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初高中数学衔接知识点专题1-6(精简版)


初高中数学衔接知识点专题(一) 数与式的运算
【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示 [4] 两 个 绝 对 值 不 等 . 式 : 的距离. .即 | a |? .

[2]繁分式

当分式

A A m?

n? p 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,如 , 2m B B n? p

说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以 分母的有理化因式, 化去分母中的根号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化 因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 ; 例 1 解下列不等式: (1) x ? 2 ? 1

| x |? a(a ? 0) ?

| x |? a(a ? 0) ?

2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式 1] (a ? b ? c)2 ? [公式 2] [公式 3] 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? ;(2) ; ; .

例 2 计算: (1) ( x ? 2 x ? )
2

1 3

2

(2) ( m ?

1 5

1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4

? a3 ? b3 (立方和公式) ? a3 ? b3 (立方差公式)

(3) (a ? 2)(a ? 2)(a ? 4a ? 16)
4 2

a2 ?

;(3)

ab ?

; (4)

b ? a



2 例 3 已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x ?
3

[2] 平 方 根 与 算 术 平 方 根 的 概 念 :

叫做 a 的平方根,记作 叫做 a 的立方根,记为 x ?
3

1 的值. x3

x ? ? a (a ? 0) ,其中 a (a ? 0) 叫做 a 的算术平方根.
[3]立方根的概念: 4.分式 [1]分式的意义 具有下列性质: 形如

a
例 4 已知 a ? b ? c ? 0 ,求

A A A 的式子, 若 B 中含有字母, 且B ?0, 则称 为分式. 当 M≠0 时, 分式 B B B
; (2) .

1 1 1 1 1 1 a ( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值. b c c a a b

(1)

-1-

项式分组处理. 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法. 分组分解法的关键在于如何分组. 常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式 3.十字相乘法 例 5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)

3 2? 3

(2)

(1 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ( x ? 1)

(1) x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数之积;③ 一次项系数是常数项的两个因数之和. ∵ x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q) , ∴ x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式.

(3)

1 1 ? a b

(4) 2

x ? x3 ? 8 x 2

(2)一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

由 a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 , 常数项 c 分解成 c1c2 , 把 a1 ,a2 , c1 ,c2
2

写成 a2 ?c2 , 这里按斜线交叉相乘, 再相加, 就得到 a1c2 ? a2c1 ,
a1 c1
2

例6 设x?

2? 3 2? 3 ,求 x3 ? y 3 的值. ,y? 2? 3 2? 3

x 的 c 一 次 项 系 数 b , 那 么 a x ? b? x 就 c 可以分解成 如 果 它 正 好 等 于 a x ? b? (a1x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中 a1 , c1 位于上一行,a2 , c2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,
从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个 二次三项式能否用十字相乘法分解. 4.其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法: (1)配方法 (2)拆、添项法 例 1 (公式法)分解因式:(1) 3a b ? 81b ;(2) a ? ab
3 4 7 6

★ 专题二
1.公式法 常用的乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: [4] (a ? b ? c)2 ? [5] a3 ? b3 ? [6] a3 ? b3 ?

因式分解

例 2 (分组分解法)分解因式: (1) ab(c ? d ) ? (a ? b )cd
2 2 2 2

(2) 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8z
2 2

2

; ; .

例 3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

(3) x ? xy ? 6 y
2

2

(4) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2

(立方和公式) (立方差公式)
2 2 例 4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) 12 x ? 5x ? 2 ;(2) 5x ? 6 xy ? 8 y 解:
2

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可 以进行因式分解. 2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以 上的多项式,如 ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多
-2-

3 ?2 4 1

?

1 2y 5 ?4 y

?

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为

提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项 系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号. 例 5 (拆项法)分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

(3)方程有实数根;

(4)方程无实数根.

例 2 已知实数 x 、 y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 2x ? y ? 1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值.

