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湖北省黄冈中学2014年高三5月模拟考试数学文试题


湖北省黄冈中学 2014 届高三五月模拟考试 数学(文史类)
本试题卷共 6 页,共 22 题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★ 祝考试顺利★
命题:潘际栋 审稿:曹燕 校对:肖海东 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2B

铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无 效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x ? 2014}, N ? {x | 0 ? x ? 1} ,则下列关系中正确的是( A. M )

N?R

B. M D. M

N ? {x | 0 ? x ? 1}

C. N ? M 2.已知命题 p : $ x A. $ x C. $ x

N ??


R, 使 sin x <

1 x 成立. 则 ?p 为( 2
B. " x D. " x
B B B

1 x 成立 2 1 x 成立 R, 使 sin x ? 2

R, 使 sin x =

1 x 均成立 2 1 x 均成立 R, sin x ? 2

R, sin x <

3.若函数f(x)=sinωx+ 3cosωx,x∈R,又f(x 1 )=-2,f(x 2 )=0,且|x 1 -x 2 |的最小值为
B B B B B

3π ,则正数ω的值为( 4 1 A. 3

) 2 B. 3 4 C. 3 3 D. 2

4.在函数 y ? f ( x) 的图象上有点列 ( xn , yn ) ,若数列 {xn } 是等差数列,数列 { yn } 是等 比数列,则函数 y ? f ( x) 的解析式可以为 ( A . f ( x) ? 2 x ? 1 C. f ( x) ? log3 x ) B. f ( x ) ? 4 x
2
x

D. f ( x ) ? ( )

3 4

5 . 如 图, 已知 P 是 边长为 2 的正 三角 形的 边 BC 上 的 动点 ,则

AP ? ( AB ? AC) (
A.最大值为8 B.是定值6 C.最小值为2 D.与P的位置有关



6.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是( A.(20,25] B.(30,32] C.(28,57] 是 D.(30,57] 输出 k



开始

输入 x

k=0

x=2x+1

k=k+1 否

x>115?

.

结束

O D ?x ? 0 ? A 7.当实数 x , y 满足不等式 ? y ? 0 时,恒有 ax ? y ? 2 成立,则实数 a 的取值集合 B ?x ? 2 y ? 2 ? 输出 x,k 是( ) A. (0,1] B. (??,1] C. (?1,1] D. (1, 2)

8.已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 F a 2 b2

且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该双曲 线的离心率 e 的取值范围为( A. (1, 2)
2



B.

(1,

2)

C.

(1, 3 )

D. (1, 3)

9. 若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内存在最小值, 则实数 k 的 取值范围是( ).

3 , 2) 2 10.在等腰梯形 ABCD 中, E , F 分别是底边 AB, CD 的中点,把四边形 AEFD 沿直线 EF 折起,所在的平面为 ? ,且 ? ? 平面 BEFC , P ? ? ,设 PB, PC 与 ? 所成的角分 别为 ?1 ,? 2 (?1 ,? 2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则点 P 的轨迹为( )
A. [1, ? ?) B. [1 , C. [1, 2) D. [ A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

3 ) 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 35 分. 请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .......

11.已知 m ? R ,复数

m?i 1 ? 的实部和虚部相等,则 m = 1? i 2

. . .

12.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?2,1) ,则 a 在 b 方向上的投影等于

13.若函数 f ( x) ? a x ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是

14. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中有一个数字被污损,则 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 .

15.过抛物线 C : x ? 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点,若抛物线 C 在点 B 处的
2

切线斜率为 1,则线段 AF ?



16.路灯距地平面为 8m,一个身高为 1.75m 的人以

5 m/s 的速率,从路灯在地面上的射影 7
m/s.

点 C 处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率 v 为

17.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数. 如: 6=1 ? 2 ? 3 ;

28=1 ? 2 ? 4 ? 7 ? 14 ; 496=1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 31 ? 62 ? 124 ? 248 .
? n?1 n 已经证明:若 2 ? 1 是质数,则 2 (2 ?1) 是完全数, n ? N . 请写出一个四位完全
n



;又 6 ? 2 ? 3 ,所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2) ? (1 ? 3) ;

28 ? 22 ? 7 ,所以 28 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2 ? 22 ) ? (1 ? 7) ;按此规律,请写
出所给的四位数的所有正约数之和可表示 为 .. . (请参照 6 与 28 的形式给出)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值.

