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放缩法


放缩法及其应用 一、引言
放缩法 是一种 解决数列与不等式有关的问题,函数的最值问题,以及极限 问题的非常重要的 方法 , 是不等式变形的重要 依据。它不仅在高中使用频率 极高,在大学也常被使用。因其灵活多变,学生常常感到力不从心,不知该如何 下手。本文就放缩法的七种形式展开,希望能让广大读者,尤其是刚接触微积分 极限问题的学生对 放缩法 有一个系统的认识。

二、放缩法及其各种方式
所谓放缩法即如果想要证明变量 A 大于变量 B , 则通过将 A 缩小到一定程度 或将 B 扩大到一定程度 而达到证明的目的的方法。能正确运用放缩法的关键 就是找到能实现不等关系的“媒介”―放缩量。想要实现这一步就需要我们掌握 对待不同问题的方法。 ㈠添上或舍弃一些项 要解决一个与不等式相关的问题,我们可以根据多项式中部分项的性质进 行放大或缩小, 添上或舍弃一些不予考虑的项即可实现合理放缩,达到我们解题 的目的。这种放缩方法是 最为简单的一种放缩法 . a ? a2 ? ? ? an n ? 4 n ? 5 2n ? 11 例 1.已知数列 ?a n ? , an ? ,求证 1 ?4 ? ? n n?3 n?4 n?5 解:由题意易知 n?4 1 n?5 1 2n ? 11 1 ? 1? ? 1? ? 2? , , n?3 n?3 n?4 n?4 n?5 n?5 1 1 1 ?0, ? 0, ?0 又? n?3 n?4 n?5 1 1 1 ? an ? 4 ? ? ? ?4 n?3 n?4 n?5 故 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 4n
? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?4 n

解析﹕因为是 a n 假分数的形式,所以我们将 a n 的形式进行化解,化解后发现整 数部分加起来刚好是 4,而分式部分都是正数。故我们可以舍弃所有分式实现放 缩,同理我们也可以添上一些项,实现放缩。 ㈡分式放缩 在许多分子或分母含有字母的分式中,我们将 分母进行增大和缩小, 将分子
进行增大或缩小,或将 分子分母同时进行增大 或缩小 的方法是常用的分式放缩

1

法。 其最常见的形式是将多个形式类似的分式放大或缩小成同一个形式,实现多 项式的整合从而方便计算。 分式放缩同添减项一样,都是比较容易掌握的放缩方 式。 3 4 5 142 例 2.求方程 ? 有无正整数解,若有是多少? ? ? n n ? 1 n ? 2 41 解:由题意可知: 4 4 4 5 5 3 3 ? ? , ? ? , n ? 2 n ?1 n n?2 n n?2 n 3? 4?5 3 4 5 3? 4?5 即 ? ? ? ? n?2 n n ?1 n ? 2 n 3 ? 4 ? 5 142 3 ? 4 ? 5 ? ? n?2 41 n 104 246 ?n? 故 因此 n ? 2 71 71 3 4 5 142 ? ? 把 n ? 2 代入原式可知 ? ,故原式无整数解。 n n ? 1 n ? 2 41 解析:对于这道题,如果我们用普通的方法去求 n 的准确值的话涉及到 n 3 ,计算 很繁琐而且很不方便,所以我们可以用放缩法将 n 卡在一个范围内,将范围内的 值代入检验即可。 对于此题我们是将分母进行了增大和缩小。对于其他的一些分 式问题我们也可以将分子进行增大和缩小,或将分子分母同时增大同时缩小,即 a a?m (a ? b) 形式。我们生活中俗称的“糖水加糖,甜更甜”就可以 典型的 ? b b?m 用这种放缩原理来解释, 分式放缩是放缩过程中经常要用到的一种放缩方法,如 遇到以下情况也常用放缩法﹕
①设 T ?

1 1 1 1 ? ?? ? 1979 1980 1991

,则 T 的整数部分可能是多少?

1 1 1 1 ? 3 ? 3 ?? ? 4 ? 1 的正负状况? 3 3 3 ?1 3 ? 2 3 ?1 让我们再来看一个大学高等数学中的极限问题
②判断

1 1 1 ? ? 求 lim ? 2 ? 2 ??? 2 ? n ?? n ? n ? 1 n ?n?2 n ?n?n? ?

解:记 x n ?

1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ,则 n ? n ?1 n ? n ? 2 n ?n?n 1 ? 2 ??n 1? 2 ??n ? xn ? 2 2 n ? n ?1 n ?n?n
2
n ??

又 ? lim

2 ? n ? n+1?
2

n ? n ? 1?

? lim

n ??

2 ?n ? n ? n?
2

n ? n ? 1?

?

