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圆锥曲线基础练习--教师用


圆锥曲线基础练习
一.基础训练 1.已知椭圆的方程为 2 x ? 3 y ? m(m ? 0) ,则此椭圆的离心率为(
2 2



(A)

1 3

(B)

3 3

(C)

2 2

(D)

1 2

2 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到 A(5,0)的距离为 3,则 M 到左焦点的距离等于( ) 9 16
C.8 D.9

A.6 B.7 【答案】D 【解析】

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 A(5,0) , F (?5, 0) ,故 | MF | ? | MA |? 6 ?| MF |? 9 ,选 9 16
2 2

3.经过圆 x ? y ? 2 y ? 0 的圆心 C ,且与直线 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 平行的直线方程为( A. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 2 ? 0



4 已知 M ( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的一点, 则直线 x0 x ? y0 y ? a 与
2 2 2

2

该圆的位置关系是 A、相切 B、相交
2

( C、相离
2 2



D、相切或相交
2 2 2

【解析】因 M ( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? a ( a ? 0) 内异于圆心的一点,故 x0 ? y0 ? a , 圆心 到 直线 x0 x ? y0 y ? a 的距离为 d ?
2

a2 x0 2 ? y0 2

?

a2 a

? a ,故直线与圆相离.


5.直线 y ? ? A.4

1 x 被圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 截得的弦长为( 2
C.6 D.8

B.5

1

6.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y ﹣6x﹣7=0 相切,则 p 的值为( A. B.1 C.2 D.4

2

2

2



【答案】C 【解析】抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为
2 2 2 2



因为抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x﹣3) +y =16 相切, 所以 7.若直线 x ? y ? 1? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是 ( )
2 2

A. [?3,?1]

B. [?3,1]

C. [?1,3]

D. (??,?3] ? [1,??)

8 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x﹣1 被圆 C 所截得的弦长 为 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为( ) A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x+y﹣2=0 D.x+y﹣3=0 【答案】A 【解析】设圆心坐标为(a,0) ,则 由直线 l:y=x﹣1 被该圆所截得的弦长为 2 得 +2=(a﹣1)2,解得

a=3 或﹣1, 又因为圆心在 x 轴的负半轴上,所以 a=﹣1,故圆心坐标为(﹣1,0) , ∵直线 l 的斜率为 1 ∴过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 y﹣0=﹣(x+1) ,即 x+y+1=0 故选 A. 二.能力训练

2

1. “m>2”是“直线 x ? my ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相交”的(
2 2



A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

2 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上一点, 若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9π ,则 p=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为 9π ,∴圆的半径为 3 ∴ ∴p=4 故选 B. 3.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =4x 的焦点,A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正方向的 夹角为 60°,则△OAF 的面积为( A. )
2

2

??? ?

3 B.2 2

C.

3

D. 1

3

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的有焦点与抛物线 y 2 ? ax 的焦点重合,则该抛物线的准线被双 4 5
) D.

曲线所截的线段长度为( A.4 【答案】B 【解析】 双曲线 程得 y ? ? B.5 C.

5 2

5 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(3,0),∴抛物线的准线为 x ? ?3 ,代入双曲线方 4 5

5 ,故所截线段长度为 5. 2
2

5.已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 7 9
2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
(D)32

轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? (A)4 【答案】D (B)8

(C)16

【解析】双曲线的右焦点为 (4, 0) ,抛物线的焦点为 (

p p , 0) ,所以 ? 4 ,即 p ? 8 。所以 2 2

y2 抛物线方程为 y ? 16 x ,焦点 F (4,0) ,准线方程 x ? ?4 ,即 K (?4, 0) ,设 A( , y ) , 16
2

过 A 做 AM 垂直于准线于 M,由抛物线的定义可知

AM ? AF ,所以 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即 AM ? MK ,所以
整理得 y ? 16 y ? 64 ? 0 ,即 ( y ? 8) ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以
2 2

y2 ? (?4) ? y , 16

S?AFK ?

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 D. 2 2

4

6.设 F1 ,F2 分别是双曲线

x2 y2 0 右焦点.若双曲线上存在 A, ?F1 AF2 ? 90 , 使 ? 2 ? 1 的左、 2 a b

且 | AF1 | =3 | AF2 | ,则双曲线的离心率为

A. 5

B.

15 2

C.

10 2

D.

5 2

7.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线与 A,B 两点, a 2 b2
??? ??? ? ? ??? ?
2

若 FA ? 2FB , OB ? OA ? (OB) ,则双曲线的离心率为( A.

