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离散型随机变量分布列及期望方差


【本讲教育信息】
一. 教学内容: 离散型随机变量分布列及期望方差 二. 重点、难点: 1. 分布列 x x1 x2 ? ? xi Pi ? ? xn Pn P P1 P xi 表示事件的各种可能,彼此互斥

Pi ? (0,1)
2. 期望

P 1 ?P 2 ? ?? P n ?1

Ex ? x1 P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n
3. 方差
2 Dx ? ( x1 ? Ex) 2 P 1 ? ? ? ( xn ? Ex) P n

D(ax ? b) ? a 2 Dx 4. E (ax ? b) ? aEx ? b 5. 典型分布:0—1 分布,几何分布,超几何分布

【典型例题】
[例 1] 一接待中心,有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的概率 均为 0.5,电话 C、D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设该时 刻有 ? 部电话占线,试求随机变量 ? 的概率分布和它的期望。

?
P

0 0.09

1 0.3

2 0.37

3 0.2

4 0.04

P(? ? 0) ? P( A)P( B) P(C)P(D) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.09
P(? ? 1) ? P( A) P( B) P(C) ? P( D) ? P( A)P(B) ? P(C) ? P(D) ? ? ? 0.3 (四项)
P(? ? 2) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P(D) ? ? ? 0.37 (六项)
P(? ? 3) ? 0.2 (四项) P(? ? 4) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( D) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.04 E? ? 0 ? 0.09 ? 1 ? 0.3 ? 2 ? 0.37 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.04 ? 1.8

ak 1 5 P( ? ? ? ) ? ? ? ? k ? 2 [例 2] 随机变量 的分布列为 P ( ) 45( k ? 1, 2??5) 则 2 P(? ? 1) ? ? ? P(? ? 5) ? 1 a 2a 5a a ? ??? ?1 ?1 a?3 45 3 ∴ 45 45 1 5 1 2 1 P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? 2 2 15 15 5



[例 3] 随机变量 ? 的分布列为

?
P 求: E?

?2
0.16

?1

0

1

2 0.3

a 10

a2

a 5

a a ? a 2 ? ? 0.3 ? 1 10 5 2 50a ? 15a ? 27 ? 0 3 9 a? a?? 5或 10 (舍) ∴ E? ? ?0.32 ? 0.06 ? 0.12 ? 0.6 ? 0.34 0.16 ?
[例 4] 一盒中有 9 个正品和 3 个次品,每次取一测试,不放回在取出一个正品前已取出的次 品数为 ? ,求期望、方差。

?
P 次 次 正

0

1

2

3

9 12

3 9 12 ﹒ 11

3 2 9 12 ﹒ 11 ﹒ 10

3 2 1 12 ﹒ 11 ﹒ 10

1 3 2 9 A32 ? A9 9 P(? ? 2) ? ? ? ? ? 3 12 11 10 220 A12 9 9?2 3 E? ? ? ? ? 0.3 44 220 220 3 9 18 2 D? ? (0 ? 0.3) 2 ? ? (1 ? 0.3) ? ? (2 ? 0.3) 2 ? ? (3 ? 0.3) ? 4 44 440 440 351 ? 1100

[例 5](0—1 分布)某射击手击中目标的概率为 P,它射击一次,击中目标的次数 ? 的期望、 方差。

? 的分布列: ?
P ∴ E? ? P 0 1 P

1? P

D? ? P ? P

2

1 [例 6] 求证:事件在一次试验中发生次数的方差不超过 4 。 1 1 1 D? ? P ? P 2 ? ?( P ? ) 2 ? ? 2 4 4

[例 7](几何分布) 某射击手击中目标的概率为 P,求从开始射击直到击中目标所需次数 ? 的 期望、方差。

?
P

1 P

2

?

k

?

