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2017届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.1 随机事件的概率课件 文


第九章





第一节

随机事件的概率

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 式。

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概


率的意义,了解频率与概率的区别; 2. 了解两个互斥事件的概率加法公

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.概率
(1)在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率 稳定性 。我们把 会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有________

P(A) 。 概率 ,记作______ 这个常数叫做随机事件A的_______
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,但频率是随机的,而 概率 是一个确定的值,因此,人们用_______ 概率 来反映随机事件发生的可 ______ 频率 作为随机事件概率的估计值。 能性的大小,有时也用_______ (3)概率的几个基本性质 0≤P(A)≤1 ①概率的取值范围:______________ 。 1。 ②必然事件的概率:P(A)=___ 0 。 ③不可能事件的概率:P(A)=___

2.互斥事件和对立事件 事件 定义 性质

P(A)+P(B) ,(事 P(A+B)=____________
互斥 在一个随机试验中,我们把一 次试验下不能____________ 同时发生 的 件A,B是互斥事件);P(A1+A2 +?+An)= P (A1)+P(A2)+?+P(An) 事件 ______________________( A1,A2,?,An任意两个互斥) 在一个随机试验中,两个试验 对立 事件 不会______ 同时 发生,并且一定 _________ 有一个 发生的事件A和 A 称 为对立事件 P( )=____________ 1-P(A) A

事件

两个事件A与B称作互斥事件

基 础 自 测
[判一判] (1)事件发生的频率与概率是相同的。( × ) 解析 定的数值。 (2)随机事件和随机试验是一回事。( × ) 错误。频率是在相同的条件下重复n次试验,频数与试验次数的

比值,它是概率的一个近似值,频率是随机的,概率是一个客观存在的确

解析
试验。

错误。在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事

件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果无法确定,叫做随机

(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值。( √ ) 解析 正确。由概率的定义可知,在大量重复试验中,概率是频率的
稳定值。

(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生。( √

) )

解析 正确。两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生。 (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件。( √ 解析 正确。由对立事件和互斥事件的定义可知,对立事件一定是互

斥事件,互斥事件不一定是对立事件。

[练一练]
1.下列事件中,随机事件的个数为( ) ①物体在只受重力的作用下会自由下落;

②方程x2+2x+8=0有两个实根;
③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次; ④下周六会下雨。 A .1 C.3 B.2 D.4

解析 ①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件。
答案 B

2.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么互斥而不对立 的事件是( ) A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 解析 对于A中的两个事件不互斥,对于 B中的两个事件互斥且对

立,对于C中的两个事件不互斥,对于D中的两个事件互斥而不对立。
答案 D

3.(2016·安徽合肥模拟)从一箱产品中随机抽取一件,设事件A={抽 到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)= 0.7,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )

A.0.7
C.0.1

B.0.2
D.0.3

解析

∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,事

件A={抽到一等品},P(A)=0.7, ∴“抽到的不是一等品”的概率是1-0.7=0.3。

答案 D

4.抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为出现奇数点,事件 B 1 1 为出现 2 点,已知 P(A) = , P(B) = ,则出现奇数点或 2 点的概率为 2 6 2 3 ________ 。
解析 出现奇数点或 2 点的事件为 A+B,且 A 与 B 为互斥事件, 1 1 2 ∴P(A+B)= P(A)+P(B)= + = 。 2 6 3

5.给出下列三个命题: ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是 次品;
解析 错,不一定是 10 件次品;
3 ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ; 7 3 解析 错, 是频率而非概率; 7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。其中错误的命

3 题有________ 个。
解析 错,频率不等于概率,这是两个不同的概念。

R

热点命题

深度剖析

考点一 随机事件的频率与概率
【例1】 (2015·陕西卷)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天

气情况进行统计,结果如下: 日 期 天 气 日 期 天 气 1 晴 16 晴 2 雨 17 阴 3 阴 18 雨 4 阴 19 阴 5 阴 20 阴 6 雨 21 晴 7 阴 22 阴 8 晴 23 晴 9 晴 24 晴 10 晴 25 晴 11 阴 26 阴 12 晴 27 晴 13 晴 28 晴 14 晴 29 晴 15 晴 30 雨

(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
【解】 在容量为 30 的样本中, 不下雨的天数是 26, 以频率估计概率, 13 4 月份任选一天,西安市不下雨的概率为 。 15 (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估

计运动会期间不下雨的概率。
【解】 称相邻的两个日期为“互邻日期”(如,1 日与 2 日,2 日与 3 日等)。这样,在 4 月份中,前一天为晴天的互邻日期对有 16 个,其中后 7 一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次日不下雨的频率为 。以频率估计概 8 7 率,运动会期间不下雨的概率为 。 8

【规律方法】
算的方法有:

