答案 解析 则 = A 由 3sinα+cosα=0,得 cosα=-3sinα. 1 的值为 cos2α+sin2α 5 B.3 D.-2 ( )

sin2α+cos2α 1 = 2 cos2α+sin2α cos α+2sinαcosα 9sin2α+sin2α 10 = ,故选 A. 9sin2α-6sin2α 3 ( )

π π 3 7 6.(2012· 山东)若 θ∈[4,2],sin2θ= 8 ,则 sinθ= 3 A.5 7 C. 4 答案 解析 D π π π ∵θ∈[4,2],2θ∈[2,π],故 cos2θ<0. 3 7 1 1-? 8 ?2=-8. 4 B.5 3 D.4

∴cos2θ=- 1-sin22θ=-

又 cos2θ=1-2sin2θ, 1-cos2θ ∴sin2θ= = 2 3 ∴sinθ=4,故选 D. 7.(2013· 洛阳统考)若 cos2α 1 π =2,则 sin2α 的值为 sin?α+4? 7 B.8 4 D.7 ( ) 1 1-?-8? 2 9 =16.

7 A.-8 4 C.-7 答案 解析 B

cos2α-sin2α cos2α 1 = = 2(cosα-sinα)=2,即 cosα-sinα= π π π sin?α+4? sinαcos4+cosαsin4

2 1 7 , 等式两边分别平方得 cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-sin2α=8, 解得 sin2α=8. 4 π tan? +α?· cos2α 4 8.(2013· 衡水调研卷)计算 的值为 2 π 2cos ?4-α? A.-2 C.-1 答案 D π π tan?4+α?· cos2α sin?4+α?· cos2α cos2α = = = π π π 2 π 2 π 2cos ?4-α? 2sin ?4+α?cos?4+α? 2sin?4+α?cos?4+α? B.2 D.1

(

)

解析

cos2α cos2α cos2α = =cos2α=1,选 D. π π sin2?4+α? sin?2+2α? 2sin2α+1 9.(2013· 郑州质检)已知 tanα=2,则 sin2α = 5 A.3 13 B.- 4 ( )

13 C. 5 答案 解析 D

13 D. 4

2sin2α+1 3sin2α+cos2α 3tan2α+1 13 sin2α = 2sinαcosα = 2tanα = 4 ,故选 D.

10.已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)=2f(x),f′(x)是 f(x)的导函数,则 1+sin2x = cos2x-sin2x 19 A.- 5 11 C. 3 答案 解析 A f′(x)=cosx+sinx,由 f′(x)=2f(x),即 cosx+sinx=2(sinx-cosx), 19 B. 5 11 D.- 3 ( )

1+sin2x 1+sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 得 tanx=3,所以 2 = = = = cos x-sin2x cos2x-2sinxcosx cos2x-2sinxcosx 1-2tanx 19 -5. 11.若 θ∈[0,π)且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 答案 π 0 或4 5-1 π 2 ,则 sin2(x-4)=________.

12.已知 sinx= 答案 解析 2- 5

π π sin2(x-4)=sin(2x-2)=-cos2x

=-(1-2sin2x)=2sin2x-1=2- 5. sin3α 13 13.设 α 为第四象限的角,若 sinα = 5 ,则 tan2α=________. 答案 解析 = 3 -4 sin3α sin?2α+α? sinα = sinα

sin2αcosα+cos2αsinα 13 =5. sinα

13 8 ∴2cos2α+cos2α= 5 ,2cos2α-1+cos2α=5. 4 ∴cos2α=5. π ∵2kπ-2<α<2kπ,∴4kπ-π<2α<4kπ(k∈Z). 4 又∵cos2α=5>0,∴2α 为第四象限的角. 3 3 sin2α=- 1-cos22α=-5,∴tan2α=-4. π 14.已知 sinα=cos2α,α∈(2,π),则 tanα=________. 答案 解析 3 -3 sinα=1-2sin2α,∴2sin2α+sinα-1=0.

π ∴(2sinα-1)(sinα+1)=0,∵α∈(2,π), ∴2sinα-1=0. 1 3 3 ∴sinα=2,cosα=- 2 ,∴tanα=- 3 . 3 15.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA· tanB,且 sinA· cosA= 4 ,则此 三角形为________. 答案 解析 等边三角形 ∵tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB,

∴tan(A+B)=- 3,得 A+B=120° . 3 3 又由 sinAcosA= 4 ,得 sin2A= 2 . ∴A=60° (A=30° 舍去),∴△ABC 为等边三角形. π 16.(2013· 西城区期末)已知 tan(4+θ)=3,则 sin2θ-2cos2θ=__________. 答案 解析 4 -5 方法一 sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1,

π sin2θ=-cos2(θ+4)=-

π 1-tan2?θ+4?

4 π =5, 1+tan2?θ+4?