??? ?

??? ?



2

B.

3

C. 2

D.

5

【答案】C

8.已知 F1、 2 为双曲线 C: ﹣y =1 的左、 F x 右焦点, P 在 C 上, 1PF2=60°, 点 ∠F 则|PF1|?|PF2|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】法 1.由余弦定理得 cos∠F1PF2=

2

2

∴|PF1|?|PF2|=4

5

法 2; 由焦点三角形面积公式得: ∴|PF1|?|PF2|=4; 故选 B. 9.如果双曲线 率为( A. ) B. C. D. (m>0,n>0)的渐近线方程渐近线为 y=± x,则双曲线的离心

10.已知 a>b>0, 1, 2 分别是圆锥曲线 e e 则 m 的取值范围是 .



的离心率, m=lne1+lne2, 设

11 已知

a2 b2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0, xy ? 0) ,则 2 ? 2 的最小值为 x y a2 b

6

【答案】4 【解析】

a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 a 2 y 2 b2 x2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? 1 ? ( 2 ? 2 )( 2 ? 2 ) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 4 x2 y x y x y a b b x a y

当且仅当 | x |?

a2 b2 2 2 a , | y |? b 时取等号,所以 2 ? 2 的最小值为 4 x y 2 2
2 2 2

12 过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x +y +kx+2y+k ﹣15=0 相切,则实数 k 的取值范围 是 .

13 若抛物线 y ? 2 x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3 , 则点 M 到该抛物线焦点的距离
2

为____ .

14 已知双曲线 C: 则满足条件的 l 的条数为

的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于两点 A、B,若|AB|=5, .

【答案】3 【解析】若 AB 都在右支 2 2 2 若 AB 垂直 x 轴,a =4,b =5,c =9,∴F(3,0) ,∴直线 AB 方程是 x=3

7

代入

,求得 y=± ,∴|AB|=5,满足题意;

若 A、B 分别在两支上,∵a=2,∴顶点距离=2+2=4<5,∴满足|AB|=5 的直线有两条, 且关于 x 轴对称 综上,一共有 3 条 故答案为:3

15 已知椭圆

的左焦点 F1,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在椭

圆的右准线上, 若 为 .

则椭圆的离心率

【答案】

【解析】∵椭圆

的左焦点 F1,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q

在椭圆的右准线上,

,∴PQ 平行于 x 轴,且 Q 点的横坐标为



又 ∠PF1O=2∠QF1O 令 P( ,y) ,Q( ,y) ,故

知 Q 点在∠PF1O 角平分线上,故有

=



8

3) 16 两圆相交于两点 (1, 和 (m,? 1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,且 m、c 均为实 数,则 m ? c ? . 【答案】3 3) 【解析】根据两圆相交的性质可知,两点 (1, 和 (m,? 1) 的中点 (
x ? y ? c ? 0 上,并且过两点的直线与 x ? y ? c ? 0 垂直,故有

1? m ,1) 在直线 2

?1 ? m ? 2 ?1 ? c ? 0 ? ,? m ? 5, c ? ?2,? m ? c ? 3. ? ? 3 ? (?1) ? 1 ? ?1 ? 1? m ?
17 若点 O 和点 F(-2,0)分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 )的中心和左焦点,点 P 为双曲 2 a

线右支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 A.[ 3 ? 2 3 ,+∞) B.[ 3 ? 2 3 ,+ ∞) C.[-

??? ??? ? ?

7 ,+∞) 4

D.[

7 ,+ ∞) 4

9

18 过双曲线 C:

(a>0,b>0)的一个焦点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线, ) D.

若垂足恰好在线段 OF 的垂直平分线,则双曲线 C 的离心率是( A. B. C.2

【答案】D 【解析】∵ ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,

∵过其焦点 F(c,0)的直线 l 与 y= x 垂直, ∴l 的方程为:y=﹣ (x﹣c) ,

∴由

得垂足的横坐标 x=

=

=



∵垂足恰好在线段 OF 的垂直平分线 x= 上, ∴ = ,



=2, .

