1988年全国高中数学联赛试题及详细解析

一．选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均 得 0 分)： 1．设有三个函数，第一个是 y=φ (x)，它的反 函数是第二个函数，而第三个函数的图 象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( A． y=－φ (x) B． y=－φ (－x) C． y=－φ
－1

) D． y=－φ
－1

(x)

(－

x)

4．已知三个平面α 、β 、γ ，每两个之间的夹角都是θ ，且α ∩β =a，β ∩γ =b，γ ∩α

=c．若有命题甲：θ > ；
A．甲是乙的充分条件但不必要 C．甲是乙的充分必要条件

π 3

命题乙：a、b、c 相交于一点．

则

B．甲是乙的必要条件但不充分 D．A、B、C 都不对

5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，

M 表示恰好通过 1 个整点的集合，N 表示不通过任何整点的 直线的集合，P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠? 中， 正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题(本大题共 4 小题，每小题 10 分)： 1．设 x≠y，且两数列 x，a1，a2，a3，y 和 b1，x，b2，b3，y，b4 均为等差数列，那么

b4－b3 a2－a1

=

．

2．( x+2)

2n+1

的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为

．

3．在△ABC 中，已知∠A=α ，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则 =

DE BC

．

1988 年全国高中数学联赛二试题 一．已知数列{an}，其中 a1=1，a2=2，

an+2=?
?

?5an+1－3an(an?an+1为偶数)，

an+1－an(an?an+1为奇数)．

试证：对一切 n∈N*， an≠0．

二．如图，在△ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证：
A

S?PQR 2 > ． S?ABC 9

P
H N Q B R C

三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，……，ln，…的直线族，它 满足条件：
[来源:Z§xx§k.Com]

⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；

[来源:Zxxk.Com]

⑵ kn+1=an－bn， 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率， an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1， 2，3，……)； ⑶ knkn+1≥0，(n =1，2，3，……)． 并证明你的结论．
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1988 年全国高中数学联赛解答
一试题 一．选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多 选均得 0 分)：

2． 已知原点在椭圆 k x +y －4kx+2ky+k －1=0 的内部， 那么参数 k 的取值范围是( A．|k|>1 【答案】D 【解析】因是椭圆，故 k≠0，以(0，0)代入方程，得 k －1<0，选 D．
2

2 2

2

2

)

B．|k|≠1

C．－1<k<1

D．0<|k|<1

4．已知三个平面α 、β 、γ ，每两个之间的夹角都是θ ，且α ∩β =a，β ∩γ =b，γ ∩α =c．若有

π 命题甲：θ > ； 3 命题乙：a、b、c 相交于一点． 则
[来源:学科网]

A．甲是乙的充分条件但不必要 C．甲是乙的充分必要条件

B．甲是乙的必要条件但不充分 D．A、B、C 都不对

5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用 I 表示所有直线的集合，

M 表示恰好通过 1 个整点的 集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠? 中， 正确的表达式的个数是 A．1 【答案】D 【解析】均正确，选 D． B．2 C．3 D．4

2．( x+2)

2n+1

的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为

．

1 2n+1 【答案】 (3 +1) 2 【解析】( x+2)
2n+1

－( x－2)

2n+1

=2(C2n+12xn+C2n+123xn－1+C2n+125xn－2+…+C2n+122n+1)．

1

3

5

2n+1

1 2n+1 令 x=1，得所求系数和= (3 +1)． 2

3．在△ABC 中，已知∠A=α ，CD、BE 分别是 AB、AC 上的高，则 = 【答案】 | cos ? | 【解析】△AED∽△ABC， = =|cosα |．

DE BC

．

DE AD BC AC

4．甲乙两队各出 7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号队员 比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另 一 方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．

三．(15 分)长为 2，宽为 1 的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求 得到的旋转体的体积．

四．(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0 为定点，Z0≠0，另一个动 点 Z 满足 Z1Z=－1，求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．

1 1 * 五．(15 分)已知 a、b 为正实数，且 + =1．试证：对每一个 n∈N ，

a b

(a+b) －a －b ≥2 －2 ． 【解析】证明：由已知得 a+b=ab．又 a+b≥2 ab，∴ ab≥2 ab，故 a+b=ab≥4．于 是(a+b) =(ab) ≥2 ． 又 a +b ≥2 a b =2 (a+b) ≥2 ．下面用数学归纳法证明： 1° 当 n=1 时，左=右=0．左≥右成立． 2° 设当 n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b) －a －b ≥2 －2 成立． 则(a+b) －a －b =(a+b)(a+b) －(a +b )(a+b)+ab(a
k+1 k+1 k+1 k k k k－1 k k k
2k

n

n

n

2n

n+1

k

k

2k

k

k

k k

k

k+1

k+ 1

+b

k－1

)

=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ ab(ak－1+bk－1)≥4?(22k－2k+1)+4?2k=22(k+1)－4?2k+1+4?2k=22(k+1)－
2
(k+1)+1

．即命题对于 n=k+1 也成立． 故对于一切 n∈N ，命题成立．
*

二试题 一．已知数列{an}，其中 a1=1，a2=2，

an+2=?
?

?5an+1－3an(an?an+1为偶数)，

an+1－an(an?an+1为奇数)．

试证：对一切 n∈N*，an≠0． （1988 年全国高中竞赛试题） 分析：改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3)．

二．如图，在△ABC 中，P、Q、R 将其周长三等分，且 P、Q 在 AB 边上，求证： 1 【解析】 证明： 作△ABC 及△PQR 的高 CN、 RH． 设△ABC 的周长为 1． 则 PQ= ． 3

S?PQR 2 > ． S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

S?PQR PQ?RH PQ AR 1 PQ 2 则 = = ? ，但 AB< ，于是 > ， S?ABC AB?CN AB AC 2 AB 3
1 1 1 1 1 1 AR 1 S?PQR 2 AP≤AB－PQ< － = ，∴ AR= －AP> ，AC< ，故 > ，从而 > ． 2 3 6 3 6 2 AC 3 S?ABC 9
[来源:学.科.网]

三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，……，ln，…的直线族，它 满足条件： ⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3， ……)； ⑵ k n+1=an－bn， 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率， an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1， 2，3，……)；

⑶ knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论． 【解析】证明：设 an=bn≠0，即 kn－1=－1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1 不存在，故 kn≠±1．

由于 k1－ 随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m0，使 k1－ ≥－1，从而必存在 一个 m 值，m=m1(m1≤m0)，使 km1－1≤－1，而－1<km1=km1－ 即此时不存在这样的直线族． 综上可知这样的直线族不存在． 1 <0，此时 km1?km1+1<0．

m km

m0 k1

km1－1