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数学 江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷 34


江苏省 2012 届高三全真模拟卷数学卷 34
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 不等式

1 x

x ?1 x?4

? 1 的解集是___________.
x ?1
<

br />2.若函数 y ? f (x) 与 y ? e

的图像关于直线 y ? x 对称,则 f (x) ?

. .

3.经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且以 d ? (1,1) 为方向向量的直线的方程是 4. 计算:
2 Cn lim 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n ? n???

.

5. 在二项式 ( x ?

1 x

) 8 的展开式中,含 x 5 的项的系数是

(用数字作答).

6. 若数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 的值等于

.

7. 已知直线 m ? 平面 ? ,直线 n 在平面 ? 内,给出下列四个命题:① ? // ? ? m ? n ; ② ? ? ? ? m // n ; ③ m ? n ? ? // ? ; ④ m // n ? ? ? ? , 其 中 真 命 题 的 序 号 是 . 8. 一个盒内有大小相同的 2 个红球和 8 个白球,现从盒内一个一个地摸取,假设每个球摸 到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回,当拿到白球后停止摸取,则摸取次数 ? 的 数学期望是 9. 极坐标方程 4 ? sin 2 .

?
2

? 5 所表示曲线的直角坐标方程是

. .

10.在△ ABC 中,已知最长边 AB ? 3 2 , BC ? 3 ,? A =30?,则? C =

11. 已 知 函 数 f ( x) ? lg( x ? 1) , 若 a ? b 且 f (a ) ? f (b) , 则 a ? b 的 取 值 范 围 是 .

12.在平行四边形 ABCD 中,AB=1,AC= 3 ,AD=2;线段 PA⊥平行四边形 ABCD 所在的平面, 且 PA =2,则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于 (用反三角函数表示).

1

13.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC、BD 相交于 O,记△BCO、△CDO、△ADO 的面积分 别为 S1、S2、S3,则

S1 ? S 3 的取值范围是 S2

.

14. 已知函数 f ( x) 满足:①对任意 x ? (0, ??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立;②当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x .若 f (a ) ? f (2020) ,则满足条件的最小的正实数 a 是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 的值的一个程序框 ? ? ??? ? 3 5 2011


图, 其中判断框内应填入的条件是……………………( (A) i ? 2011 ; (B) i ? 2011 ; (C) i ? 1005 ; (D) i ? 1005 . 16. 已知 f ( x) ? ?

?(3 ? a ) x ? a ?log a x

( x ? 1) 是 (??,??) 上 的 增 函 ( x ? 1)

数, 那么 a 的取值范围是 ……………………………( ) (A) (1,+∞) ; (B) (0, 3); (C) (1, ; 3) [
3 ,3) . 2

(D)

17.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面 ABB1 A1 内有一动点 P 到直线 A1 B1 与直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在的曲线的形状为…………( )

18.已知有穷数列 A: a1 , a 2 ,? ? ?, a n ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两 项 ai , a j ,将

ai ? a j 1 ? ai a j

的值添在 A 的最后,然后删除 ai , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新

2

数列 A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列

5 3 1 1 n ? 2 项的新数列 A2,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A: ? , , , , 7 4 2 3
则 A3 的可能结果是……………………………( (A)0; (B) ) (D)

3 ; 4

(C)

1 ; 3

1 . 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 如图,用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮
2

制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计) 该容器 , 最 多盛水多少?(结果精确到 0.1 cm )
3

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1, 0) . (1)若 x ?

?

?

?

?
3

,求向量 a 、 c 的夹角 ? ;

(2)若 x ? ? ?

1 ? 3? ? ? , ? ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求实数 ? 的值. 2 ? 8 4?

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8 .
2 2

(1)设点 Q ( x, y ) 是圆 C 上一点,求 x ? y 的取值范围; (2)如图, 定点A(1, 0), M 为圆 C 上一动点,点 P 在 AM 上,点 N

3

在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 求 点N 的轨迹的内接矩形的最大面积.

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

m100 设虚数 z 满足 z ? m z ? ? 0 (m 为实常数, m ? 0且m ? 1 ,为实数). 4
2 t

(1) 求 z 的值; (2) 当 t ? N ? ,求所有虚数 z 的实部和; (3) 设虚数 z 对应的向量为 OA ( O 为坐标原点) OA ? (c, d ) ,如 c ? d ? 0 ,求的 , 取值范围. 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x ? kx
2

对任意实数 x , f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立; 有 (k ? R) ,

数列 {a n } 满足 a n ?1 ? f (a n ) . (1)求函数 f (x) 的解析式和值域; (2)试写出一个区间 ( a, b) ,使得当 a1 ? ( a, b) 时,数列 {a n } 在这个区间上是递增数 列, 并说明理由; (3)已知 a1 ?

1 ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ? ,都有 3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 n log 3 ? ?1? 1? ?1 n ? 32 ? 1 ? ? log 3 ? 1 ? ? ??? ? log 3 ? 1 ? ? ?? 1 ? (?2) ?2?logn log 3 2 恒成 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

立,若存在, 求之;若不存在,说明理由.

