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江苏省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量模拟演练 文


专题二

三角函数与平面向量
经典模拟·演练卷

一、填空题 1.(2015·吉林实验中学三模)已知向量 a=(sin θ ,-2),b=(1,cos θ ),且 a⊥b, 则 sin 2θ +cos θ 的值为________. 2.(2015·苏、锡、常、镇调研)函数 f(x)=Asin (ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω
2

?π ? >0,0<φ <π )的图象如图所示,则 f? ?的值为________. ?3?

3 . (2015· 苏 州 调 研 ) 设 α ________.

π? 4 π? ? ? 为 锐 角 , 若 cos ?α + ? = , 则 sin ?2α + ? 的 值 为 6? 5 12? ? ?

→ → → → → → 4.(2015·德州模拟)已知向量AB与AC 的夹角为 60°,且|AB|=| AC |=2,若AP=λ AB + →

AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________.
5.(2015·南昌调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) π +6,C= ,则△ABC 的面积是________. 3 π? ? 6.(2015·潍坊三模)已知函数 f(x)=2sin?ω x- ?+1(x∈R)图象的一条对称轴为 x= 6? ? π ,其中 ω 为常数,且 ω ∈(1,2),则函数 f(x)的最小正周期为________. π? π ? 7.(2015·郑州模拟)将函数 f(x)=2sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位,得到 3 3ω ? ?
2 2





? π? 函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在?0, ?上为增函数,则 ω 的最大值为________. 4? ?
8.(2015·邢台模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ac=b -a ,A= π ,则 B=________. 6 9 .(2014·南京、盐城模拟 ) 设函数 f(x)= cos(2x+ φ ),则“f(x)是奇函数”是“ φ = π ”的______条件. 2 π? ? 10.(2015·苏北四市调研)已知函数 f(x)=2sin?2ω x- ?(ω >0)的最大值与最小正周期 4? ?
1
2 2

相同,则函数 f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为______. 二、解答题 11.(2015·衡水中学调研)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3acos A=ccos

B+bcos C.
(1)求 cos A 的值; 2 3 (2)若 a=2 3,cos B+cos C= ,求边 c. 3

12.(2015·苏、锡、常、镇调研)如图所示,A,B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的交 点,点 P 在单位圆上,∠AOP=θ (0<θ <π ),C 点坐标为(-2,0),平行四边形 OAQP 的面 积为 S.

→ → (1)求OA·OQ+S 的最大值; π? ? (2)若 CB∥OP,求 sin?2θ - ?的值. 6? ?

2

1 ?π ? 2 13.(2015·淄博模拟)已知函数 f(x)= 3sin ω x·sin? +ω x?-cos ω x- (ω >0),其 2 ?2 ? π 图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 (1)求 ω 的值及 f(x)的单调增区间; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 7,f(C)=0,若向量 m=(1, sin A)与向量 n=(3,sin B)共线,求 a,b 的值.

经典模拟·演练卷 1.1 [由 a⊥b,知 a·b=0, ∴sin θ -2cos θ =0,则 tan θ =2. 2sin θ cos θ +cos θ 2tan θ +1 2 故 sin 2θ +cos θ = = =1.] 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 3T 11π π 3π 2π 2.1 [根据图象可知,A=2, = - = ,所以周期 T=π ,由 ω = =2. 4 12 6 4 T 又函数过点?
2

?π ,2?,所以有 sin?2×π +φ ?=1,而 0<φ <π ,所以 φ =π ,则 f(x)= ? ? ? 6 6 ?6 ? ? ?

π? ? 2sin?2x+ ?, 6? ?

?π ? ?2π π ? 因此 f? ?=2sin? + ?=1.] 6? ?3? ? 3
17 2 3. 50 π? 4 ? [∵α 为锐角且 cos?α + ?= , 6? 5 ?

π ?π 2π ? ∴α + ∈? , ?, 3 ? 6 ?6 π? 3 ? ∴sin?α + ?= . 6? 5 ? π? π? π? ? ? ? ∴sin?2α + ?=sin?2?α + ?- ? 6? 4? 12? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α + ?cos -cos 2?α + ?sin 6 6 4 4 ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? ? 2? = 2sin?α + ?cos?α + ?- ?2cos ?α + ?-1? 6? ? 6? 2 ? 6? ? ? ? 3 4 2? 4?2 ? = 2× × - ?2×? -1? ? 5 5 2 ? ?5? ? ?

3

12 2 7 2 17 2 = - = .] 25 50 50 → → → → → → → → 4.1 [由BC=AC-AB且AP⊥BC,AP=λ AB+AC, → → → → → → ∴AP·BC=(λ AB+AC)·(AC-AB)=0. →2 →2 → → 因此AC -λ AB +(λ -1)AB·AC=0,(*) → → → → 又〈AB,AC〉=60°,|AB|=|AC|=2. 故(*)式化为 4-4λ +(λ -1)×2×2cos 60°=0,解之得 λ =1.] 3 3 5. 2 [由 c =(a-b) +6 得 c =a +b -2ab+6.
2 2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理得 c =a +b -ab,∴ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S= absin C= ×6× = .] 2 2 2 2 6π 6. 5 [∵f(x)的图象关于直线 x=π 对称,

