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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:8-1空间几何体的结构和三视图及直观图


时间:45 分钟 班级:________ 姓名:________

满分:100 分 学号:________ 得分:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形, 则该正方体

的正视图的面积不可能 等于( ... A.1 C. 2-1 2 B. 2 D. 2+1 2 )

解析:正视图转化为长方形 A1 ACC1 的正投影,设 A1 C1 的正投影长为 l,则 S=1×l=l,可知 l∈ [1, 2],故 S∈[1, 2],则 面积不可能等于 2-1 ,故选 C. 2 2-1 ?[1, 2],故正视图的 2

答案:C 2.(2014· 泉州二模)在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( A.角的水平放置的直观图不一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相 等 解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角;由正方形的直观图 可排除 B、C,故选 D. 答案:D 3. (2013· 课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐 )

标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

解析: 此四面体为正四面体,点 (1,1,0) ,(0,1,1)在 zOx 面上的投影分别为 (1,0,0),(0,0,1),所以选 A. 答案:A 4.(2014· 扬州模拟 )下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的 是( )

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析:正方体三个视图都相同;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯 视图是带圆心的圆;三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同;正四 棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形,故选 D. 答案:D

5.(2014· 龙岩一模 )一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形 面积为 2 ,则原梯形的面积为( A.2 C .2 2 ) B. 2 D.4

解析:设直观图中梯形的上底为 x ,下底为 y,高为 h.则原梯形的上底为 x , 下底为 y,高为 2 2 h,故原梯形的面积为 4,选 D. 答案:D 6.下列叙述正确的是( )

①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.

②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台. ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. ④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥. ⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴, 其余三边旋 转形成的面围成的旋转体叫圆台. ⑥用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分是圆台. ⑦通过圆锥侧面上一点,有无数条母线. ⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴.半圆旋转一周形成球体. A.①②③④⑤⑥⑧ C.①②⑤⑧ B.①③④⑦⑧ D.⑤

解析:如图,由图(1)可知①是错误的;由图(2)可知②③是错误的;由图 (3) 可知④是错误的;由图(4)可知⑥错误的.

因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线, 所以“通过圆锥侧 面上一点,有无数条母线.”是错误的,即⑦是不正确的. 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的应该是球面,半圆 面旋转一周形成的才是球体,所以⑧是错误的. 所以只有⑤是正确的.故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后 的横线上) 7.(2014· 吉林质检 )已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中 AB=AC,四边形 BCDE 为矩形,则该组合体的俯视图可以是________(把你认为 正确的图的序号都填上).

解析:直观图如图 1 的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱) 的俯视图为①;直观图如图 2 的几何体(上部是一个正四棱锥,下部是一个圆柱) 的俯视图为②;直观图如图 3 的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个圆柱)的俯 视图为③;直观图如图 4 的几何体(上部是一个圆锥,下部是一个正四棱柱)的俯 视图为④.

答案:①②③④ 8.(2014· 福州二模 )沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示, 则该几何体的侧(左)视图为________.

解析:给几何体的各顶点标上字母,如图 1.A,E 在侧投影面上的投影重合, C,G 在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平 后的情形如图 2 所示,故正确选项为②(而不是①).

答案:② 9.(2014· 沈阳三模)一个锥体的主(正)视图和左 (侧)视图如图所示,下面选项 中,不可能是该锥体的俯视图的是________.

解析:俯视图是选项③的锥体的正视图不可能是直角三角形.另外直观图如 图 1 的三棱锥(其中 OP⊥平面 OEF,OE⊥ OF,OP=OE= OF=1)的俯视图是选 项①,直观图如图 2 的三棱锥(其中 OP,OE,OF 两两垂直,且长度都是 1)的俯 视图是选项②,直观图如图 3 的四棱锥(其中 OP⊥平面 OEGF,底面是边长为 1 的正方形,OP=1)的俯视图是选项④.

答案:③ 10.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方 形,在该几何体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点, 这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________.

①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:由三视图知,几何体是正四棱柱.所以从该几何体上任意选择 4 个顶 点,它们所构成的几何图形只可能是:①③④⑤. 答案:①③④⑤ 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤) 11.一个正方体内接于高为 40 cm,底面半径为 30 cm 的圆锥中,求正方体 的棱长.

解:如图所示,过正方体的体对角线作圆锥的轴截面,设正方体的棱长为 x 2 x 2 2 40-x cm,则 OC= x ,∴ = , 2 30 40 解得 x =120(3-2 2), ∴正方体的棱长为 120(3-2 2)cm. 12.(能力题)图 1 为一几何体的展开图.

(1)沿图中虚线将它们折叠后得到的是一个怎样的几何体?试用文字描述并 画出示意图. (2)需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为 6 cm 的正方体?试在棱长 为 6 cm 的正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 (图 2)中指出这几个几何体的名称. 解:(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥,如图 1 所示.

(2)需要 3 个这样的几何体,如图 2 所示,它们分别为四棱锥 A1 -CDD1 C1 , A1 -ABCD,A1 -BCC1 B1 . 13.(能力题)圆台上底半径为 1,下底半径为 4,母线 AB=18,从 AB 中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 A 点(A 在下底面). (1)求绳子的最短长度; (2)求绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.

解:(1)如图,沿母线 AB 展开,直线段 AM 为最短长度,设∠APA′=θ,则 4-1 θ= ×360° =60° . 18 如图, O′B PB 1 = = , OA PB+AB 4

解得 PB=6, ∴PM=6+9=15. 在△PAM 中,AM= PA2 +PM2 -2PA· PM· cos60° =21. (2)作 PE⊥AM 于 E 交 于 F,则 EF 为所求最短距离.

∵AM· PE=PA· PM· sin60° =2S△PAM.

24×15× ∴PE= 21

3 2



60 3. 7

60 ∴EF=PE-PF= 3 -6. 7 因此,绳子最短长度是 21,绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距 离为 60 3 -6. 7


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