∴双曲线 C 的离心率 e= 故选 D.
2

19 已知点 P( x0 , y0 ) , 0: x ? y ? r (r ? 0) ,直线 l:x0 x ? y0 y ? r , 圆 有以下几个结论:
2 2
2

①若点 P 在圆 O 上,则直线 l 与圆 O 相切;②若点 P 在圆 O 外,则直线 l 与圆 O 相离;③若 点 P 在圆 O 内,则直线 l 与圆 O 相交;④无论点 P 在何处,直线 l 与圆 O 恒相切,其中正确 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

10

20 已知 F(c,0)是双曲线

的右焦点,若双曲线 C 的渐

近线与圆

相切,则双曲线 C 的离心率为



三提高训练 1.如图,椭圆的中心在坐标原点 0,顶点分别是 A1, A2, B1, B2,焦点分别为 F1 ,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若 A. C 【答案】D. 【解析】易知直线 B2 A2 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 B1 F2 的方程为 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 B. D.

? 2ac b ? a ? c ? ? , bx ? cy ? bc ? 0 ,联立可得 P ? ? ,又 A2 ? a, 0 ? , B1 ? 0, ?b ? , ? a?c a?c ?

11

∴ PB1 ? ?

????

? ? ?2ac ?2ab ? ???? ? a ? a ? c ? ?b ? a ? c ? ? , , ?, ? , PA2 ? ? a?c ? ? a?c a?c ? ? a?c

???? ???? ? ?2a 2 c ? a ? c ? 2ab 2 ? a ? c ? ? ?0, ∵ ?B1 PA2 为钝角∴ PA2 ? PB1 ? 0 ,即 2 2 ?a ? c? ?a ? c?
?c? c 5 ?1 e? ? ? ? ?1 ? 0 2 2 2 2 a 2 或 化 简 得 b ? ac , a ? c ? ac , 故 ? a ? , 即 e ? e ?1 ? 0 ,
2

e?

? 5 ?1 5 ?1 ? e ?1 2 ,而 0 ? e ? 1,所以 2 .

2.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么双曲线的离心率是 A. B. C. ( )

2

3

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

3.设 A、B 为在双曲线 面 积的最小值为______

上两点,O 为坐标原点.若 OA 丄 OB,则Δ AOB

a 2b 2 【答案】 2 b ? a2
【解析】设直线 OA 的方程为 y ? kx ,则直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x, k

12

? y ? kx a 2b 2 a 2b 2 k 2 ? 2 则点 A ? x1 , y1 ? 满足 ? x 2 y 2 故 x1 ? 2 , , y12 ? 2 b ? a2k 2 b ? a2k 2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
∴ OA ? x ? y
2 2 1 2 1

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

b2 ? a 2 k 2
2 2 2

,同理 OB
2 2 2

2

?1 ? k ? a b ?
2

2 2

k 2b 2 ? a 2



故 OA ? OB
2

2

?1 ? k ? a b ? ?1 ? k ? a b ?
b2 ? a 2 k 2 k 2b 2 ? a 2

?

a 4b 4 ? a 2b 2 ? ? a 2 ? b 2 ? ?
2

?k

k2
2

? 1?

2



k2

?k
2

2

? 1?

2

?

1 1 ? (当且仅当 k ? ?1 时,取等号) 1 k2 ? 2 ? 2 4 k

∴ OA ? OB ?
2

4a 4b4

?b

2

? a2 ?

2

,又 b ? a ? 0 ,故 S?AOB ?

a 2b 2 1 . OA ? OB 的最小值为 2 b ? a2 2

4.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴端点的距离为 9,则椭圆 E 的离心率等于 .

0) 0) 5.在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点 (? 3 , ,( 3 , 的距离之和等于 4 , 设点 P
的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1,0) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明 理由.

13

解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 2 0) 0) 的椭圆.?????????????????????????????3 分 故曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ???????????????????5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. ???????????????????6 分 因为直线 l 过点 E (?1,0) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?

14

6 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 M (0,2) ,离心率 e ? . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过定点 N (2,0)的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,且 ?AOB 为锐角(其中

O 为坐标原点),求直线 l 斜率的取值范围.
解: (Ⅰ)由题意得 b ? 2,

c 6 ? a 3
2 2

结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12
2 2

x2 y2 ? ? 1. 所以,椭圆的方程为 12 4

7.一直线过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,且交抛物线于 A,B 两点,C 为抛物线准线的一 点. (1)求证:∠ACB 不可能是钝角; (2) 是否存在这样的点 C, 使得△ABC 为正三角形?若存在, 请求出点 C 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

2

15

解:设 直线 AB 方程为





,得:y ﹣2pty﹣p =0,

2

2

则 , ∴ ∴ 不可能为钝角,



故∠ACB 不可能是钝角 (2)假设存在点 C,使得△ABC 为正三角形

x2 y 2 l:x? M: 2? ?1 a ? 2 F1 , a 2 8设椭圆 的右焦点为 直线 ???? ???? OF1 ? 2 F1 A (其中 O 为坐标原点) .