4

参考答案 一、填空题 1. 【 (-1,3) 】 2. 【 f ( x) ? ln x ? 1, ( x ? 0) 】 3. 【 x ? y ? 1 ? 0 】 4. 【

1 】 2

5. 【 28 】

6. 【 24 】 7. 【①, ④】 8. . 【

25 11 2 】 9. y ? 5 x ? 【 】 10. C =135?】 【? 4 9

11.【 (0,??) 】 12.【arccos 二、选择题

3 14 或 2 arcsin 】13. ( 2,??) 】14.【 36 , 【 】 7 7

15. 【A】 ;16. 【D】 ;17. 【B】 ;18. B 】 【 三、解答题 19.(本题满分 12 分) 解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l,圆锥形容器的高和底面半径分别为 h、r,则由 题意得 R= 10 2 ,由

1 Rl ? 100 2? 得 2

l ? 20? ;
………2 分 由

……………………………………………………………………………………

2?r ? l



r ? 10 ;…………………………………………………………………………………5 分


R2 ? r 2 ? h2



h ? 10 ;……………………………………………………………………………8 分
5

由 V锥 ? 所 cm
3

1 1 ?r 2 h ? ? ? ? 100 ? 10 ? 1047.2cm 3 3 3
该 容 器 最 多 盛 水 1047.2



……………………………………………………………………12 分

(说明: ? 用 3.14 得 1046.7 毫升不扣分)

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解 : ( 1 ) 当

x?

?
3





? ? 3 1? , ………………………………………………………………1 分 a?? ? 2 ,2? ? ? ?
所 以

3 ? ? ? a?c 3 ? cos ? ? ?? ? ? 2 ? ? ……………………………………………………………… 2 | a | ? | c | 1? 1
4分 因 而

??

5? ; 6

………………………………………………………………………………

…6 分 ( 2 )

f ( x) ? ? (sin 2 x ? sin x cos x) ?
7分

?
2

(1 ? cos 2 x ? sin 2 x) , ……………………………………

f ( x) ?

??

? ? ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2? 4 ?

………………………………………………………………

………10 分 因 为

? 3? ? ? x ? ?? , ? 8 4? ?







? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 x ? ? ? ? ? ,, ?? 2 x ? ? ?? 4 ? 2 4 ?? 4 ? 2 4

……………………………………………………11 分

6



? ?0
1 2





f max ( x) ?

?
2

?1 ? 1? ?

1 2





? ? , …………………………………………………12 分


??0





f max ( x) ?

?

?1 ? 2 ? ? 1 2 2





? ? ?1 ? 2


.…………………………………………13 分 以

? ? 或? ? ?1 ? 2 . …………………………………………………………………………
…14 分 21.(本题满分 14 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解 : ( 1 ) ∵ 点 在 圆

1 2

C











? x ? ?1 ? 2 2 cos ? ? ? ? [0,2? ) ;……………………………2 分 ? ? y ? 2 2 sin ? ? ? x ? y ? ?1 ? 2 2 (cos ? ? sin ? ) ? ?1 ? 4 sin(? ? ) ,………………………………… 4
…………4 分 从 而

x ? y ? [?5,3] .…………………………………………………………………………………
…6 分 (2)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴ NP 为 AM 的 垂 直 平 分 线 , ∴

|NA|=|NM|.……………………………………………………………8 分 又?| CN | ? | NM |? 2 2 ,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | ∴ 动 点 N 的 轨 迹 是 以 点 C ( - 1 , 0 ), A ( 1 , 0 ) 为 焦 点 的 椭 圆.……………………………………10 分 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴ 点 N 的 轨

? a ? 2 , c ? 1, b 2 ? 1.
迹 是 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………………………12 分 2

7

所 以 轨 迹

E

为 椭 圆 , 其 内 接 矩 形 的 最 大 面 积 为

2 2 .………………………………………………14 分
22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解 : ( 1 )

z?


mt ? m100 ? m 2t i , 2

…………………………………………………………………2

=

mt ? m100 ? m 2t i

?z ?

m 2t m100 ? m 2t m50 ? ? 4 4 2

………………………………………………………

…………4 分 (或 zz ? z ?
2

?

m100 m50 ) ?z ? 4 2 mt ; 2

(2) z 是虚数,则 m100 ? m 2t ? 0 ? mt ? m50 , z 的实部为 当

49 mm m 2 m 2 m 49 m 50 ? m m50 ? m m49 ? m m50 m ? 1, 得t?1, 得tt ? 50且tt NN ? S ? 2( ? ? ? ? ? ? ) ? m ? ? 得 且t 且 ? N?? ? S ?22( m ? 1, 50 ? 50 ? ? ? m 1, ? ?? ) ) ? .……………… 22 2 2 2 2 ?1 m ?1 m m ?1

………7 分 当
51 51 52 52 mm51 mm52 m52 m5151 m51 m .…………………………… 0 ? 0 ?? 1,? 1,t得t5050且?? N?? S?? 2( ?? ???)?? 0 ? m ? 1, 得t ?? 且t t? N ?? ?S ? 2( m m 得 ? 50且 t N ? S 2 2( ? ??)) )?? ?? ? 22 22 2 2 11 ?m 11 mm ? ?