(3) x ? 11x ? 31x ? 21
3 2

(4) x3 ? 4xy 2 ? 2x2 y ? 8 y3 例 3 若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x12 ? x22 ;

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】 1.一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) , 用配方法将其变形为:
2
2 2



例 4 已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根.
2

由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况. 因此, 把 b ? 4ac 叫做一元二次 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b ? 4ac 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有
2

(1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2)( x1 ?2 x2) ? ? 理由. (2) 求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明 2

[1]当 Δ [2]当 Δ

0 时,方程有两个不相等的实数根: 0 时,方程有两个相等的实数根:

; ;

x1 x2 ? ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值. x2 x1
3 2 x2 ?) ? 成 立 . ∵ 一 元 二 次 方 程 2

x1 ? x2 ) ( x1? 解 : (1) 假 设 存 在 实 数 k , 使 ( 2

[3]当 Δ 0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 定 理 : 如 果 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 两 个 根 为 x1 , x2 , 那 么 :
2

x1 ? x2 ?

, x1x2 ?

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理 称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 . 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可 知 x1+x2=-p,x1· x2=q,即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 2 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x -(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q= 2 0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 【例题选讲】 例 1 已知关于 x 的一元二次方程 3x ? 2 x ? k ? 0 ,根据下列条件,分别求出 k 的范围: (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根
2

? 4k ? 0 4kx 2 ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的 两 个 实 数 根 , ∴ ? ? k ? 0 ,又 2 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 4k (k ? 1) ? ?16k ? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 x1 , x2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根,∴ ? k ?1 x1 x2 ? ? 4k ?
∴ (2x1 ? x2 )( x1 ? 2x2 ) ? 2( x12 ? x22 ) ? 5x1x2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 9x1x2 ? ?

k ? 0.

k ?9 3 9 ? ? ? k ? ,但 4k 2 5

3 成立. 2 x x x 2 ? x22 ( x ? x )2 4k 4 (2) ∵ 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?2 ? 1 2 ?4? ?4? ? x2 x1 x1 x2 x1 x2 k ?1 k ?1
∴ 不存在实数 k ,使 (2 x1 ? x2 )( x1 ? 2 x2 ) ? ? ∴ 要使其值是整数,只需 k ? 1 能被 4 整除,故 k ? 1 ? ?1, ?2, ?4 ,注意到 k ? 0 ,要使

x1 x2 ? ?2 x2 x1

-3-

的值为整数的实数 k 的整数值为 ?2, ?3, ?5 .

(1) A 、 B 关于 x 轴对称;(2) A 、 B 关于 y 轴对称;(3) A 、 B 关于原点对称. 例 2 已知一次函数 y=kx+2 的图象过第一、二、三象限且与 x、y 轴分别交于 A 、 B 两点,O 为原 点,若 ΔAOB 的面积为 2,求此一次函数的表达式。

★ 专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数
要点回顾】 1.平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点: 对称点或对称直线方程 对称点的坐标

x轴
y轴
原点 点 (a, b) 直线 x ? a 直线 y ? b 直线 y ? x 直线 y ? ? x 2.函数图象 [1]一次函数: k≠0) 特别的,当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 [2] 正比例函数的图象与性质:函数 y=kx(k 是常数, k≠0) 的图象是 时,图象过原点及第一、第三象限,y 随 x 的增大而 第四象限,y 随 x 的增大而 . ;当 的一条直线,当 时,图象过原点及第二、 称 y 是 x 的一次函数,记为: y ? kx ? b (k、b 是常数,

例 3 如图,反比例函数 y ?

k 的图象与一次函数 y ? mx ? b 的图象交于 A(1 , 3) , B(n, ? 1) 两点. x

(1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)根据图象回答:当 x 取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.
y A O x

B

图(12)

★ 专题五
为直线 而 ;当

二次函数
;顶点坐标为 ;当 ,对称轴 时,y 随着 x 的增大而 . ;顶点坐标为 ,对称轴为 时,y 随着 x 的增大

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: [1]当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 ;当