?

?

a2 a 2 ? 2 与 x 轴交于点 A , 若

(1)求椭圆 M 的方程;

16

(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆

N : x 2 ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直径( E 、
2

F 为直径的两个端点) PE ? PF 的最大值. ,求
a2 a2 ? 2

A(
解: (1)由题设知,

, 0)


F1

?

a2 ? 2 , 0

? ,????????????1分



???? ???? OF1 ? 2 AF1 ? 0
2

? a2 ? a 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? 2 ? ? 2 ? ? a ?2 ? ,??????????3分 ,得

解得 a ? 6 .

所以椭圆 M 的方程为

M:

x2 y2 ? ?1 6 2 .???????????4分

方法2:设点

E ( x1 ,1 ) , ( x2 , 2 ), P( x0 , 0 ) y F y y



? x2 ? ? x1 , ? y ? 4 ? y1. 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ? 2 ???????????????6分 ??? ??? ? ? PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )
所以 ?????????????7分

17

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0
2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 )

.???????????????9分

因为点 E 在圆 N 上,所以

x12 ? ( y1 ? 2)2 ? 1

,即

x12 ? y12 ? 4 y1 ? ?3

.??????10分

2 2 x0 y0 ? ?1 2 x 2 ? 6 ? 3 y0 2 因为点 P 在椭圆 M 上,所以 6 ,即 0 .??????????11分

??? ??? ? ? 2 2 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1) ? 11.??????????????12分 所以 ??? ??? ? ? PE ? PF ? 11 y0 ? [? 2 , 2] y0 ? ?1 min
因为 ,所以当 时,

?

?

.?????????14分

因为

y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11.?????11分

?x ? 0 ? 2 x ? ( y ? 2) 2 ? 1 ②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ? ,解得 y ? 1 或

y ? 3.
不妨设,

E ? 0 ,? 3



F ? 0 ,? 1



????????????????12分

18

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点
2 2

P ? x0 , 0 ? y



x0 y ? 0 ?1 2 2 x ? 6 ? 3 y0 2 所以 6 ,即 0 . ??? ? ??? ? PE ? ? ? x0 , ? y0 ? PF ? ? ? x0 ,? y0 ? 3 1
所以 所以 因为 ,

. .

??? ??? ? ? PE ? PF ? x0 2 ? y0 2 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ? 1) 2 ? 11
y0 ? ? ? 2 , 2 ? ? ?
,所以当

y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值11

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11

9 如图 5, 已知抛物线 P : y

2

? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,

uur uur uuu u r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值. (本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与 方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 M

? x, y ? , A ? y , y ? , B ? y , y ? ,
2 1 1 2 2 2

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点.
2 y 2 ? y2 x ? 1 ? ∴ 2

??? ?

??? ?

????

?y

1

? y2 ? ? 2 y1 y2
2

2

,①

y ?

y1 ? y2 . 2
∴ OA ? OB ? 0 .



∵ OA ? OB ,
2 2

??? ??? ? ?

∴ y1 y2 ? y1 y2 ? 0 . 依题意知 y1 y2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1 . ③

19

把②、③代入①得: x ?

1 4 y2 ? 2 2 ,即 y ? ? x ? 1? . 2 2
轨 迹 方 程 为





M



y2 ?

1 ? x ? 1? 2

.

y

解法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k ,
M

A

C x

1 由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ? . k
????? 1 分 故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ?

O

B

1 x. k

由?

? y ? kx, ? y ? x.
2

消去 y ,得 k x ? x ? 0 .
2 2

解得 x ? 0 或 x ?

1 . k2

????? 2 分

∴点 A 的坐标为 ?

? 1 1? , ?. 2 ?k k?

????? 3 分

2 同理得点 B 的坐标为 k ,? k .

?

?

????? 4 分

∵ OA ? OB ? OC ,

??? ?

??? ?

????

20

∴ M 是线段 AB 的中点.

????? 5 分

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?
1 k2

? 1 ? ?1? ? 2? ?? ? ? ?k ? ?k?

2

2

? k ? ? ? ?k ?
2 2

2

????? 9 分

?

2 ? k2 ?

????? 10 分

?

2 ? 2 k2 ?

1 k2

????? 11 分 ????? 12 分

? 2.
当且仅当 k
2

?

