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2014届高三数学辅导精讲精练20


2014 届高三数学辅导精讲精练 20
1.下列命题为真命题的是 π A.角 α=kπ+3 (k∈Z)是第一象限角 π π B.若 sinα=sin7,则 α=7 C.-300° 角与 60° 角的终边相同 D.若 A={α|α=2kπ,k∈Z},B={α|α=4kπ,k∈Z},则 A=B 答案 C ( ) ( )

2.与-463° 终边相同的角的集合是 A.{α|α=k· +463° 360° ,k∈Z} B.{α|α=k· +103° 360° ,k∈Z} C.{α|α=k· +257° 360° ,k∈Z} D.{α|α=k· -257° 360° ,k∈Z} 答案 解析 C 显然当 k=-2 时,k· +257° 360° =-463° ,故选 C.

3.若 600° 角的终边上有一点 P(-4,a),则 a 的值为 A.4 3 C.± 3 4 答案 解析 B B.-4 3 D. 3

(

)

tan600° =tan(360° +240° )=tan240° =tan(180° +60° )=tan60° 3= =

a ,∴a=-4 3. -4 4.sin 2· 3· 4 的值 cos tan A.小于 0 C.等于 0 答案 解析 A π 3π ∵2<2<3<π<4< 2 , B.大于 0 D.不存在 ( )

∴sin2>0,cos3<0,tan4>0.

∴sin2· cos3· tan4<0,∴选 A. 5.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是 ( A.2 2 C.sin1 答案 解析 C 1 2 ∵2Rsin1=2,∴R=sin1,l=|α|R=sin1,故选 C. ( ) B.2sin1 D.sin2 )

6.在△ABC 中,若 sinA· cosB· tanC<0,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 C.直角三角形 答案 解析 B ∵△ABC 中每个角都在(0,π)内,∴sinA>0. B.钝角三角形 D.不能确定

∵sinA· cosB· tanC<0,∴cosB· tanC<0. 若 B,C 同为锐角,则 cosB· tanC>0. ∴B,C 中必定有一个钝角. ∴△ABC 是钝角三角形.故选 B. 3π 3π 7. 已知点 P(sin 4 , 4 )落在角 θ 的终边上, θ∈[0,2π), θ 的值为( cos 且 则 π A.4 5π C. 4 答案 D 3π 4 3π 3π 由 sin 4 >0,cos 4 <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= 3π =-1,θ∈ sin 4 cos 3π B. 4 7π D. 4 )

解析

7π [0,2π),∴θ= 4 . 8.(2013· 临沂模拟)若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA, sinB-cosA)在 A.第一象限 B.第二象限 ( )

C.第三象限 答案 解析 B

D.第四象限

∵A、B 是锐角△ABC 的两个内角,

∴A+B>90° ,即 A>90° -B. ∴sinA>sin(90° -B)=cosB,cosA<cos(90° -B)=sinB. ∴cosB-sinA<0,sinB-cosA>0. ∴点 P 在第二象限.故选 B. 9.下列三角函数值结果为正的是 A.cos100° 2π C.tan(- 3 ) 答案 解析 C 100° 为第二象限角, cos100° 700° <0; =2×360° -20° 为第四象限角, , B.sin700° 9π D.sin(- 4 ) ( )

2π ∴sin700° <0;- 3 为第三象限角, 2π 9π π tan(- 3 )>0;- 4 =-2π-4为第四象限角. 9π ∴sin(- 4 )<0. π π 10.若4<θ<2,则下列不等式成立的是 A.sinθ>cosθ>tanθ C.sinθ>tanθ>cosθ 答案 解析 D π π π ∵4<θ<2,∴tanθ>1,sinθ-cosθ= 2sin(θ-4). B.cosθ>tanθ>sinθ D.tanθ>sinθ>cosθ ( )

π π π π π ∵4<θ<2,0<θ-4<4,∴sin(θ-4)>0,∴sinθ>cosθ. 11.给出四个命题 π ①若 α∈(0,2),则 sinα<α; ②若 α 为第一象限角,则 sinα+cosα>1; ③若 α、β 为第一象限角且 α>β,则 sinα>sinβ;

④ cos2>0. 以上命题为真命题的有________. 答案 ①②

8π θ 12.若 θ 角的终边与 5 的终边相同,则在[0,2π]内终边与4角的终边相同的角 是________. 答案 解析 2 9 7 19 5π,10π,5π,10π 8π 由已知 θ=2kπ+ 5 (k∈Z).