时,函数取最小值

[3] 一次函数的图象与性质:函数 y ? kx ? b (k、b 是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线 y=kx 平行的一条直线.设 y ? kx ? b (k≠0),则当 增大而 . 时,图象在第一、第三象限,在 时,y 随 x 的增大而 ;当 时, y 随 x 的 直线 而

[2]当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 ;当 ;当 时,y 随着 x 的增大 时,y 随着 x 的增大而 ;当

时,函数取最大值



k [4]反比例函数的图象与性质:函数 y ? (k≠0)是双曲线,当 x
每个象限中,y 随 x 的增大而 随 x 的增大而 对称中心是原点. 【例题选讲】 ;当

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以 借助于函数图像、利用数形结 2 y 合的思想方法来解决问题. b 4 ac ? b y
x=-

时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y

b 2a

A (?

2a

,

4a

)

. 双曲线是轴对称图形, 对称轴是直线 y ? x 与 y ? ? x ; 又是中心对称图形,
O A (?
-4-

x

O x=- 图 2.2-4

x

例 1 已知 A ? 2 , y1 ? 、 B ? x2 , ? 3? ,根据下列条件,求出 A 、 B 点坐标.

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

b 2a

图 2.2-3

例 4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ; (2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2; (3)已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8). [2]二次函数的三种表示方式: (1) .一般式: (2)顶点式: 交点式: (3) .说明:确定二此函数的关系式的一般方法是 ;

待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活 选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:
① 给出三点坐标可利用一般式来求; ② 给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求. ③ 给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x2 ,0) 时可利用交点式来求. 【例题选讲】 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并 指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

★ 专题六
【要点回顾】

二次函数的最值问题
b 处取得最小值 2a

1.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最值. 二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况 ( 当 a ? 0 时,函数在 x ? ?

b 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 处取得最大值 ,无最小值. 2a 4a 4a
2.二次函数(X 为全体实数时)最大值或最小值的求法. 第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件) 之间关系如下表所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价 应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?

3.求二次函数在某一范围内的最值. 如: y ? ax 2 ? bx ? c 在 m ? x ? n (其中 m ? n )的最值. 第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴: x ? x0 ; 第二步:讨论: [1]若 a ? 0 时求最小值或 a ? 0 时求最大值,需分三种情况讨论: ① 对称轴小于 m 即 x0 ? m ,即对称轴在 m ? x? n 的左侧; ② 对称轴 m ? x ,即对称轴在 m ? x? n 的内部; 0 ? n ③ 对称轴大于 n 即 x0 ? n ,即对称轴在 m ? x? n 的右侧。

例 3 已知函数 y ? x , ? 2 ? x ? a ,其中 a ? ?2 ,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最 大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.
2

[2] 若 a ? 0 时求最大值或 a ? 0 时求最小值,需分两种情况讨论:

m?n ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的左侧; 2 m?n ② 对称轴 x0 ? ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的右侧; 2
① 对称轴 x0 ? 说明:求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置,具体
-5-

情况,参考例 4。 【例题选讲】 例 1 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2x 2 ? 3x ? 5 ; (2) y ? ? x 2 ? 3x ? 4 .

ymin ?

1 5 1 (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? ? t 2 ? 3 . 2 2 2

2 例 2 当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1的最大值和最小值.

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ?3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2

2 例 5 当 0 ? x ? 2 时,求函数 y ? x ? 2ax ? 1 的最大值。

例 3 当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

例 4 当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.

(1) (2)

ym
(3)

1 2 5 x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2 1 2 5 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1 时:当 x ? t 时, ymin ? t ? t ? ; 2 2 x ?1 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时: 当 时 , 1 2 5 ? ? ? ?3 ; i 1 ?1? n 2 2 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 右 侧 . 即 t ?1 ? 1 ? t ? 0 时 : 当 x ? t ?1 时 ,
解:函数 y ?

-6-

● 各专题参考答案 ●
专题一数与式的运算参考答案 例 1 (1)解法 1:由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; ①若 x ? 2 ,不等式可变为 x ? 2 ? 1 ,即 x ? 3 ; ②若 x ? 2 ,不等式可变为 ?( x ? 2) ? 1 ,即

? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ② ,把② 代入① 得原式= ?