1 2 ,即 k ? 1 时,等号成立. 2 k

????? 13 分 ????? 14 分

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 .
2 2 2 2

10 已知两圆 C1 : x ? y ? 2 y ? 0, C2 : x ? ( y ? 1) ? 4 的圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个动 点,且直线 PC1 , PC2 的斜率之积为 ?

1 2

(1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2,0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同 的两点 C、D,使得 | C1C |?| C1 D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (0,1), 和 C2 (0, ?1) (1 分)

21

设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则直线 PC1 , PC2 的斜率分别为

y ?1 y ?1 ( x ? 0) 和 ( x ? 0) x x
由条件得

(3 分)

x2 y ?1 y ? 1 1 ? ? ? ( x ? 0) ,即 ? y 2 ? 1( x ? 0) 2 x x 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 2
(6 分)

所以动点 P 的轨迹 M 的方程为 注:无“ x ? 0 ”扣 1 分

(2) 假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(2,0) 在椭圆 M 的外部, 当直线 l 的斜率不存 在时,直线 l 与椭圆 M 无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k , 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) (7 分)

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?

22

11 已知 F (1, 0), P 是平 面上一动点 , P 到直线 l : x ? ?1 上 的射影 为点 N , 且满 足

???? 1 ???? ???? ( PN ? NF ) ? NF ? 0 2 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程;
(Ⅱ)过点 M (1, 2)作曲线 C 的两条弦 MA, MB , 设 MA, MB 所在直线的斜率分别为

k1 ,k2 , 当 k1 ,k2 变化且满足 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点坐标.

23

12 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, a 2 b2

椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P , PF ? (1)求椭圆 C1 的方程;

5 . 3

(2) 若过点 A ? ?1, 0 ? 的直线与椭圆 C1 相交于 M 、 N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立的 动点 R 的轨迹方程; (3) 若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 x ? 1

???? ??? ? ?

??? ?

?

?

2

? y 2 ? 1 上的动点,求 RT 的最大值.

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与 转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

24

解法 2: 抛物线 C2 : y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1, 0 ? ,
2

设点 P 的坐标为 x0 , y0 , x0 ? 0, y0 ? 0 . ∵ PF ?

?

?

5 , 3

∴ x0 ? 1

?

?

2

2 ? y0 ?

25 . 9
2



∵点 P 在抛物线 C2 : y ? 4 x 上, ∴ y0 ? 4 x0 .
2



解①②得 x0 ?

2 6 2 , y0 ? . 3 3
?2 2 6? ?3, 3 ?. ? ? ?

∴点 P 的坐标为 ?

25

∵点 P 在椭圆 C1 :
2

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2
2 2 2



4 8 ? 2 ? 1. 2 9a 3b

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 , 解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

∴椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

设 FR 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ?

? x ?1 y ? , ?. ? 2 2?

∵ M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,

∴ kMN

y y ?y y 2 ? k AQ , 即 1 2 ? . ? x1 ? x2 x ? 1 ? 1 x ? 3 2
3 ? x ? 1? y ?? , x?3 4y

把④式代入③式,得

26

化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

?

?

????? 9 分

当 x1 ? x2 时,可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上.
2 2

?

?

∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

?

?

????? 10 分

∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∴ x ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

???? ??? ? ?

??? ?

8k 2 3 ? 4k 2

2

y ?

6k . 3 ? 4k 2




① ? ②得 k ? ?

3 ? x ? 1? 4y
2

把③代入②化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 . (*) 当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x ? ?1, 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上.
2 2

?

?

?

?

27

∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

?

?

????? 10 分

13 若 A 、B 是抛物线 y ? 4 x 上的不同两点, AB(不平行于 y 轴) 弦 的垂直平分线与 x 轴
2

相交于点 P ,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.; (I)求点 P (4,0) 的“相关弦”的中点的横坐标; (II)求点 P (4,0) 的所有“相关弦”的弦长的最大值。 【解析】 (I)设 AB 为点 P (4,0) 的任意一条“相关弦”,且点 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则
2 y12 ? 4x1 , y 2 ? 4x 2

弦 AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y 2 x ? x2 x ? x2 ?? 1 (x ? 1 ), 2 y1 ? y 2 2

由题它与 x 轴相交于点 P (4,0) 令y ?0? 4?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 2 x1 ? x 2 2

所以, 4 ?

4( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 x ? x2 x ? x2 ? ? 4 ? 2? 1 ? 1 ?2 2( x1 ? x 2 ) 2 2 2

28

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