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一类不等式竞赛题的统一证法


福建 中学数 学   2 0 1 3 年第 1 期  ㈤ m a x =1 +   =   ,   由 均 值 不 等 式 知 3  + 1 ≥ 2 √ 3   ?   + 1 : 3 ,   ? ? 解得 k:一 7 或k =3.   ?  ≤  ,   变式 2若函数 _ 厂 (   ) =   为  (   ≠ 。 ) 的值域  - . 为 M ,且 区 间 ( 1 , 6 】  M ,   则 实 数 k的 取 值 范 围  . 当 尼> 1 时,1 </ (   ) ≤l +   ;   箍  +  + 2 x     4  。   2 k . - 4 2 . 一 ' , ’   当k :1 时,f ( x ) =1 ;   当  <1 时 ,l +   厂(   ) <l,   . 由 均 值 不 等 式 , 知   2 + 砉 + 2 ≥ 2 √   2 ?   + 2 = 6 ,   ? ? ? 若 对任 意 的实数  , X   , X , ,均存 在 以 f ( x . ) ,   . f ( x   ) , f ( x , ) 为 三边 长 的三角 形 .   不妨设 l 厂 (  ) 是 f( x   ) ,   厂 (  ) ,   ) 的最大值 ,   贝 0 . f ( x , ) + l 厂 (  ) >. 厂 (  ) 恒成立 .   。<   1   1 ,   当  >1 时,. . . 1 <_ / ‘ (   )  1 +   ? . . ,   当. j } >2时 , 1 < . 厂 (   )  1 +   ;   若对 任 意 的实数  。 , X   , X   ,   要使 f ( x . ) +f ( x   ) > f ( x 3 ) 成立 ,   只需 厂 (  ) +  (  ) > 2 ≥1 +   解得 1 <k≤ 4;   当 k=1 时,f ( x ) =1 ,   ≥  (  ) ,   当k =2时 , f ( x ) =1 ;   当七 <2时 , 1 +   O   / (   ) <l ,   ≠。 ) 的值 域为  , 且  因函数 _ 厂 (   ) :   区问 ( 1 , 6 ]   M ,必 有 k 一 2 >0,即 函数 f( x ) =   0 ) 的值 域为 M _( 1 ’ l +   . . . 这时 _ 厂 (  ) +f ( X z ) >f ( x 3 ) 显然 成立 ;   当  <1 时,1 +   / (   ) <1 ,   ] ,   ( 1 , 6 ]   , . . . 1 +   三   6 , 解 得 尼 ≥ 3 2 ,   ,若对任意  则实数 k的取 值 范 围为 [ 3 2 , + ∞) .   若对任意的实数  , x : , X , ,   要使 f( x , ) + f( x   ) >f ( x   ) 成立 ,   变式 3 已知函数 _ 厂 ( x ) =   只需- 厂 (   ) + _ 厂 (  )  2 + 丝  解得 一   尼<一 .   1 > / (  ) ,   的实 数 X 1 , X   , X 3 ,均 存在 以 f( x   ) , f ( x   ) , f ( x 3 ) 为 三  边长的三角形 ,则实数 k 的取值范围为— — .   =   ,   综 上可 得 ,实数 k的取值 范 围为 [

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