? x ? 2 ? 1 ,解得: x ? 1 .综上所述,原不等式的解为 1 ? x ? 3 .
解法 2: x ? 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离,所以不等式 x ? 2 ? 1 的几 何意义即为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1,观察数轴可知坐标为 x 的点在 坐标为 3 的点的左侧,在坐标为 1 的点的右侧.所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . 解法 3: x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ,所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . (2)解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ① 若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ?1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0,又 x<1,∴ x<0;② 若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 1>4,∴ 不存在满足条件的 x; ③ 若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4.又 x≥3,∴ x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图, x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|,即|PA|=|x- 1|;|x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2, 可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧. 所以原不等式的解为 x<0,或 x>4. 例 2 ( 1 ) 解 : = [ x ? (? 2 x) ? ] ? ( x ) ? (? 2 x) ? ( ) ? 2 x ( ? 2) x ? 2 x ?
2 2 2 2 2 2 2 2

3abc ? ?3 abc 3(2 ? 3) 3(2 ? 3) 例 5 解: (1)原式= ? ? 6?3 3 22 ? 3 (2 ? 3)(2 ? 3) ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ( x ? 2) (2)原式= | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 2)
说明:注意性质 a 2 ?| a | 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类 讨论.

|x-3| A 1

a?b a 2b ? ab2 ? ab ab 2x (4) 原式= 2 ? x ? x 2 ? 2 ? 22 x ? 2 x ? x x ? 2 2 x ? 3 2 x ? x x 2? 2 2 ? 3 (2 ? 3)2 例 6 解: x ? ? ? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ? x ? y ? 14, xy ? 1 22 ? 3 2? 3 原式= ( x ? y)( x2 ? xy ? y 2 ) ? ( x ? y)[( x ? y)2 ? 3xy] ? 14(142 ? 3) ? 2702
(3)原式= 说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结 构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量. 【巩固练习】 1. ?4 ? x ? 3
4 4 4

P x

C 0 |x-1|

B 3

D 4 x

图 1.1-1





2. ?
2

13 3 6
2 2 2

3. ? 3 或 2
2 2

4. 3 ? 5 6.?1? ? 3 , ? 2 ?

1 3

1 3

1 1 ? 2 ? ? ( ? 2 x) 3 3

5.? x ? y ? z ? 2x y ? 2x z ? 2 y z

x? y 4 3 , ? 3? , ? 4? b ? a 3 y

8 2 2 1 ? x 4 ? 2 2 x 3? x 2? x? 3 3 9
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.

专题二因式分解答案 例 1 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可看
6 6

1 3 1 3 1 3 1 3 m ? n (2)原式= ( m) ? ( n) ? 5 2 125 8 2 4 2 2 2 3 3 6 (3)原式= (a ? 4)(a ? 4a ? 4 ) ? (a ) ? 4 ? a ? 64
(4)原式= ( x ? y) ( x ? xy ? y ) ? [( x ? y)( x ? xy ? y )] ? ( x ? y ) ? x ? 2 x y ? y
2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 6 3 3 6

着是 (a ) ? (b ) 或 (a ) ? (b ) .
3 2 3 2 2 3 2 3

解:(1) 3a b ? 81b ? 3b(a ? 27b ) ? 3b(a ? 3b)(a ? 3ab ? 9b ) .
3 4 3 3 2 2

(2) a ? ab ? a(a ? b ) ? a(a ? b )(a ? b ) ? a(a ? b)(a ? ab ? b )(a ? b)(a ? ab ? b )
7 6 6 6 3 3 3 3 2 2 2 2