π 3 cos2θ=sin2(θ+4)= =5, π 1+tan2?θ+4? 4 3 4 ∴原式=5-5-1=-5. 方法二 1+tanθ π 1 tan(4+θ)=3, =3,解得 tanθ=2, 1-tanθ
2

π 2tan?θ+4?

2sinθcosθ-2cos2θ 2tanθ-2 4 sin2θ-2cos θ= = 2 =-5. sin2θ+cos2θ tan θ+1 A C A C 17.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan 2 +tan 2 + 3tan 2 tan 2 的 值为________. 答案 解析 3 由已知 B=60° ,A+C=120° ,

A C A C ∴tan 2 +tan 2 + 3tan 2 · 2 tan A+C A C A C =tan 2 (1-tan 2 · 2 )+ 3tan 2 tan 2 tan A C A C = 3(1-tan 2 · 2 )+ 3tan 2 tan 2 tan = 3. 1 2cos4x-2cos2x+2

18.化简:

. π π 2tan?4-x?· 2?4+x? sin

答案

1 2cos2x 1 2cos2x?cos2x-1?+2 π π 2tan?4-x?sin2?4+x?

解析

原式=

1 2 2 2-2cos xsin x = π 2sin?4-x? π · 2?4+x? sin π cos?4-x? 1 1 2 2-2?sin2x? = π 2cos?4+x? π · 2?4+x? sin π sin?4+x? 1 2 2cos 2x 1 = =2cos2x. π sin?2+2x? π π α 1 5 19.已知 0<α<2,2<β<π 且 tan2=2,sin(α+β)=13. (1)分别求 cosα 与 cosβ 的值; α-β (2)求 tan 2 的值. 答案 3 (1)cosα=5 16 cosβ=-65 11 (2)-23

解析

α α (1)cosα=cos22-sin22=

α α cos22-sin22 α α cos22+sin22

α 1-tan22 3 = =5, α 1+tan22 π 4 ∵0<α<2,∴sinα=5. π 3π 5 ∵α+β∈(2, 2 ),sin(α+β)=13, 12 ∴cos(α+β)=-13. ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

12 3 5 4 16 =(-13)·+13·=-65. 5 5 β 16 β π π (2)∵2cos22-1=cosβ=-65且2∈(4,2), β 7 β 9 ∴cos2= ,∴sin2= . 130 130 β 9 ∴tan2=7. α-β ∴tan 2 = 11 α β=-23. 1+tan tan 2 2 α β tan2-tan2

1.已知 450° <α<540° ,则 α A.-sin2 α C.sin2 答案 解析 = A 原式= 1 1 2+2

1 1 2+2

1 1 2+2cos2α的值是

(

)

α B.cos2 α D.-cos2

1+cos2α 2

1 1 α -2cosα=|sin2|. 2

α ∵450° <α<540° ,∴225° 2<270° < . α ∴原式=-sin2. π 2.已知 sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,2),则 sinα=________. 答案 解析 1 2 由已知得 sin22α+sin2αcosα-(2cos2α-1)=1.

∴sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0. ∴4sin2αcos2α+2sinα· 2α-2cos2α=0. cos

∴4sin2α+2sinα-2=0. 1 解得 sinα=2(负值舍去). π 2 3 7π 3.已知 cos(α+6)-sinα= 3 ,则 sin(α- 6 )的值是________. 答案 解析 2 3 π 3 3 2 3 ∵cos(α+6)-sinα= 2 cosα-2sinα= 3 ,

1 3 2 π 2 ∴ cosα- sinα= ,即 cos(α+ )= . 2 2 3 3 3 7π 7π π 又 sin(α- 6 )=-sin( 6 -α)=sin(6-α) π π π 2 =sin[2-(α+3)]=cos(α+3)=3. → → 4.已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角,OM=(sinB+cosB,cosC),ON= 1 → ON → (sinC,sinB-cosB),OM· =-5. (1)求 tan2A 的值; A 2cos2 2 -3sinA-1 π 2sin?A+4?

(2)求

的值.

解析

→ ON → (1)∵OM · =(sinB+cosB)sinC+cosC(sinB-cosB)=sin(B+C)-

1 cos(B+C)=-5, 1 ∴sinA+cosA=-5. 24 两边平方并整理,得 2sinAcosA=-25. 24 π ∵-25<0,∴A∈(2,π). 7 ∴sinA-cosA= 1-2sinAcosA=5. 3 4 3 联立①②,得 sinA=5,cosA=-5,∴tanA=-4. ② ①

2tanA ∴tan2A= = 1-tan2A 3 (2)∵tanA=-4, A 2cos2 2 -3sinA-1 π 2sin?A+4? 3 1-3×?-4?

24 9 =- 7 . 1-16

3 -2





cosA-3sinA 1-3tanA = cosA+sinA 1+tanA



3 =13. 1+?-4?


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