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1988年全国高中数学联赛试题及详细解析


一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选均 得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ (x),它的反 函数是第二个函数,而第三个函数的图 象与第二个函数的图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( A. -φ (x) y= B. -φ (-x) y= C. -φ y=
-1

) D. -

φ y=
-1

(x)

(-

x)

4.已知三个平面α 、β 、γ ,每两个之间的夹角都是θ ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α

=c.若有命题甲:θ > ;
A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件

π 3

命题乙:a、b、c 相交于一点.



B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,

M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的 直线的集合,P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中, 正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): 1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么

b4-b3 a2-a1

=



2.( x+2)

2n+1

的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为



3.在△ABC 中,已知∠A=α ,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 =

DE BC



1988 年全国高中数学联赛二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,

an+2=?
?

?5an+1-3an(an?an+1为偶数),

an+1-an(an?an+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*, an≠0.

二.如图,在△ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证:
A

S?PQR 2 > . S?ABC 9

P
H N Q B R C

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,……,ln,…的直线族,它 满足条件:
[来源:Z§xx§k.Com]

⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,……);

[来源:Zxxk.Com]

⑵ kn+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1, a ( 2,3,……); ⑶ knkn+1≥0,(n =1,2,3,……). 并证明你的结论.
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1988 年全国高中数学联赛解答
一试题 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多 选均得 0 分):

2. 已知原点在椭圆 k x +y -4kx+2ky+k -1=0 的内部, 那么参数 k 的取值范围是( A.|k|>1 【答案】D 【解析】因是椭圆,故 k≠0,以(0,0)代入方程,得 k -1<0,选 D.
2

2 2

2

2

)

B.|k|≠1

C.-1<k<1

D.0<|k|<1

4.已知三个平面α 、β 、γ ,每两个之间的夹角都是θ ,且α ∩β =a,β ∩γ =b,γ ∩α =c.若有

π 命题甲:θ > ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则
[来源:学科网]

A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件

B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,

M 表示恰好通过 1 个整点的 集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多
个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中, 正确的表达式的个数是 A.1 【答案】D 【解析】均正确,选 D. B.2 C.3 D.4

2.( x+2)

2n+1

的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为



1 2n+1 【答案】 (3 +1) 2 【解析】( x+2)
2n+1

-( x-2)

2n+1

=2(C2n+12xn+C2n+123xn-1+C2n+125xn-2+…+C2n+122n+1).

1

3

5

2n+1

1 2n+1 令 x=1,得所求系数和= (3 +1). 2

3.在△ABC 中,已知∠A=α ,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 = 【答案】 | cos ? | 【解析】△AED∽△ABC, = =|cosα |.

DE BC



DE AD BC AC

4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员 比赛,负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另 一 方获得胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 .

三.(15 分)长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求 得到的旋转体的体积.

四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动 点 Z 满足 Z1Z=-1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.

1 1 * 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 + =1.试证:对每一个 n∈N ,

a b

(a+b) -a -b ≥2 -2 . 【解析】证明:由已知得 a+b=ab.又 a+b≥2 ab,∴ ab≥2 ab,故 a+b=ab≥4.于 是(a+b) =(ab) ≥2 . 又 a +b ≥2 a b =2 (a+b) ≥2 .下面用数学归纳法证明: 1° 当 n=1 时,左=右=0.左≥右成立. 2° 设当 n=k(k≥1,k∈N)时结论成立,即(a+b) -a -b ≥2 -2 成立. 则(a+b) -a -b =(a+b)(a+b) -(a +b )(a+b)+ab(a
k+1 k+1 k+1 k k k k-1 k k k
2k

n

n

n

2n

n+1

k

k

2k

k

k

k k

k

k+1

k+ 1

+b

k-1

)

=(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+ ab(ak-1+bk-1)≥4?(22k-2k+1)+4?2k=22(k+1)-4?2k+1+4?2k=22(k+1)-
2
(k+1)+1

.即命题对于 n=k+1 也成立. 故对于一切 n∈N ,命题成立.
*

二试题 一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,

an+2=?
?

?5an+1-3an(an?an+1为偶数),

an+1-an(an?an+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*,an≠0. (1988 年全国高中竞赛试题) 分析:改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3).

二.如图,在△ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证: 1 【解析】 证明: 作△ABC 及△PQR 的高 CN、 . RH 设△ABC 的周长为 1. PQ= . 则 3

S?PQR 2 > . S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

S?PQR PQ?RH PQ AR 1 PQ 2 则 = = ? ,但 AB< ,于是 > , S?ABC AB?CN AB AC 2 AB 3
1 1 1 1 1 1 AR 1 S?PQR 2 AP≤AB-PQ< - = ,∴ AR= -AP> ,AC< ,故 > ,从而 > . 2 3 6 3 6 2 AC 3 S?ABC 9
[来源:学.科.网]

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,……,ln,…的直线族,它 满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3, ……); ⑵ k n+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1, a ( 2,3,……);

⑶ knkn+1≥0,(n=1,2,3,……). 并证明你的结论. 【解析】证明:设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1 不存在,故 kn≠±1.

由于 k1- 随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ≥-1,从而必存在 一个 m 值,m=m1(m1≤m0),使 km1-1≤-1,而-1<km1=km1- 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线族不存在. 1 <0,此时 km1?km1+1<0.

m km

m0 k1

km1-1


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