A 2

19. (本小题满分 12 分) 一个四棱锥的三视图和直观图如图所示, 其中俯视图中 ?DAB ? 600 . E 为侧棱 PD 的中点. (1)求证:PB//平面 AEC; (2)若 F 为侧棱 PA 上的一点,且

PF ? ? , 则 ? 为何值时, FA

PA ? 平面 BDF?并求此时几何体 F—BDC 的体积.
P 1 A 2 A
正视图

P

P
B

C

D
侧视图

D 2 P

F A
B

E

60

C
2

D

2 B

C

20. (本 俯视图 小题满分 13 分) 已知单调递增的等比数列{a n }满足:a 2 +a 3 +a 4 =28,且a 3 +2 是a 2 ,a 4 的等差中项.
B B B B B B B B B B B B B B

(1)求数列{a n }的通项公式;
B B

(2) 若 bn ? an ? log 1 an , S n =b 1 +b 2 +…+b n , 求使S n +n· 2 n 1 >50 成立的正整数n的最小值.

B B B B B B B B B B P P

2

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? xe x .
2

(1)求 f ( x) ? g ( x) 的极值; (2)当 x ? (?2, 0) 时, f ( x) ? 1 ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)

y 2 x2 已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的上、 a b
2

下焦点及左、右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; ( 2 ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 A, B 两 不 同 点 , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
( 3 ) 直 线 l 交 椭 圆 C2 于 P, Q 两 不 同 点 , P, Q 在 x 轴 的 射 影 分 别 为 P ' ,Q ',

OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 ,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,证明:点 S 在椭圆 C2 上.

2014 年届湖北省黄冈中学五月模拟试题参考答案
1. 【答案】B 【解析】 M

N ? {x | x ? 2013} {x | 0 ? x ? 1} ? {x | 0 ? x ? 1}

2. 【答案】D

【解析】原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即 ?p : ?x ? R ,sin x ? 3.答案:B

x . 2

T 3? π 2 解析:因为 f(x)=2sin(ωx+ ),|x1-x2|的最小值为 ? ,故 T ? 3? ,所以 ω= . 3 3 4 4
4. 【答案】 D 3?x 3 xn 【解析】对于函数 f(x)=? ?4? 上的点列(xn,yn),有 yn= ( ) ,由于{xn}是等差数列,所以 xn+1

4

3 ( ) xn?1 3 3 y 4 ? ( ) xn?1 ? xn ? ( ) d ,这是一个与 n 无关的常数,故{yn}是等比 -xn=d,因此 n ?1 = 3 4 4 yn ( ) xn 4
数列.故选 D. 5. 【答案】B 【解析】设BC的中点为D, AP, AD 的夹角为 ? ,则有 AP ? ( AB ? AC) ? 2 AP ? AD

? 2 | AD | ?(| AP | cos? ) ? 2 | AD |2 ? 6 。
6. 【答案】C 【解析】当输出 k=2 时,应满足 ? 7. 【答案】B 【解析】画出可行域,直线 ax ? y ? 2 恒过定点(0,2) ,则可行域恒在直线 ax ? y ? 2 的下 方,显然当 a ?0 时成立,当 a ?0 时,直线即为

?2 x ? 1 ? 115 ,得 28<x≤57. ?2(2 x ? 1) ? 1 ? 115

x y ? ?1 , 其 在 x 轴 的 截 距 2 2 a

2 ? 2 ? 0 ? a ? 1 ,综上,可得 a ? 1 。 a
8. 【答案】A 【解析】由于 ?ABE 为等腰三角形,可知只需 ?AEF ? 45 即可,即
0

| AF |?| EF |?

b2 ? a ? c ,化简得 e2 ? e ? 3 ? 0 ? 1 ? e ? 2 . a

9. 【答案】B 【解析】因为 f ( x ) 定义域为 (0, ??) ,又 f ?( x ) ? 4 x ?

1 1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 2 x

据题意, ?