1 ?x ? ? 3 例 3 解: x 1 2 1 1 1 2 2 原式= ( x ? )( x ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )[( x ? ) ? 3] ? 3(3 ? 3) ? 18 x x x x 例 4 解: a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b

x ? 3x ? 1 ? 0 ? x ? 0
2

? a(a ? b)(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a2 ? ab ? b2 )
例 2(1)分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因 式. 解: ab(c ? d ) ? (a ? b )cd ? abc ? abd ? a cd ? b cd ? (abc ? a cd ) ? (b cd ? abd )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd )
2 2 2

b?c a?c a ? b a(?a) b(?b) c(?c) a ?b ?c ?b? ?c? ? ? ? ?? ? 原式= a ? bc ac ab bc ac ab abc 3 3 2 2 3 a ? b ? (a ? b)[(a ? b) ? 3ab] ? ?c(c ? 3ab) ? ?c ? 3abc



(2)分析:先将系数 2 提出后,得到 x ? 2 xy ? y ? 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全 平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 解 :
2 2 2

-7-

2x2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 8z 2 ? 2( x2 ? 2xy ? y 2 ? 4z 2 ) ? 2[( x ? y)2 ? (2z)2 ] ? 2( x ? y ? 2z)( x ? y ? 2z) 例 5 解: x3 ? 3x2 ? 4 ? ( x3 ? 1) ? (3x2 ? 3) ? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ?1) ? ( x ? 1)[( x2 ? x ? 1) ? 3( x ?1)] ? ( x ? 1)( x2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2
【巩固练习】 1. (1) (bc ? ad )(ac ? bd ) ; (2) ( x ? 4m ? 2n)( x ? 2n) ; (3) ( x2 ? 4 x ? 8)( x2 ? 4 x ? 8);

1. A; 2.A; 3. p ? ?1, q ? ?3 ;

4. a ? 3, b ? 3, c ? 0 ; 5. m ? 1 (1)当 k ? 3 时,

方程为 3x ? 1 ? 0 ,有实根;(2) 当 k ? 3 时, ? ? 0 也有实根.6.(1) k ?

k ? 7.

3 且k ? 1 ; 4

(2)

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案 例 1 解: (1)因为 A 、B 关于 x 轴对称, 它们横坐标相同, 纵坐标互为相反数, 所以 x2 ? 2 , y1 ? 3 , 则 A ? 2 , 3? 、 B ? 2 , ? 3? . (2)因为 A 、B 关于 y 轴对称, 它们横坐标互为相反数, 纵坐标相同, 所以,x2 ? ?2 ,y1 ? ?3 , (3)因为 A 、 B 关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以 x2 ? ?2 , y1 ? 3 ,则

(4) ( x ?1)( x ? 3)( x ? 7) ; (5) ( x ? 2 y)2 ( x ? 2 y) . 28 2. ; 3 1 2 1 2 2 3. ( x ? x ? 1) ? ( x ? 3 x ? 1) ? x ? 4 x ? x( x ? 4) 2 2 1 2 1 2 2 其他情况如下: ( x ? x ? 1) ? ( x ? x) ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ; 2 2 1 2 1 ( x ? 3x ? 1) ? ( x 2 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 . 2 2 3 2 2 3 2 4. a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b2 )(a ? b ? c)
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

则 A? 2 , ? 3? 、 B ? ?2 , ? 3? .

A? 2 , 3? 、 B ? ?2 , ? 3? .

例 2 分析:因为直线过第一、三象限,所以可知 k>0,又因为 b=2,所以直线与 y 轴交于(0,2) , 即可知 OB=2,而 ΔAOB 的面积为 2,由此可推算出 OA=2,而直线过第二象限,所以 A 点坐标 为(-2,0) ,由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。

又 解: ∵ B 是直线 y=kx+2 与 y 轴交点, ∴ B (0, 2) , ∴ OB=2,

1 1 例 1 解: ∵? ? (?2) ? 4 ? 3 ? k ? 4 ?12k , ∴ (1) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ; (2) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ; 3 3 1 1 (3) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ;(4) 4 ? 12k ? 0 ? k ? . 3 3 2 2 例 2 解:可以把所给方程看作为关于 x 的方程,整理得: x ? ( y ? 2) x ? y ? y ? 1 ? 0
2