1 2

1 1 1 ? ? 1 故 lim ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?? n ?? n ? n ? 1 n ?n?2 n ?n?n? 2 ?
2

解析﹕在求极限的过程中经常通过放大缩小,然后再采用两边夹法则求出其极 限。 通过观察我们发现这道题和上一道例题有异曲同工之妙。虽然问题的类型不 同但它们使用的方式完全一样,我们要根据题的中心思想来正确的进行分式放 缩。放缩法在数列求极限的过程中经常被用到,其思想就是将数列进行放缩,在 我们没办法直接算出极限的情况下,放缩法是最有效的求极限的方法。 ㈢裂项放缩 多项式中有分式, 但用分式放缩法又无法实现合理的放缩,并且分母或分子 中含有平方项﹑立方项﹑平方根项或立方根项等情况时常用裂项放缩, 其中心思 想是转化为各项为分母的低次幂的和式或积式,化解后项数减少,从而得到放缩 结果。
1 ? 1 ? 1 1 例3.求证 lim ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? n ?? 2 4 n ? 4 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 1 解: ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? = lim ? 2 + 2 +? + 2 ? lim n ?? 2 4 n ? n?? ? 2 4 n ? ?

又?
?1 ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n?n ? 1? n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ? ?? ? ? ?1 2 2 2 3 n n 2 3 n

1 ? 1 ? 1 1 故 lim ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? , 结论得证 n ?? 2 4 n ? 4 ?

解析﹕从整体观察,我们发现题中都是分式的形式,但运用分式放缩—即放缩 分子分母又找不到放缩的范围,故可以在通项
1 上找切入点。我们可以很容 ?2n ?2

易知道 n ?1 ? n ? n ? 1 , n?n ? 1? ? n 2 ? n?n ? 1? ,故可从这个角度切入进行放缩,是 正整数变量 k 都可以思考将其放大到 k ? 1 ,或缩小到 k ? 1 得情况。涉及到 k 2 和
k 我们都要首先考虑裂项放缩的方法。
㈣运用重要不等式进行放缩

我们运用一些定理或运算法则可以得到一些比较常用的不等式结论。其中 均值不等式和绝对值不等式无论是在高中阶段还是大学阶段都非常重要。还有 一些其他不等式,如伯努力不等式,柯西不等式,排序不等式等也是比较常见 的。 ⑴用均值不等式 2 a?b ? ab 可以由 a ? b ? 0 推得, 均值不等式即 因此不等式适用于任何两个 2 正数, 所以其应用范围比较广。 均值不等式的运用是有关不等式的放缩中最常用 的一种放缩。 凡是在正数域上的放缩通常情况下先考虑均值不等式放缩。不会运

?

?

3

用放缩法就相当于舍弃了放缩法的“半壁江山” ,熟练掌握均值不等式的运用是 运用放缩法的第一步。 例 4.若 a , b 均为正数,且 log 5 a ? log 25 b ? 2 ,故请问你能求出 2 a ? 16 b 的最小值 吗?并写出求解过程。 解:由题意得:
log5 a ? 2 log 25 b ? 2

即 a b ? 52 ? 25

2 ? 16
a

b

? 2 ?2
a

4 b

? 2? 2

a?4 b

? 2? 2

25 ?4 b b

? 2 ? 22?

25?4

? 211 ? 2048

故 2 a ? 16 b 的最小值为 2048
a?b ? ab , 2 然后两次运用均值不等式进行放缩。本题中两次均值不等式都用的非常巧妙,均 值不等式的妙用在本题中得到了很好的展现。此均值不等式不仅对两个正数成

解析﹕先将本题形式进行化解,化解后发现可以采用均值不等式

立,对任意 n 个非负数 a1 、 a 2 ? a n ,都有

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 ? a 2 ? ? a n ,仅当 n

所有数相等时等式才成立,我们称这个等式为 AM ? GM 不等式。这个不等式有 广泛的应用。 1 1 1 例 5.证明 n?n ? 1? n ? n ? 1 ? ? ? ? 2 n 解析:当我们刚开始看到这样一个不等式时。我们发现它很复杂。我们先对这道 题进行分析 1 1 1 令 S ? 1 ? ? ? ? , 则需证 n?n ? 1?n ? n ? S 2 n 1 S ?1 ? n?n ? 1 ? 即 n
S 1?1?? ?1 ? ? n n 1? 1 1 ?1 ? 1? ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? 2? ? n? 2 n ? n n

1?

1 3 n ?1 n ? 1? ? 1? ? n ?1 ? 1? ? ?1 ? ? ?? ?1 ? ? ? n 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ?1 ? n ?n 2 n ? 2? ? n?