求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数,计

(1)列举法;(2)列表法;(3)树状图。

变式训练 1

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相

等,为了解他们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个 进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
5+20 1 解 甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 = ,用频率估计概 100 4 1 率,所以,甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 。 4 (2) 这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200小时,试估计该产品是

甲品牌的概率。
解 根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品共有 75+70=145(个), 其中甲品牌产品是 75 个,所以在样本中,寿命大于 200 小时的产品是 75 15 甲品牌的频率是 = ,用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产 145 29 15 品是甲品牌的概率为 。 29

考点二 随机事件的关系
【例2】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件:某小组有 3

名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生; 【解】 是互斥事件,不是对立事件。

“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,与“恰有两名
男生”不可能同时发生,所以是互斥事件,不是对立事件。 (2)至少有1名男生和至少有1名女生;

【解】 不是互斥事件,也不是对立事件。
“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两 种结果, “至少有 1 名女生 ”包括 “ 1 名女生和 1 名男生 ”与 “两名都是女 生”两种结果,它们可能同时发生。

(3)至少有1名男生和全是女生。 【解】 是互斥事件且是对立事件。 “至少有 1 名男生 ”,即“选出的两人不全是女生 ”,它与“全是女 生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件。 ∴两个事件互斥且对立。

【规律方法】 事件间关系的判断方法

对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生
外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时, 可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给

事件的关系。

变式训练2

下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:“两次出现

正面”,事件N:“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件;
②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件; ③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件;

④若事件A与B互为对立事件,则事件A+B为必然事件。其中真命题是
( ) A.①②④ B.②④

C.③④

D.①②

解析

对①,将一枚硬币抛两次,共出现 { 正,正 } , { 正,反 } ,

{反,正},{反,反}四种结果,则事件M与N是互斥事件,但不是对立
事件,故①错。对②,对立事件首先是互斥事件,故②正确。对③,互 斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错。对④,事件A、B

为对立事件,则在一次试验中A、B一定有一个要发生,故④正确。
答案 B

考点三

互斥事件、对立事件的概率

【例 3】 (1)(2015· 昆明调研)从 3 个红球、 2 个白球中随机取出 2 个球, 则取出的 2 个球不全是红球的概率是( 1 A. 10 C. 7 10 3 B. 10 D. 3 5 )

3 【解析】 “取出的 2 个球全是红球”记为事件 A,则 P(A)= 。 10 因为“取出的 2 个球不全是红球”为事件 A 的对立事件,所以其概率为 3 7 - P( A )=1-P(A)=1- = 。 10 10 【答案】 C

(2)(2015·洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应
的概率如下: 排队人数 概率 【解】 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及5人以上 0.04

求:①至多2人排队等候的概率是多少? 记“无人排队等候 ”为事件 A,“1人排队等候 ”为事件B,

“2人排队等候”为事件 C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”
为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E, F互斥。

记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+
B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56。

②至少3人排队等候的概率是多少? 【解】 记“无人排队等候 ”为事件 A,“1人排队等候 ”为事件B,

“2人排队等候”为事件 C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候” 为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E, F互斥。 解法一:记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ,则 H = D + E + F ,所以 P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44。 解法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G, 所以P(H)=1-P(G)=0.44。

【规律方法】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: 一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概 率的和,运用互斥事件的求和公式计算。 二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A) = 1 - P(),即运用逆向思维 (正难则反),特别是“至多”,“至少”型题目,用 间接求法就显得较简便。

变式训练 3

(2016·北京模拟 )有编号为1,2,3的三个白球,编号4,5,6 的

三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球。 (1)求取得的两个球颜色相同的概率; 解 从六个球中取出两个球的所有结果有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个。

记事件 A 为 “取出的两个球是白球”,则这个事件包含的可能结果是 3 1 (1,2),(1,3),(2,3), 共计 3 个, 故 P(A)= = ; 记“取出的两个球是黑球” 15 5 1 为事件 B,同理可得 P(B)= 。 5

记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同”,A,B 互斥,根据互斥事件 的概率加法公式, 2 得 P(C)= P(A+B)= P(A)+ P(B)= 。 5

(2)求取得的两个球颜色不相同的概率。

解 从六个球中取出两个球的所有结果有:
(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个。
记事件 D 为“取出的两个球的颜色不相同”,则事件 C,D 对立,根 2 3 据对立事件概率之间的关系,得 P(D)=1- P(C)=1- = 。 5 5

S

思想方法

感悟提升

⊙1个区别——频率与概率的区别 频率与概率有本质的区别。频率随着试验次数的改变而发生变化,概 率是大量随机事件现象的客观规律,是一个常数。 ⊙2个注意点——求概率问题时应注意的两点 (1)正确认识互斥事件与对立事件的关系;对立事件是互斥事件,是互

斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的
必要不充分条件。 (2)需准确理解题意,特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等

语句的含义。


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