1 ? 3 ?k ? 1 ? ? k ? 1 ,解得 1 ? k ? . 2 2 ? ?k ? 1 ? 0
D A P E B

10. 【答案】B 【解析】如图,连接 PE, PF 易知 ?BPE ? ?1 , ?CPF ? ?2 ,
由 tan ?1 ? tan ?2 ,可得 tan ?1 ? tan ?2 ,故

BE CF PE BE ? ? ? ? 定值,且此定值不为 1, PE PF PF CF
C F 故 P 点的轨迹为圆。 (到两定点的比为不为 1 定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆) 11. 【答案】

1 2

【解析】 :

1 m ? i 1 ? m ? i ??1 ? i ? 1 ? m ? 1? ? ?1 ? m ? i 1 ? ? ? ? ? ,则 m ? 1 ? m ,所以 m ? 2 1 ? i 2 ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 2

12. 【答案】 ?

5 5

【解析】 a 在 b 方向上的投影为 a cos a, b ? a 13. 【答案】 a ? 1

ab ab 5 . ? ?? a b b 5

【解析】作图分析知当 0 ? a ? 1 时只有一个零点,当 a ? 1 时有两个零点 14.【答案】

4 5

【解析】记其中被污损的数字为 x ,由题知甲的 5 次综合测评的平均成绩是

1 ? (80 ? 2 ? 90 ? 3 ? 8 ? 9 ? 2 ? 1 ? 0) ? 90 , 乙 的 5 次 综 合 测 评 的 平 均 成 绩 是 5 1 442 ? x 442 ? x ? (80 ? 3 ? 90 ? 2 ? 3 ? 3 ? 7 ? x ? 9) ? ,令 90 ? ,解得 x ? 8 ,即 x 的取值 5 5 5 8 4 ? 。 可以是 0 7 ,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 10 5
15.【答案】 1 【解析】设 B ? x1 , y1 ? ,因为 y ?

1 2 x ,所以 y? ? x , y ? 2

x ? x1

? 1? ? x1 ? 1 ,可得 B ?1, ? ,因为 ? 2?

1 1 ? 1? ? 1? F ? 0, ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ,故 AF ? BF ? ? ? ? ? ? 1 . 2 2 ? 2? ? 2?
16. 【答案】

1 5

【解析】 如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB.设人从 C 点运动到 B 处路程为 x 米,时间为 t(单位:秒) ,AB 为人影长度,设为 y,则∵BE∥CD,∴

AB BE ? . AC CD



5 7 y 1.75 ,∴y= x, x= t, ? 7 25 y?x 8

∴y=

1 7 x= t. 25 5

∵y′=

1 1 ,∴人影长度的变化速率为 m/s. 5 5

17. 【答案】 8128
n

(1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ) ? (1 ? 127)

【解析】若 2 ? 1 是质数,则 2n?1 (2n ? 1)是完全数,中令 n ? 7 可得一个四位完全数为

64? 127? 8128 。由题意可令 8128 = 26 ? (27 ?1) ? 26 ?127
其所有正约数之和为 (1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ) ? (1 ? 127) 18.解: (1) f (x) ?

3 sin 2x ? cos 2x
…………3 分

? 2 sin(2 x ?

?
6

)

T ?

2?

?

? ?

…………4 分

由 2k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

得, k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z ).,

故 f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ?

? ?

?
6

,k ? ?

??
3? ?

( k ? Z ).

………………6 分

(2) f ( ) ? 2 ,则 2sin( A ?

A 2

?
6

) ? 2 ? sin( A ?

?
6

)?1

? A?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ?

2? ? 2k? , k ? Z 3
………………………9 分

又 0 ? A ? ? ,? A ?