(1 ? P) P

(1 ? P) k ?1 P

E? ? 1P ? 2(1 ? P) P ? ? ? kP(1 ? P) k ?1 ? ? n?1 令 S n ? P ? 2P(1 ? P) ? ? ? nP(1 ? P)

(1 ? P)S n ? P(1 ? P) ? ? ? (n ? 1)P(1 ? P) n?1 ? nP(1 ? P) n
n?1 n ∴ PSn ? P ? P(1 ? P) ? P(1 ? P) ? ? ? P(1 ? P) ? nP(1 ? P)

2

P[1 ? (1 ? P) n ] ? nP(1 ? P) n P 1 ? (1 ? P) n Sn ? ? n(1 ? P) n P ∴ 1 E? ? lim S n ? n ?? P 1? P D? ? 2 P ?
[例 8] A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2, B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A 1 对 B1 A 2 对 B2 A 3 对 B3 别为 ? ,? 。 (1)求 ? ,? 的概率分布; (2)求两队各自获胜的期望。 解析: (1) ? ,? 的可能取值分别为 3,2,1,0, ? ? 3 表示三场 A 队全胜, A 队队员的胜率 B 队队员的胜率

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A,B 两队最后所得总分分

2 2 2 8 ? ? ? ,? ? 2 P(? ? 3) = 3 5 5 75 表示三场中 A 队胜两场,P( ? ? 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? ? =1 表示三场中 A 队胜一场, 5 3 5 5 3 5 5 75 , =3 5 P ( ? =1) 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 , =0 表示三场 A 队全负,P( =0)= 3 5 5 25 , 8 28 依题意可知: ? ? ? ? 3 ,∴ P(? ? 0 )=P( ? =3)= 75 ,P(? ? 1 )=P( ? =2)= 75 ,

2 3 ? ? 2 ? ? ? 3 ? P( )=P( =1)= 5 ,P( )=P( =0)= 25 8 28 2 3 22 3? ? 2? ? 1? ? 0 ? 75 75 5 25 = 15 (2)E ? = 23 22 E? ? 3 ? E? ? ? ? ? ? 3 15 ,故甲队获胜的期望是 15 ,乙队获胜的期望 ∵ ∴ 23 是 15 。
[例 9] 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 EX,DX。 X P -1 0 1

1 2

1 ? 2q

q2

思路分析:依题意,先应按分布列的性质,求出 q 的数值后,再计算出 EX 与 DX。 解析:由于离散型随机变量的分布列满足 (1) pi ? 0 ,i=1,2,3,?; (2) p1 ? p2 ? ? ? pn ? ? ? 1 。

?1 2 ? 2 ? (1 ? 2q ) ? q ? 1 ? ?0 ? 1 ? 2q ? 1 ?q 2 ? 1 ? 故?
故 X 的分布列为 X P

解得

q ? 1?

2 2
0 1

-1

1 2

2 ?1

3 ? 2 2

1 3 1 3 ? 0 ? ( 2 ? 1) ? 1 ? ( ? 2 ) ? ? ? ? (? 2 ) ? 1 ? 2 2 2 2 2 ∴ 1 3 DX ? [?1 ? (1 ? 2 )] 2 ? ? (1 ? 2 ) 2 ? ( 2 ? 1) ? [1 ? (1 ? 2 )] 2 ? ( ? 2 ) 2 2 1 3 ? ( 2 ? 2) 2 ? ? ( 2 ? 1) 3 ? 2( ? 2 ) ? 2 ? 1 2 2 EX ? (?1) ?
[例 10] 有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开,用它们去试开 门上的锁。设抽取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不能放回,求试开次数 ? 的 数学期望和方差。 解析:把所有 n 把钥匙排成列,则能打开门的那一把钥匙排在 n 个位置中的每一个位 置都是等可能的,设恰在第 k 次打开门,则

P (? ? k ) ?

1 n。

E? ? 1 ?

