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福建省福州八中2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


福州八中 2014—2015 学年第二学期期末考试

高一数学 必修 4
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2015.7.7

A 卷(共 100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 已知 ? 为第二象限角,

sin ? ? A. ?

24 25 2. 已知函数 f ? x ? = sin x ,下列结论中错误的是
B. A. f ? x ? 既偶函数,又是周期函数. B. f ? x ? 的最大值为

24 25

4 ,则 sin(? ? 2? ) ? 5 12 C. 25

D. ?

12 25

3 2

C. y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?

?
2

对称

D. y ? f ? x ? 的图像关于 ?? , 0 ? 中心对称 3. 设向量 a ? (2, 0), b ? (1,1) ,则下列结论中正确的是 A. a ? b ? 2 B. | a |?| b | C. a ? b D. a // b

4. 若 a =(2,1), b =(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 A. 2 5 B. 2 C.

5

D. 10

5.已知 tan? =2 2 ,且 ? ? ,则 sin ? ? 2 cos ? 的值是 ( ? ?, 0)

2 C.- 2 3 6.函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x 的最小正周期为
A. 2 B.-

D.

?

?

2 3

A. 2?

B.

3? 2

C. ?

D.

?
2

7.在△ABC 中,若 tan A·tan B<1,则△ABC 的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
8.已知函数 则? ?

f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ?

?
2

)的部分图象如图所示,

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A.

?
6

B.

?
3

C. ?

?
6

D. ?

?
3
D G B F A E C

9.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径, F 是线段 AB 上的 点, 且 BF ? 2 FA , 若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动的一条直 径,则 FD ? FE 的值是

10.设函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ? x ? 的图象向 左平移

3 4 1 C. ? 4
A. ?

B.

?

8 9

D. 不确定

?
8

个单位得函数 y ? g ? x ? 的图象,则

? ?? ? 2? ? ?? C. g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增 ? 2?

A. g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减

?? 3 ? , ? ? 上单调递减 ?4 4 ? ?? 3 ? D. g ? x ? 在 ? , ? ? 上单调递增 ?4 4 ?
B. g ? x ? 在 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) ? 11. tan 600 ? 12. 设 x ? R ,向量 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b ,则 a + b ? _________ 13.已知 ???C 中,角 ? , ? , C 所对的边分别是 a ,b , c , ?? ? 60 , c ? 2 , 且 ???C 的面积为

3 ,则 a 边的长为 2

14.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ), ? ? [?

? ?

, ] ,且函数 f(x)是偶函数, 2 2

则 θ 的值为______ 三、 解答题: (本大题共 3 小题, 共 34 分. 解答应写出文字说明、 演算步骤或推证过程。 ) 15.(本小题 10 分) 已知向量 a ? (1,0), b ? (1,4) . (Ⅰ) 若向量 k a ? b 与 a ? 2b 平行,求 k 的值; (Ⅱ) 若向量 k a ? b 与 a ? 2b 的夹角为锐角,求 k 的取值范围.

16. (本小题 12 分)
已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? m( m ? R ) .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

] 时, f ( x) 的最大值为 9 ,求实数 m 的值.

17. (本小题 12 分)
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已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 (

(1)求 ? 的值;

π , 1) . 12

(2)在 ?ABC 中,?A 、?B 、?C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab , 且 f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

B 卷(共 50 分) 一、选择题(5 分×4=20 分,请将答案填写在答卷上) 18. 设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于

2 1 B. 2 2 sin 47 ? sin17 cos 30 19. cos17 3 1 A. ? B. ? 2 2
A.

C.0

D.-1

C.

1 2

D.

3 2

20. 设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 a=λ b D.若存在实数 λ ,使得 a=λ b,则|a+b|=|a|-|b| 21.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数.若 f ( x) 的最小正周期是 ? , ? ?? ? 5? ? 且当 x ? ?0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ? ? 的值为
? 2? ? 3 ?

A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分。 ) 22. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a 2 ? b 2 ? bc,sin C ? 2sin B , 则角 A 为__________.

23.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN=60°, C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC =75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC= 100 m,则山高 MN=________m. 三、解答题:(本大题共 2 小题,共 22 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证 过程。) 24.(本小题 10 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, cos B ? (I)求 ac 的值及△ABC 的面积;
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3 ,且 BA ? BC ? 21 。 5

(II)若 a ? 7 ,求角 C 的大小。
25.(本小题 12 分) 如图, 在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场, 游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC , 该曲线段是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? (0, ? )) , x ? [?4, 0] 的图像,图像

的最高点为 B (?1, 2) .边界的中间部分为长 1 千米的直线段 CD ,且 CD∥EF .游乐场 的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 (1)求曲线段 FGBC 的函数表达式; (2)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米,现准备从入口 G 修 一条笔直的景观路到 O ,求景观路 GO 长; (3)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ ,平行四边形的一 边在海岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 上,且 ?POE ? ? , 求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大 y 值及此时 ? 的值. .

B G F(- 4,0) C

2 Q

D P M E x

-1 O

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福州八中 2014—2015 学年第二学期期末考试
高一数学 必修 4 试卷参考答案及评分标准
A 卷(共 100 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) ABABB ACBBA 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 11. ___ 3 _______. 12.

10

.13.__ 3 ______.14.

?