θ kπ 2π ∴4= 2 + 5 (k∈Z). kπ 2π 4 16 由 0≤ 2 + 5 ≤2π,得-5≤k≤ 5 . ∵k∈Z,∴k=0,1,2,3. θ 2 9 7 19 ∴4依次为5π,10π,5π,10π. 3 13. 若角 α 的终边上有一点 P(-4, 且 sinα· a), cosα= 4 , a 的值为________. 则 答案 解析 4 3 -4 3或- 3 方法一 依题意可知角 α 的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边

3 3 4 3 上且 sinα· cosα= 4 ,易得 tanα= 3或 3 ,则 a=-4 3或- 3 . 方法二 3 ∵sinα· cosα= 4 >0,∴sinα· cosα 同号.

∴角 α 在第三象限,即 P(-4,a)在第三象限,∴a<0. 根据三角函数的定义 -4 a 3 2· 2= 4 , 16+a 16+a

4 3 解得 a=-4 3或 a=- 3 . θ θ θ 14.如果 θ 是第二象限角,且 cos2-sin2= 1-sinθ,那么2所在象限为第 ________象限. 答案 三

解析

θ θ θ θ ∵cos2-sin2= 1-sinθ=|cos2-sin2|,

θ θ 3π θ π ∴cos2≥sin2,∴2kπ- 4 ≤2≤2kπ+4,k∈Z. π 又∵2kπ+2<θ<2kπ+π,k∈Z, π θ π 5π θ 3π ∴kπ+4<2<kπ+2,∴2kπ+ 4 <2<2kπ+ 2 . θ 故2为第三象限角. π 15.若 0<α<β<2,则下列不等式正确的是________. ①sinα+sinβ<α+β ③α· sinα<β· sinβ 答案 解析 ①②③ 由已知得 sinα<α,sinβ<β,0<sinα<sinβ,因此 sinα+sinβ<α+β,即选 ②α+sinβ<sinα+β

④β· sinα<α· sinβ

项①正确.α· sinα<β· sinβ,即选项③正确.构造函数 f(x)=x-sinx(其中 x>0),则 π f′(x)=1-cosx≥0, 因此函数 f(x)=x-sinx 在(0, +∞)上是增函数, 0<α<β<2 当 时,有 f(α)<f(β),即 α-sinα<β-sinβ,α+sinβ<sinα+β,选项②正确.对于选项 π π π π 3 D,当 α=6,β=3时,β· sinα=6>6·2 =α· sinβ,选项④不正确. 16.扇形的中心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 ________. 答案 解析 7+4 3 9 设内切圆的半径为 r,

扇形半径为 R,则(R-r)sin60° =r. ∴R=(1+ 2 )r. 3

1 2π 2 · R S扇形 2 3 7+4 3 1R 1 2 ∴ = πr2 =3( r )2=3(1+ )2= 9 . S圆 3 17.(教材习题改编)若 α 的终边落在 x+y=0 上,求出在[-360° ,360° ]之间 的所有角 α.

答案 解析

-225° ,-45° ,135° ,315° 3π 若角 α 终边落在Ⅱ象限,∴{α|α= 4 +2kπ,k∈Z}.

7π 若角 α 的终边落在Ⅳ象限内,∴{α|α= 4 +2kπ,k∈Z}. ∴α 终边落在 x+y=0 上角的集合为 3π 7π {α|α= 4 +2kπ,k∈Z}∪{α|α= 4 +2kπ,k∈Z} 3π ={α|α= 4 +kπ,k∈Z}. 令-360° ≤135° 180° +k· ≤360° ,∴k={-2,-1,0,1}. ∴相应的角-225° ,-45° ,135° ,315° . 18.在直角坐标系 xOy 中,若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: π y=2 2x(x≥0).求 sin(α+6)的值. 答案 解析 1+2 6 6 2 2 1 由射线 l 的方程为 y=2 2x,可得 sinα= 3 ,cosα=3.