π π 2 ∴ω π - =kπ + ,k∈Z,则 ω =k+ ,k∈Z. 6 2 3 5 又 1<ω <2,因此取 k=1,则 ω = , 3 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π 6π = .] ω 5

7.2 [依题意 g(x)=2sin(ω x),

? π? ∵y=g(x)在?0, ?上为增函数, 4? ?
πω π ∴0≤ω x≤ ≤ ,则 ω ≤2,故 ω 的最大值为 2.] 4 2 π 8. 3
2

[由余弦定理,a =b +c -2bccos A.
2 2 2 2

2

2

2

∴a -b =c - 3bc.又 ac=b -a , ∴ 3bc=ac+c ,即 a= 3b-c. 由正弦定理,得 sin A= 3sin B-sin C, 3 ?5 ? 1 又 sin C=sin? π -B?= cos B+ sin B, 6 2 ? ? 2 1 1 3 3 1 从而 = 3sin B- cos B- sin B= sin B- cos B. 2 2 2 2 2 π π π ? π? 1 ∴sin?B- ?= ,在△ABC 中,B- = ,则 B= .] 6? 2 6 6 3 ?
4
2

π? π ? 9.必要不充分 [φ = ? f(x)=cos?2x+ ?=-sin 2x 为奇函数,∴“f(x)是奇函数” 2? 2 ? π 是“φ = ”的必要条件. 2 π π 又 f(x)=cos(2x+φ )是奇函数? f(0)=0? φ = +kπ (k∈Z)D? φ = .∴“f(x)是奇 2 2 π 函数”不是“φ = ”的充分条件.] 2 1 3 2π π ? ? 10.?- , ? [因为函数 f(x)的最大值为 2,所以最小正周期 T=2= ,解得 ω = ,所 2ω 2 ? 4 4? π? π π π 1 ? 以 f(x)=2sin?π x- ?,当 2kπ - ≤π x- ≤2kπ + ,k∈Z,即 2k- ≤x≤2k+ 4? 2 4 2 4 ? 3 , k ∈ Z 时,函数 f(x) 单调递增,所以函数 f(x) 在 x ∈ [ - 1 , 1] 上的单调递增区间是 4

?-1,3?.] ? 4 4? ? ?
11.解 (1)由正弦定理及 3acos A=ccos B+bcos C 得 3sin Acos A=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C) ∵B+C=π -A,∴3sin Acos A=sin A. 1 又 sin A>0,从而 cos A= . 3 1 (2)∵A∈(0,π ),cos A= , 3 2 2 ∴sin A= , 3 2 3 又∵cos B+cos C= , 3 2 3 ∴cos[π -(A+C)]+cos C= , 3 整理得 cos C+ 2sin C= 3① 又 sin C+cos C=1,② 由①,②联立,得 sin C= 6 , 3 2 3· 2 2 3 6 3
2 2

asin C 由 = ,得 c= = sin A sin C sin A

a

c

=3.

12.解 (1)由已知,得 A(1,0),B(0,1),P(cos θ ,sin θ ), 因为四边形 OAQP 是平行四边形,

5

→ → → 所以OQ=OA+OP=(1,0)+(cos θ ,sin θ )=(1+cos θ ,sin θ ). → → 所以OA·OQ=1+cos θ .又平行四边形 OAQP 的面积为

S=|OA|·|OP|sin θ =sin θ ,
π? → → ? 所以OA·OQ+S=1+cos θ +sin θ = 2sin?θ + ?+1. 4? ? π → → 又 0<θ <π ,所以当 θ = 时,OA·OQ+S 的最大值为 2+1. 4 → → (2)由题意,知CB=(2,1),OP=(cos θ ,sin θ ), 因为 CB∥OP,所以 cos θ =2sin θ . 又 0<θ <π ,cos θ +sin θ =1,解得 sin θ =
2 2





5 2 5 ,cos θ = , 5 5

4 3 2 2 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ = ,cos 2θ =cos θ -sin θ = . 5 5 π? π π 4 3 3 1 4 3-3 ? 所以 sin?2θ - ?=sin 2θ cos -cos 2θ sin = × - × = . 6? 6 6 5 2 5 2 10 ? 1+cos 2ω x 1 13.解 (1)f(x)= 3sin ω xcos ω x- - 2 2 = π? 3 1 ? sin 2ω x- cos 2ω x-1=sin?2ω x- ?-1. 6? 2 2 ?

π 因为函数图象两相邻对称轴间的距离为 . 2 ∴f(x)的最小正周期 T=π , π? 2π ? 又 T= ,∴ω =1,从而 f(x)=sin?2x- ?-1, 6? 2ω ? π π π 令 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 6 3 π π? ? ∴函数 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ? π? π? ? ? (2)由(1)知:f(x)=sin?2x- ?-1,所以 sin?2C- ?=1, 6? 6? ? ? π π 11 因为 0<C<π ,所以- <2C- < π , 6 6 6 π π π 所以 2C- = ,即 C= , 6 2 3 由已知 m∥n 可得 sin B-3sin A=0,
6

在△ABC 中,由正弦定理得 b-3a=0,① 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C,又已知 c= 7, 所以 7=a +b -ab.② 由①②联立,解得 a=1,b=3.
2 2 2 2 2

7


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