1 1 1 1 n ?1 ? 2 ? ? 3? ??? n ? ? n n n n 2

n ?1 2 1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 n ?1 2 1 ) ? ? (2 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? ? ? (k ? ) ? 2 n 2 n 2 n 2 n n ?1 2 1 ? ? (n ? ) ? 2 n 1 2 n ?1 2 ? [(1 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ) ? (n ? 1)(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ) ? n] n 2 1 1 n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n2 ?1 ? ? [ n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? ]? n 6 2 4 12 D? ? (1 ?

【模拟试题】
1. 在 10 件产品中,有 3 件是次品,现从中任取 2 件,如果用随机变量 ? 表示取到次品的 件数,那么( ) A. ? 的取值为 0,1 B. ? 的取值为 1,2

2 1 2 , , C. ? 的概率分布为 7 21 3 7 7 1 , , ? D. 的概率分布为 15 15 15
2. 下列数表中,可以作为离散型随机变量分布列的是( A. ) 1

?1
P B.

-1

0

1 2
0

1 4
1

1 4
2

?2
P C.

1 2

3 4

1 -4

?3
P D.

1

2

3

1 5
1

2 5
0

3 5
1

?4
P

3. 某 12 人的兴趣小组中,有 5 名“三好生” ,现从中任意选 6 人参加竞赛,用 ? 表示这 6
3 3 C5 C7 6 人中“三好生”的人数,则下列概率中等于 C12 的是(

1 4

1 2

1 4



A. P( ? =2)

B. P( ? =3)

C. P( ? ? 2 )

D. P( ? ? 3 ) )

4. 下列表中,可以作为某离散型随机变量分布列(其中 0 ? P ? 1)的是( A.

?
P B.

1 p 1

2 p-1 2

3 2-2p 3

?
P C.

p 2
1 p

p 3
2

p 6
3

?
P D.

p ? p2

1? 2 p ? p2

?
P

1

2

3

p

1 p

1? p ?

1 p


5. 设随机变量 ? 的分布列为 P( ? =i)= 9 11 27 A. 1 B. 13 C. 13 D. 13

1 a( ) i 3 , i ? 1,2,3 ,则 a 的值为(

6. 下列命题中真命题的个数是( ) ① 期望反映随机变量取值的平均水平,方差反映随机变量取值的集中与离散的程度 ② 离散型随机变量的期望和方差都是一个数值,它们不随试验结果而变化 ③ 离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数 ④ 离散型随机变量的方差是非负的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知随机变量 ? 的分布列为

?
P 则 D ? 的值为( )

1

2

3

4

1 4

1 3

1 6

1 4

179 17 C. 144 D. 12 8. 设投掷 1 颗骰子的点数为 ? ,则( )
A. E ? =3.5,D ? =3.52

29 A. 12

121 B. 144

35 ? ? B. E =3.5,D = 12

C. E ? =3.5,D ? =3.5

35 ? ? D. E =3.5,D = 16

9. 设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数为 ? ,则下列结论正确的 是( ) A. E ? =0.1 B. D ? =0.1 C. P( ? =k)=0.01k·0.9910
k k
-k

D. P( ? =k)= C10 ? 0.99 ? 0.01

10?k

10. 已知 ? ~B(n,p) ,且 E ? =7,D ? =6,则 p 等于(



1 A. 7

1 B. 6

1 C. 5

1 D. 4

11. 一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02。设 发病的牛的头数为 ? ,则 D ? 等于( ) A. 0.2 B. 0.8 C. 0.196 D. 0.804 12. 已知随机变量 ? ~B(n,p) ,且 E ? =2.4,D ? =1.44,则 n,p 值为( ) A. 8,0.3 B. 6,0.4 C. 12,0.2 D. 5,0.6 13. 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上写上 0,1,2,现从中任意 抽取一张,将其上数字记作 x,然后放回,再抽取一张,其上数字记作 y,令 ? =x·y。求: (1) ? 所取各值的分布列; (2)随机变量 ? 的数学期望与方差。 14. 某市出租车的起步价为 6 元,行驶路程不超过 3km 时,租车费为 6 元,若行驶路程超 过 3km,则按每超出 1km(不足 1km 也按 1km 计程)加收费 3 元计费。设出租车一天行驶 的路程数 ? (按整 km 数计算,不足 1km 的自动计为 1km)是一个随机变量,则其收费也是 一个随机变量。 已知一个司机在某个月每次出车都超过了 3km, 且一天的总路程数可能的取 值是 200、220、240、260、280、300(km) ,它们出现的概率依次是 0.12、0.18、0.20、0.20、