π 2 2 3 1 1 1+2 6 故 sin(α+6)= 3 × 2 +3×2= 6 .

θ θ θ 1.已知 θ 是第一象限的角,且|sin2|=-sin2,则2是 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 解析 C π θ 是第一象限的角,∴2kπ<θ <2+2kπ(k∈Z). B.第二象限角 D.第四象限角

(

)

θ π ∴kπ<2<4+kπ(k∈Z). θ π θ 当 k=2n(n∈Z)时,2nπ<2<4+2nπ(n∈Z),2是第一象限的角;

θ 5π θ 当 k=2n+1(n∈Z)时, π+2nπ<2< 4 +2nπ(n∈Z),2是第三象限的角; θ θ ? θ? 又?sin2?=-sin2,所以 sin2≤0. ? ? θ θ 在2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满足 sin2≤0.故选 C. 2.已知-360° ≤β<0° β 与 α=70° 且 的终边关于直线 y=x 对称,则 β= ________. 答案 -340°

1 3. 已知 tanθ<0, 且角 θ 终边上一点为(-1, 且 cosθ=-2, y=________. y), 则 答案 解析 3 1 ∵cosθ=-2<0,tanθ<0,

∴θ 为第二象限角,则 y>0. ∴由 -1 1 2=-2,得 y= 3. 1+y

4.表盘上零点时,时针与分针重合,再次重合时时针和分针各转过了多少 弧度? 答案 解析 24π 2π 分针转过了- 11 弧度,时针转过了-11 弧度 设经过 t 小时两针再重合,

π ∵分针每小时转-2π 弧度,时针每小时转-6弧度, π 12 ∴-6t-2π=-2πt,解得 t=11. 24π 2π ∴分针转过了- 11 弧度,时针转过了-11 弧度. 5. 已知角 α 的顶点在原点, 始边为 x 轴的非负半轴. 若角 α 终边经过点 P(- 3 3,y),且 sinα= 4 y(y≠0),试判断角 α 所在的象限,并求 cosα 和 tanα 的值. 解析 依题意,P 到原点 O 的距离为|PO|= ?- 3?2+y2, y 3 2= 4 y. 3+y

y ∴sinα=r =

7 21 ∵y≠0,∴9+3y2=16,∴y2=3,y=± 3 . ∴点 P 在第二或第三象限. 21 x 3 7 当 P 在第二象限时,y= 3 ,cosα= r =-4,tanα=- 3 .当 P 在第三象限 21 x 3 7 时,y=- 3 ,cosα= r=-4,tanα= 3 6.点 P 为圆 x2+y2=4 与 x 轴正半轴的交点,将点 P 沿圆周顺时针旋转至 2π 点 P′,当转过的弧长为 3 时,求点 P′的坐标. 答案 P′(1,- 3) 2π 3 π 点 P 所转过的角 POP′的弧度数为 α=- 2 =-3.又|OP′|=2,

解析

π ∴点 P′的横坐标 x=2· cos(-3)=1, π 纵坐标 y=2· sin(-3)=- 3,∴P′(1,- 3). 7.(1)如果点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角 θ 所在的象限. (2)若 θ 是第二象限角,试判断 思路 象限. (2)由 θ 可判断 cosθ,sin2θ 的范围,把 cosθ,sin2θ 看作一个角,再判断 sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号. 解析 (1)因为点 P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限, sin?cosθ? 的符号是什么? cos?sin2θ?

(1)由点 P 所在的象限,可知 sinθ、cosθ 的符号,进而判断 θ 所在的

?sinθ>0, 所以 sinθcosθ<0,2cosθ<0,即? ?cosθ<0. 所以 θ 为第二象限角. π (2)∵2kπ+2<θ<2kπ+π(k∈Z), ∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin2θ<0. ∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0.

sin?cosθ? sin?cosθ? ∴cos?sin2θ?<0.∴cos?sin2θ?的符号是负号.


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