1 AO ? BO ? 2, ? AO ? 2 2 y ? kx ? 2 , ? A(?2, 0) 把x1 ? ?2,y1 ? 0代入y ? kx ? 2中得k ? 1 过第二象限, , ?y ? x?2 S?AOB ?

【巩固练习】 4) 或 P(8, 1) . 1. B 2. D(2,2)、C(8,2)、B(6,0). 3.(1) k ? 8 . (2)点 P 的坐标是 P(2, 专题五二次函数参考答案 例 1 解:∵ y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,∴ 函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1;顶点 坐标为(-1,4); 当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小; A(-1,4) y 采用描点法画图, 选顶点 A(-1, 4)), 与 x 轴交于点 B (

由于 x 是实数, 所以上述方程有实数根, 因此: ? ? [?( y ? 2)] ? 4( y ? y ? 1) ? ?3 y ? 0 ? y ? 0 ,
2 2 2

代入原方程得: x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 .综上知: x ? ?1, y ? 0
2

例 3 解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? (?2) ? 2(?2007) ? 4018
2 2 2 2

1 1 x1 ? x2 ?2 2 (2) ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007 (3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972
(4) | x1 ? x2 |?

2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) , 3 3

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008

说明: 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形: x12 ? x22 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ,

1 1 x1 ? x2 2 , ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 , | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 等等.韦达定 ? ? x1 x2 x1 x2
理体现了整体思想. 【巩固练习】
-8-

与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . O B 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出 C 关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. x=-1 图 2.2-5 例 2 分析:由于每天的利润=日销售量 y× (销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函 数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B) ,将 x=130,y=70;x=150,y=50 代入方程, 有?

D(0,1)

x

?70 ? 130k ? b, 解得 k=-1,b=200.∴ y=-x+200. ?50 ? 150k ? b,

设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600, ∴ 当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 例 3 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最 小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6① 可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时, 函数取最小值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6② 可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函 数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③ 可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取 最小值 y=0.
y
4 4 y y

距离为 2,∴ 顶点的纵坐标为 2,或-2.于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0),∴ 0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.∴ a=- 求的二次函数为 y=-

1 1 ,或 a= .所以,所 2 2

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2

说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶 点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. (3)解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8), 可得

a2
4

? ?22 ? a ? b ? c ? ? ?8 ? c ?8 ? 4a ? 2b ? c ?
【巩固练习】

解得 a=-2,b=12,c=-8.所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.

a2
-2 a O ① x -2

a2
O ② a 2 x -2

O ③

a x

图 2.2-6

说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研 究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时, 通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 例 4(1)分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以 将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵ 二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴ 顶点的纵坐标为 2.又顶点在直 线 y = x + 1 上,所以, 2 = x + 1 ,∴ x = 1 .∴顶点坐标是( 1 , 2 ) .设该二次函数的解析式为
2 ,∴?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a=-2. y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) ,∵二次函数的图像经过点(3,-1) 2 ∴ 二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2) ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7.

1. (1)D (2)C (3)D 2. (1)y=x2+x-2 (2)y=-x2+2x+3 3. (1) y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1. (2) y ? 4( x ? 1) 2 ? 3 ? 4x 2 ? 8x ? 1 . (3) y ?

1 1 2 5 2 1 1 2 (4) y ? ? x ? 3? ? 2 ? x ? 3x ? ( x ? 3)( x ? 5) ? x 2 ? x ? 3 . 2 2 2 5 5 5
y 2 O 2 4 图 2.2-11 6 8 x

4.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大.

说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二 次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用 条件简捷地解决问题. (2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵ 二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴ 可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),

? x, ? 4 ? x, ? 5. (1)函数 f(x)的解析式为 y ? ? ? x ? 4, ? ?8 ? x,

0 ? x ? 2, 2 ? x ? 4, 4 ? x ? 6, 6 ? x ? 8.

