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第九讲--函数[x]与{x}


函数[x]与{x}
1.定义:对任意实数 x ,以 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,称它为 x 的整数部 分,如 [4.2] ? 4 , [?7.6] ? ?8 等.定义 {x} ? x ? [ x ],称它为 x 的小数部分,如
{3.1} ? 0.1 , {?7.6} ? 0.4 等等.对 ?x ? R , y ? [ x] 和 y ? {x}均是

x 的函数.

2.性质 (1) y ? [ x] 的定义域为 R,值域为 Z ; y ? {x}的定义域为 R,值域为 [0,1) . (2) x ? [ x] ? {x} , 0 ? x ? [ x] ? 1 , [ x] ? x ? [ x] ? 1 , x ? 1 ? [ x] ? x . (3)①若 x ? y ,则 [ x] ? [ y] ,即函数 y ? [ x] 在 R 上不减. ② y ? {x}是周期函数,最小正周期为 1. ③对整数 n ,有 [ x ? n] ? [ x] ? n , {x ? n} ? {x} . ④ [ x ? y] ? [ x] ? [ y] , {x ? y} ? {x} ? { y} .

{x} ? { y} ? 1 ?[ x] ? [ y], ⑤ [ x ? y] ? ? . ?[ x] ? [ y] ? 1, {x} ? { y} ? 1 x?Z ??[ x], ⑥ [ ? x] ? ? . ??[ x] ? 1, x ? Z ?0, x ? Z ⑦ {? x} ? ? . ?1 ? {x}, x ? Z
定理 (1)设 a 与 b 是正整数,则在 1, 2,
a , a 中能被 b 整除的整数恰有 [ ] 个。 b

n n n (2)在 n ! 的质因数分解式中,素数 p 的指数是 [ ] ? [ 2 ] ? [ 3 ] ? p p p

? ?[
r ?1

?

n ]。 pr

(3)设 n 是正整数,则 n ! ? ? p
p?n

?[ p r ]
r ?1

?

n

,其中

?
p?n

表示对不超过 n 的所有素数 p 求

积。

1. n ? N? , [ 4n2 ? 3n ? 1] =_________。 2. n ? 2 , [
1 1 ? ? 22 32 ? 1 ] ? _________。 n2

3.

? 101 ? _________
n ?1

100

23n

19 20 91 ] ? [r ? ] ? ? [r ? ] ? 546 , [100r ] ? _________ 100 100 100 x 5.方程 [2 x ? 9] ? 的实数解为_________ 2 5 ? 6 x 15 x ? 7 ]? 6.方程 [ 的解集为_________ 8 5

4. r ? R , [r ?

7.解方程 4 x2 ? 40[ x] ? 51 ? 0 . 8. 解方程 x ? 4{x} ? 2[ x] .
2 2 ? 9. x ? (0, ) , M ? 3cos x ? 3sin x 的整数部分是_________ 2

10. x ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 , [ x] ? _________ 2015

11.用 an 表示最接近 n 的正整数, S? n ? N? ,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 a2000

[ S ] ? _________ ,

12. 200 ~ 500 的整数中 7 的倍数有________个 13.解不等式 [ x]{x} ? x ? 1 .
[ x] x ] ?[ ]. n n 1 15.证明: ?x ? R 有 [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] . 2 1 2 16.证明: ?x ? R , n ? N 有 [ x] ? [ x ? ] ? [ x ? ] ? n n

14. n ? N * ,证明 [

? [x ?

n ?1 ] ? [ nx] . n

对于数列 {an }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,

, 即正整数 k 恰好有 k 个, 是否存在整数 r , s , t 使

得对于任意正整数 n ,都有 an ? r[ n ? s ] ? t 恒成立?

1093 [ 31 ] 末尾两位数字是_________ 10 ? 3
x? R, [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 则满足 [ x 2 ? 1] ? 10 的 x 的集合是_________

[ x ] 表示不超过 x 的最大整数,使 [log3 6] ? [log3 7] ?

? [log3 n] ? 2009 的正整数

n ? _________

1 1 对整数 n ? 1 ,设 x ? 1 ? ? ? , y ? lg 2 ? lg3 ? 2 n 有正整数 n 构成的集合为_________ 9 x[ x ] ? 的实数解为_________ 2

? lg n ,则满足 [ x ] ? [ y ] 的所

关于 x 的函数 f ( x) ? x ? [ x ? a] 存在最大值 M (a) ,则正实数 a 的取值范围是 _______
2an ] ? _________ n 1 1 1 ) ? ,求 函 数 f : R ? R 对任意的实数 x, y, z 都有 f ( xy) ? f ( xz)? f ( x) f ( yz 2 2 4

an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ?

? n(n ?1) ,则 [

[ f (1)] ? [2 f ( 2)] ? ?

[ 2011 f ( 2011)] .

1 关于 x 的方程 [3 x ? 1] ? 2 x ? 的全部实数根之和为_________ 2

在平面上由满足 [ x]2 ? [ y]2 ? 50 的点所围成的图形的面积为_________ 设 a1 ? 1 , an ?1 ? [ an 2 ? 2013](n ? N ? ) , a2013 ? _________
x x x x 记 m ? [ ]?[ 2 ]?[ 3 ]? ?[ k ], 其中 k 是满足 2k ? x 的最小整数,x ? m x ? N? , 2 2 2 2 称为正整数 x 的方程数,则方程数为 9 的最小正整数 x 为_________

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ?
分解 12! 为质因数的乘积。 2015! 的末尾有多少个 0?

? [log2 2012] ? _________

k 求最大的整数 k ,使得 10 199! 。

设 x 与 y 是实数,则 [2 x] ? [2 y] ? [ x] ? [ y] ? [ x ? y] 。

1 若 x 是任意实数,则 [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 。 2
证明:方程 [ x] ? [2 x] ? [4 x] ? [8x] ? [16 x] ? [32 x] ? 12345 无实数解。

k 是自然数,且

1001?1002 ? ? 2005 ? 2006 是整数,则 k 的最大值是多少? 11k


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