100a 2 ? 3a 、 4 a 。
(1)求这一个月中一天行驶路程 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望和方差; (2)求这一个月中一天所收租车费? 的数学期望和方差。 15. 一台设备由三大部件组成,在设备运转中,各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和 0.30。假设各部件的状态相互独立,以 ? 表示同时需要调整的部件数,试求 ? 的数学期望 E ? 和方差 D ? 。

【试题答案】
1. D 12. B 2. A 3. B 4. C 5. D 6. C 7. C 8. B 9. A 10. A 11. C 13. 解析: (1)随机变量 ? 的可能取值有 0,1,2,4, “ ? =0”是指两次取的卡片上至少 有一次为 0,其概率为 P( ? =0)=

1?

2 2 5 ? ? 3 3 9;

1 1 1 ? ? ? ? “ =1”是指两次取的卡片上都标着 1,其概率为 P( =1)= 3 3 9 ; “ ? =2”是指两次取的卡片上一个标着 1,另一个标着 2,其概率为 1 1 2 ? ? ? P( =2)= 2 ? 3 3 9 ;
1 1 1 ? ? “ ? =4”是指两次取的卡片上都标着 2,其概率为 P( ? =4)= 3 3 9 。 则 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

4

5 9

1 9

2 9

1 9

5 1 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 1 9 9 9 (2)E ? = 0 ? 9 , 5 1 2 1 16 ? (1 ? 1) 2 ? ? (2 ? 1) 2 ? ? (4 ? 1) 2 ? ? 2 ? ( 0 ? 1 ) ? 9 9 9 9 9 D =
2 14. 解析: (1)由概率分布的性质有,0.12+0.18+0.20+0.20+100 a ? 3a ? 4a ? 1

∴ 100a ? 7a ? 0.3
2


2

1000 a 2 ? 70 a ? 3 ? 0, a ?

3 1 a?? 100 ,或 10 (舍去)

即 a ? 0.03

∴ 100a ? 3a ? 0.18,4a ? 0.12

∴ ? 的分布列为:

?
P

200 0.12

220 0.18

240 0.20

260 0.20

280 0.18

300 0.12

∴ E ? =200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km) D ? =502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964 (2)由已知? ? 3? ? 3(? ? 3, ? ? Z ) ∴ E? ? E (3? ? 3) ? 3E? ? 3 ? 3 ? 250 ? 3 ? 747(元) D? ? D(3? ? 3) ? 3 D ? =6723
2

=0.3。由题意, ? 有四个可能值 0,1,2,3。由于 A1,A2,A3 相互独立,可见 P( ? =0)=P( A1 A2 A3 )=0.9×0.8×0.7=0.504 P( ? ? 1 )=P( A1 A2 A3 )+ P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

15. 解析:设 A1={部件 i 需要调整}( i ? 1,2,3 ) ,则 P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)

? 0.1 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.9 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.398

P( ? ? 2 )=P( A1 A2 A3 )+ P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

? 0.1 ? 0.2 ? 0.7 ? 0.1 ? 0.8 ? 0.3 ? 0.9 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.092 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.1? 0.2 ? 0.3 ? 0.006 ∴ E? ? 1? 0.398? 2 ? 0.092? 3 ? 0.006 ? 0.6

D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? 1? 0.398? 4 ? 0.092? 9 ? 0.006? 0.6 2 ? 0.82 ? 0.36 ? 0.46


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