(2)函数 y 的图像如图所示 (3)由函数图像可知,函数 y 的取值范围是 0<y≤2. 专题六二次函数的最值问题参考答案 例 1 分析:由于函数 y ? 2x ? 3x ? 5 和 y ? ? x ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数,所 以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解: (1) 因为二次函数 y ? 2x 2 ? 3x ? 5 中的二次项系数 2>0, 所以抛物线 y ? 2x 2 ? 3x ? 5 有最低点,
2 2

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a ,由于二次函数图象的顶点 展开,得 y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为 4a 1 1 2 3 到 x 轴的距离 2,∴ |-4a|=2,即 a= ? .所以,二次函数的表达式为 y= x ? x ? ,或 y=- 2 2 2 1 2 3 x ?x? . 2 2
分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点 到 x 轴的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式 来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵ 二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴ 对称轴为直线 x=-1.又顶点到 x 轴的
-9-

3 3 49 即函数有最小值.因为 y ? 2x 2 ? 3x ? 5 = 2( x ? ) 2 ? ,所以当 x ? 时,函数 y ? 2x 2 ? 3x ? 5 有 4 4 8 49 最小值是 ? . 8 2 (2) 因为二次函数 y ? ? x ? 3x ? 4 中的二次项系数-1<0, 所以抛物线 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有最高点,
即函数有最大值. 因为 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 = ? ( x ?

3 2 25 3 ) ? , 所以当 x ? ? 时, 函数 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 2 4 2

有最大值

25 . 4

例 2 解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?1,当 x ? 2 时, ymax ? ?5 . 说明:二次函数在自变量 x 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐 标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异.下面给出一些常见 情况:

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 解: (1) 解法(一)原不等式可化为:? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? 2 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? ? x ? ?1 3 解法(二) 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? . 2 ?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3 x ? 5 3x ? 5 ?3? 0 ? ?0? ?0 ?? (2) 解:原不等式可化为: ? x?2 x?2 x?2 ?x ? 2 ? 0 5 x ? ?2或x ? ? 3
说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2) 本 例 也 可 以 直 接 去 分 母 , 但 应 注 意 讨 论 分 母 的 符 号 :

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 ? 3? ? 或? x?2 ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1
【巩固练习】 例 3 解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x2 ? 2 x 在 x ? 0 内的图象. 可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1,无最大值.所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 . 例 5 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元,那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) , 又 m ? 162 ? 3 x .? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x ? 252x ? 4860,30 ? x ? 54 (2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下
2

1 ? x ? 0 (2) ? 3 ? x ? 6 (3) x ? ?1 (4)x ? ?3 ; 2 1 1 2. (1) x ? ?1或x ? 1 (2) x ? 或x ? 3 (3) x ? ?2或x ? 0 (4) x ? ? ; 2 2
1. (1) ? 3.(1) 无解 (2) 全体实数 4.(1)当 m ? 2 时, x ? 5. m ? ?

1? m 1? m ;(2)当 m ? 2 时, x ? ;(3) 当 m ? 2 时, x 取全体实数. m?2 m?2
7. a ? ?5或a ? 1 .

? 当 x ? 42 时, ymax ? ?3? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 ? 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.
【巩固练习】

1 ; 2

6. k ? 5

3 1 l2 2 2. m 3. a ? 2, b ? ?2 . 4. a ? ? 或 a ? ?1 . 2 4 16 5.当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? 1 ;当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? ?1 .
1.4 14 或 2, 专题七不等式答案 例 2 解:(1) 不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ∴ 不等式的解是 ?2 ? x ? 4

1 2 7 ? 0. 2 4 ?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 例 3 解:显然 k ? 0 不合题意,于是: ? ?? 2 ?? ? k ?1 2 2 k ? ? 1 或 k ? 1 ( ? 2) ? 4 k ? 0 k ? 1 ? 0 ? ? ?
(2) 不等式可化为 ( x ? 2) ? 0
2

∴ 不等式的解是 x ? 2 ;(3) 不等式可化为 ( x ? ) ?

例 4 分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处 理;或者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整 式不等式求解. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.

- 10 -


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