6



三、解答题:(本大题共 3 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。) 15.解: (Ⅰ)依题意得 k a ? b ? (k ,0) ? (1,4) ? (k ? 1,4), a ? 2b ? (1,0) ? (2,8) ? (3,8) -------2 分 ∵向量 k a ? b 与 a ? 2b 平行 ∴ 8 ? (k ? 1) ? 3 ? 4 ? 0 ,---------------4 分

1 --------------------5 分 2 (Ⅱ)由(2)得 k a ? b ? (k ? 1,4), a ? 2b ? (3,8)
解得 k ? ∵向量 k a ? b 与 a ? 2b 的夹角为锐角 ∴ (k a ? b) ? (a ? 2b) ? 3 ? (k ? 1) ? 4 ? 8 ? 0 ,且 8(k ? 1) ? 3 ? 4 --------8 分 ∴k ? ?

35 1 且 k ? ------------10 分 3 2

16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? m 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? 3 ? ? m ………………………3 分 2 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 2 ? ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 2. ………………………5 分 6 ? ? ? 由 ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z ,………………………6 分 2 6 2 ? ? 得 ? ? k ? ? x ? ? k ?, k ? Z . 3 6 ? ? ∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [? ? k ?, ? k ?] (k ? Z) .…………7 分 3 6 ? ? ? k? 由 2 x ? ? ? k ?, k ? Z 得 x ? ? ,k ?Z , 6 2 6 2 ? k? ∴函数 f ( x) 的对称轴方程是 x ? ? , k ? Z .………………………8 分 6 2 ? ? ?? ? (Ⅱ)∵当 x ? [0, ] 时, ? 2 x ? ? ,………………………9 分 6 6 6 3 1 ? ∴ ? sin(2 x ? ) ? 1 ,………………………10 分 2 6 ? ∴ 3 ? m ? 2sin(2 x ? ) ? m ? 2 ? 4 ? m ,……………………11 分 6 ∴ 4 ? m ? 9 ,解得 m ? 5 . ∴实数 m 的值为 5.…………………………………………12 分
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π π ) ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 . ……………………………2 分 12 6 π π 7π π π , ? ?? ? , 0 ? ? ? π ,? ? ? ? ? 6 6 6 6 2 π ……………………………………………………………5 分 ?? ? . 3 (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab , a 2 ? b2 ? c2 1 ? cos C ? ? , ……………………………………………………7 分 2ab 2 3 . …………………………………………8 分 ? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 2 π 由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) , 3 A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2 2 A ? ? 0, ? ? , ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? , ……………………………10 分 2 又 sin B ? sin( π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,
17.解: (1)由题意可得 f (

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 .……………12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

B 卷(共 50 分) 一.选择题(5 分× 4=20 分,请将答案填写在答卷上) CCCD 二、填空题(4 分×2=8 分)

22.__

________23. 150 3 三、解答题 24. (本小题 10 分)
又 cos B ?

?



解: (I)因为 BA ? BC ? 21 ,所以 ca cos B ? 21 ,所以 ac ? 35 。 (2 分)

3 4 ,所以 sin B ? 。 (3 分) 5 5 1 1 4 所以 S △ ABC ? ac sin B ? ? 35 ? ? 14 。 2 2 5
即△ABC 的面积为 14。 (5 分) (II)因为 a ? 7 ,且 ac ? 35 ,所以 c ? 5 。

3 ,由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 32 ,解得 b ? 4 2 -------------7 分 5 49 ? 32 ? 25 2 ? 所以 cos C ? 。------------------9 分 2 2?7? 4 2
又 cos B ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?

4

。--------------------10 分

25.(本小题 12 分)

12、解: (1)由已知条件,得 A ? 2 ,

…………………1 分

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又∵

T 2? ? ? 3 ,T ? ? 12 , ?? ? 4 ? 6

…………………2 分

又∵当 x ? ?1 时,有 y ? 2sin( ?

?

6

??) ? 2

???

∴ 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 2sin( (2)由 y ? 2sin(

?
6

x?

2? ) ?1得 6 3 …………5 分 x ? 6k ? (?1) k ? 4 (k ? Z ) 又 x ? [?4,0] ? k ? 0 , x ? ?3 ? G (?3,1) …6 分 x?
OG ? 10
…………………… ……………7 分 ∴ 景观路 GO 长为 10 千米

?

2? ) , x ? [?4, 0] . 3

2? 3

……3 分 ………4 分
y B 2 C Q D P M P1 E x

G F(- 4,0)

-1 O

(3)如图, OC ? 3 , CD ? 1 , ? OD ? 2 , ?COD ? 作 PP 1 ? x 轴于 P 1 点,在 Rt?OPP 1 中, 在 ?OMP 中, ∴ OM ?

?

6 PP1 ? OP sin ? ? 2 sin ?

…………………………8 分

OP OM ? 0 sin 120 sin(60 0 ? ? )

…………9 分 ……10 分

OP ? sin(600 ? ? ) 4 2 3 ? ? sin(600 ? ? ) ? 2 cos ? ? sin ? 0 sin 120 3 3

2 3 sin ? ) ? 2 sin ? 3 4 3 2 3 2 3 ? 4 sin ? cos? ? sin 2 ? ? 2 sin 2? ? cos 2? ? 3 3 3 4 3 ? 2 3 ? ? sin( 2? ? ) ? ? ? (0, ) 3 6 3 3 S 平行四边形OMPQ ? OM ? PP1 ? (2 cos ? ?
当 2? ?

……………11 分

?
6

?

?
2

时,即 ? ?

?
6

时:平行四边形面积最大值为

2 3 …………12 分 3

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