2? 3

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7

?a ? 7

… ……………………12 分

19.(1)由图形可知该四棱锥和底面 ABCD 是菱形,且有一角为 60 ,边长为 2,锥体高度为 1。 设 AC,BD 和交点为 O,连 OE,OE 为△DPB 的中位线, OE//PB,EO ? 面 EAC,PB ? 面 EAC 内,? PB//面 AEC………..6 (2)过 O 作 OF ? PA 垂足为 F 在 Rt△POA 中,PO=1,AO= 3 ,PA=2,PO =PF·PA,2PF=1
1 3 PF 1 ? PF ? , FA ? , ? 2 2 FA 3
2

在棱形中 BD ? AC,又因为 PO ? 面 ABCD,所以 BD ? PO, 及 BD ? 面 APO,所以 PA ? 平面 BDF 当
3 3 PF 1 ? 时,在△POA 中过 F 作 FH//PO,则 FH ? 面 BCD,FH= PO ? 4 4 FA 3
1 1 1 3 3 ? 2 ? 3,?V ? S ?BCD ? FH ? ? ? 3 ? 。…………………12 2 3 3 4 4

? S ?BCD ?

20.(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2+a3+a4=28, 可得 a3=8,∴a2+a4=20,
2 ? ? ? ?q=2, ?a1q =8, ?q=2, ? 所以? 解之得 或 ? 3 ?a1q+a1q =20, ? ? ?a1=2 ?

…………………………2 分 1

?a1=32.

…………………………4 分

又∵数列{an}单调递增,所以 q=2,a1=2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)因为 b ? 2 log
n

…………………………6 分

n

1 2

2n ? ?n ? 2n ,

所以 Sn=-(1× 2+2× 22+…+n· 2n), 2Sn=-[1× 22+2× 23+…+(n-1)· 2n+n· 2n 1],


两式相减,得 Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n 1=2n 1-2-n· 2n 1.
+ + +

…………………………10 分

要使 Sn+n· 2n 1>50,即 2n 1-2>50,即 2n 1>52.
+ + +

易知:当 n≤4 时,2n 1≤25=32<52;当 n≥5 时,2n 1≥26=64>52.故使
+ +

Sn+n·2

n+1

>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

…………………………13 分

21.解: (I)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h?( x) ? ( x ? 1)(2 ? e x ) ………2 分

x
h?( x) h( x )

(??, ?1)

?1
0

(?1, ln 2)

ln 2
0

(ln 2, ??)

?

?

?

(??, ? ln 2) 极小值

极大值 ………5 分

1 ? h( x)极小值 =h(?1) ? ? 1 ,?h( x)极大值 =h(ln 2) ? ln 2 2 .………7 分 e
(II)由已知,当 x ? (?2, 0) 时, x 2 ? 2 x ? 1 ? axe x 恒成立 即a ? 令 t ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 1 x ? 2 ? x ?1 恒成立, ? xe x ex

………9 分

x ? 2 ? x ?1 ( x 2 ? 1)( x ? 1) ? ,则 t ( x ) ? ? ex x 2e x

………12 分

? 当 x ? (?2, ?1) 时, t ?( x) ? 0 , t ( x) 单调递增
当 x ? (?1, 0) 时, t ?( x) ? 0 , t ( x ) 单调递减 故当 x ? (?2, 0) 时, t ( x)max ? t (?1) ? 0

?a ? 0
22. 解: (1) 由抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F (

………14 分

p p2 , 0) 在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上得: ? 1 , 2 4
…………………………2 分

? p ? 2 ,∴抛物线 C1 : y 2 ? 4x
同理由椭圆 C2 : 均 在 圆

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、 下焦点 (0, c), (0, ?c) 及左、 右顶点 (?b, 0), (b, 0) a 2 b2
. 得 椭 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上 可 解 得 : b ? c 1 ? , ?a ? 2

C2 : x 2 ?

y2 ?1 . 2

…………………………4 分

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) .

? y2 ? 4x 2 2 2 2 联立方程组 ? ,消去 y 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0, ? y ? k ( x ? 1)
? 2k 2 ? 4 x ? x ? ? ?? ? 16k 2 ? 16 ? 0, 且 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
…………………………5 分

由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得: ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2

…………………………8 分

(3)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ),? S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P '( xp ,0), Q '( xQ ,0) 由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 得 2xp xQ ? y p yQ ? ?1 ;①

xp2 ?

yp2 2

? 1 ;②

xQ 2 ?

yQ 2 2

? 1 ;③ ( y p ? yQ )2 2

…………………………11 分

由①+②+③得 ( x p ? xQ ) ?
2

?1
…………………………14 分

∴ S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,命题得证.


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