………10 分 (3)解: c ?

mt ? m100 ? m 2t ? 0, d ? 2 2

d d ?? ① ?d??

m100 ?? 22 2tt m100 ? m m100 2 t , c ,, c ? d 恒成立, ?d 22 2
得 , 当

由 m100 ? m 2t ? 0 ? mt ? m50

m ? 1 时 , t ? 50





0 ? m ?1 时 ,

t ? 50 .………………………………12 分
8

② d ? 当

m100 ? m 2t mt , 如 c ? d, 则 ? 2 2

m100 ? m 2t m100 2t ?m ? 即m 2 2

t

m50 ? , 2

?t ? 50 1 1 ? m ? 1, ? 即50? log m m ? t? t ?.50 50 - log 2 2 ? 50 1 2 2 ?t ? 50 ? 2 log m 2 ?
…………14 分 当

…………………………

?t ? 50 11 ? 0 ? m ? 1, ? 即50< t 50 ? - log m 2 m 2 ………………… < log 50 ? t ? 50 1 22 ?t ? 50 ? 2 log m 2 ?
…………16 分 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解 :( 1 ) 由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒 成 立 等 价 于 (k ? 4) x ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒 成
2

立,…………………………1 分 从 而 得 : ?

?k ? 4 ? 0
2 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0

, 化 简 得 ?

?k ? 4
2 ?(k ? 2) ? 0

, 从 而 得 k?2 , 所 以

f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ,………3 分
其 值 域 为

1 (??, ] .…………………………………………………………………………………………… 2
…4 分 (2)解:当 a1 ? (0,

1 ) 时,数列 {a n } 在这个区间上是递增数列,证明如下: 2
1 2 1 1 ? (0, ) ,所以对 2 2
均 有

2 设 an ? (0, ), n ? 1 ,则 a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) 2 ?

1 2





n? N*



1 a n ? (0, ) ;……………………………………………………………………………………… 2
………7 分

9

1 1 2 a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2(a n ? ) 2 ? 4 8 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 a n ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
, 从 而 得 a n ?1 ? a n ? 0 , 即 a n ?1 ? a n , 所 以 数 列 {a n } 在 区 间 (0, ) 上 是 递 增 数 列.………………………10 分 注:本题的区间也可以是 [ , ) 、 [ , ) 、 [ , ) 等无穷多个. 另解:若数列 {a n } 在某个区间上是递增数列,则 a n ?1 ? a n ? 0 即

1 2

1 1 5 2

1 1 4 2

1 1 3 2

1 2 2 a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2a n ? a n ? 0 ? an ? (0, ) ……………… 2
…………7 分

1 1 ? (0, ) ,所以 2 2 1 1 对一切 n ? N * ,均有 a n ? (0, ) 且 a n ?1 ? a n ? 0 ,所以数列 {a n } 在区间 (0, ) 上是递增数 2 2
2 又当 an ? (0, ), n ? 1 时, a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) 2 ?

1 2

1 2

列.…………………………10 分

1 1 ? a n ? (0, ) ; 2 2 1 1 1 1 2 2 ? a n ?1 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 2 2 2 2 1 1 ? a n ?1 ? 2( ? a n ) 2 ;………12 分 2 2 1 1 2 令 bn ? ? a n ,则有 bn ?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) ; 2 2
(3)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而

1 2





从而有 lg bn ?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可得 lg bn ?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所以数列 {lg bn ? lg 2} 是

lg b1 ? lg 2 ? lg

1 3















2









列,………………………………………………………14 分

1 n ?1 ?1? ? lg? ? 从 而 得 lg bn ? lg 2 ? lg ? 2 3 ?3?
?1? ? ? 3 bn ? ? ? 2
2 n ?1

2 n ?1

?1? ? ? ?3? , 即 lg bn ? lg 2

2 n ?1

, 所 以

1 ?1? ? ? ? 2 ?3?

2 n ?1



10

? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? ? log 3 (2 ? 3 2 ) ? log 3 2 ? 2 n ?1 , 所以 ? ? 2 ? 3 2 ,所以 log 3 ? 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log 3 ? ? ? ? ? ? ? log 3 ? ? 所以, log 3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
1

1 ? 2n ? n log 3 2 ? ? 2 n ? n log 3 2 ? 1 .…………………………………………… 1? 2
…………16 分 即 2 n (log 3 2) n ? 1 ? ? ?1? 2n ? ? n log 3 2
n ?1

n 3 ?1 2? ? n log3 22? 1 ,所以, 2n ?1 ? ? ?1?

n ?1

? 恒成立
有最小值为。? ? ? 1

(1) 当 n 为奇数时,即 ? ? 2n ?1 恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2

n?1

(2) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?2n ?1 恒成立,当且仅当 n ? 2 时,有最大值 ?2 为。? ? ? ?2 所 以 , 对 任 意

n ? N ? , 有 ?2 ? ? ? 1 。 又 ? 非 零 整 数 ,

? ? ? ?1 …………………………………18 分

11


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