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集合的含义与表示


第一章 集 合
1.1 集合的概念
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创设情景
问题

兴趣导入

某商店进了一批货,包括:面包、饼干、汉堡、彩笔、

水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子. 那么如何将这些商品放在指定的篮筐里: 食品篮筐 文具篮筐 . .


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动脑思考
集合与元素

探索新知

把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 一般地,我们把研究对象统称为元素.

一般采用大写英文字母 A,B,C?表示集合, .

小写英文字母a,b,c? 表示集合的元素.

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动脑思考
集合的类型

探索新知

解集 A E B 有限集、无限集

空集

集合 关 注
数集 D C

平面点集

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常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 N*或N+ Z 符号 N 有理数集 Q 实数集

R

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动脑思考
元素的性质

探索新知

确定性

无序性

互异性

一个给定的 集合中的元 素必须是确 定的
.

不能确定的对象,不能组成集合 一个给定的 一个给定的
例1 判断下列对象是否可以组成集合: 集合中的元 集合中的元 (1)素都是互不 小于10的自然数; 素排列无顺 (2)某班个子高的同学; 序 相同的 (3) 方程x2-1=0的解; (4)不等式x-2>0的解.

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动脑思考
元素与集合的关系

探索新知

元素与集合

a是集合A中的元 素,
.

a不是集合A中的 元素,

记作:a∈A, 读作:a属于A.

记作:a

A, ?

读作:a不属于A.

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巩固知识 典型例题

用符号“? ”或“? ”填空: 0

?
2?

N;

0.6

?

Z;
R.

N ;

*

π

?

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创设情景

兴趣导入

问题 不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素?
小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?

只有0、1、2、3、4、5这6个元素 元素是可以一一列举的

元素有无穷多个,特征: (1) 集合的元素都是实数; (2)集合的元素都小于5.
元素无法一一列举但特征明显
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动脑思考

探索新知

列举法.把集合的元素一一列举出来,写在大括号 1 内,元素之间用逗号隔开 .

{a1, a2 , a3 , , an}

描述法.大括号内画一条竖线,竖线的左侧为集合 2

.

的代表元素,竖线的右侧为元素所具有的特征性质.

{x ? I | p( x)}
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动脑思考

探索新知

问题 不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素?
小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?

列举法{0,1,2,3,4,5}
元素是可以一一列举的

描述法 {x |

x ? 5, x ? R}

元素无法一一列举但特征明显
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巩固知识 典型例题

例2 用列举法表示下列集合: ⑴ 大于-4且小于12的全体偶数;
2 x ? 5 x ? 6 ? 0的解集. ⑵ 方程

分析

这两个集合都是有限集.
.

{-2,0,2,4,6,8,10}; (1)题的元素可以直接列举出来;
{-1,6}. (2)题的元素需要解方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 得到.
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巩固知识 典型例题
例 3 用描述法表示下列各集合: (1)不等式 2 x ? 1 ? 0 的解集; (2)所有奇数组成的集合;
? 1? ?x x ? ? ? 2? ?

?x x ? 2k ? 1, k ? Z?

?? x, y ? x ? 0, y ? 0? (3)由第一象限所有的点组成的集合.
.

分析 用描述法表示集合关键是找出元素的特征性质. (1)解不等式就可以得到不等式解集元素的特征性质; (2)特征性质是“元素都能写成 2k ? 1(k ? Z) 的形式” . (3)特征性质是“为第一象限的点” ,即横坐标与纵坐标都为正数.
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理论升华 整体建构
1 集合的表示有哪几种方法?各自有什么特点?

2

如何选择集合的表示法?
列举法、描述法.
用列举法表示集合,元素清晰明了; 用描述法表示集合,特征性质直观明确; 表示集合时,要针对实际情况,选用合适的方法. 例如,不等式(组)的解集,一般采用描述法来表示, 方程(组)的解集,一般采用列举法来表示
.

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巩固知识 典型例题
例4 用适当的方法表示下列集合: (1)方程x+5=0的解集; (2)不等式3x-7>5的解集;

解 {-5}
解 {x|x>4}

(3)大于3且小于 11的偶数组成的集合; 解 {4,6,8,10} .
(4)不大于5的所有实数组成的集合;解 {x|x≤5}

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例5:已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,求a. [思路点拨] 分别令a-2=-3,2a2+5a=-3求出a的值,注意检验 元素的互异性. [课堂笔记] ∵-3∈A,则-3=a-2或-3=2a2+5a, ∴a=-1或a=- 当a=-
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. ,2a2+5a=-3,∴a=-

当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,∴a=-1舍去;
时,a-2=- .

练习: 1. 已知x ?{1,0, x},则x ? _______
2

解: x 2 ?{1, 0, x}

? x 2 =1或x 2 =0或x 2 =x

解得x= ? 1,或x=0 但当x ? 0或x ? 1时,不满足元素的互异性 ? x ? ?1

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总结

?重点:元素与集合的关系(属于,不属于) 集合的表示方法(列举法,描述法) ?难点:元素的3个特性(确定性,互异性,无序性) ?易错点:忘记检验元素的互异性

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