所以结论得证 n 此问题在解决与几何有关的问题时也常被使用。例如以下例题 例 6.已知直线 l 和圆 C:
x2 y2 ? ? 1 交于点 P ? x1 , y1 ? , Q?x2 , y2 ? 两个不同点,且直 3 2

?1 ? n?n ? 1 ? S 故
1

4

线 l 的斜率存在,?OPQ 的面积为
L ,求 OL ? PQ 的最大值。

6 ,其中 O 为坐标原点,设线段 PQ 的中点为 2

解:由题意知: m ? 0 ,将其代入

x2 y2 ? ? 1 ,得 3 2

?2 ? 3k ?x
2

2

? 6kmx ? 3 m 2 ? 2 ? 0 ,

?

?

其中 ? ? 36 k 2 m 2 ? 12?2 ? 3k 2 ??m 2 ? 2? ? 0 , 即 3k 2 ? 2 ? m2 , 又 x1 ? x2 ? ?
3?m 2 ? 2 ? 6km , x1 x2 ? , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

? PQ ? 1 ? k 2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
m

? 1? k 2 ?

2 6 ? 3k 2 ? 2 ? m 2 2 ? 3k 2

?点 O 到直线 l 的距离为 d ?

1? k 2



? S ?OPQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m 2 m PQ ? d ? 1? k 2 ? ? 2 2 2 2 ? 3k 2 3k
? 6 m 3k 2 ? 2 ? m 2 2 ? 3k 2

又 S ?OPQ ?

6 .整理得 3k 2 ? 2 ? 2m2 2

x1 ? x2 3k y ? y2 1 ?? ? , 1 2 2m 2 m
1? 1 ? ? 3k 1 ? , ? , OL ? ? 3 ? 2 ? 所以 L? 2? m ? ? 2m m ?

1 ? ? 俩点之间的距离 PQ 为 2? 2 ? 2 ? , m ? ?

1 1 ? ? ?3? 2 ? 2? 2 ? 1? 1 ? ? 1 ? ? m m ? ? 25 所以 OL ? PQ ? ? 3 ? 2 ? ? 2? 2 ? 2 ? ? ? 2? 2 4 m ? ? m ? ? ? ? ? ?
5

2

25 ,当且仅当 m ? ? 2 时等号成立 4 解析:这是 2011 年山东卷的高考压轴题的第二问,我们根据题设进行化解,解 出所求的两部分, 将它们相乘发现可以用到均值不等式,而且只有均值不等式才 能解出正确的答案,可见均值不等式的重要性。又再如 2011 年的新课标卷中 20 题,也同此题一样,在解题中巧妙的通过均值不等式得到所需要的结果。

故所求最大值为

⑵运用 a ? b ? a ? b ? a ? b

因为实数与数轴上的点一一对应, 所以我们根据数轴上两点之间的距离及它 们与原点之间的关系就可以得到 a ? b ? a ? b ? a ? b 。 因其中 a ,b 可以是任意 实数, 所以应用范围极广。 凡是与绝对值有关的多项式的放缩都应首先想到绝对 值不等式的放缩。 1 1 例 7.已知实数 x 、 y , 2 x ? y ? , 3x ? y ? .请问 y 的范围 5 7 解:由题意知 1 1 1 5 y ? 5 y ? 2 x ? y ? 3x ? y ? 2 x ? y ? 3x ? y ? ? ? 5 7 35 1 1 ? y ? ?5 ? 35 7 解析: 观察俩边的不等式, 将两项加减之后我们可以发现采用我们常用的不等式
a ? b ? a?b ? a ? b , 此不等式也是我们解决与绝对值有关不等式的重要法宝。

在高考题中出现的频率极高。高中生务必得谨记. ㈤采用二项式定理进行放缩 运用二项式定理将 ?1 ? n ? 展开, 其主要思路就是在展开式中筛选对解题有用
n

的项,舍弃对解题无用的项。 例 8.设 k ? ? , b ? 1 ,且 k ? 2 ,求证 解:令 t ? k b ? 1 ,即 b ? ?1 ? t ? 即求
t 1 ? , k ?1 ? t ? ? 1 k
k k

k

b ?1 1 ? b ?1 k

1 1 ? k ?1 ? t ? ? 1 k t

即 ?1 ? t ? ? 1 ? kt

?1 ? t ?k

1 1 ? 1 ? C k t ? C k2 t 2 ? ? ? C kk t k , 其中 1 ? Ck ? 1 ? k t

而 C k2 t 2 ? C k3 t 3 ? ? ? C kk t k ? 0 所以 ?1 ? t ? ? 1 ? kt
k

6

解析:观察此题,我们发现,需证的不等式形式很复杂。我们先将最复杂的那个 形式用另一个未知量替换,替换后转换。我们发现刚好可以用到二项式定理,然 后运用二项式定理 进行放缩。运用放缩主要是针对题设中存在的幂的情况。 n 例9.lim n ? 0 n ?? 2 解:由题意知 n?n ? 1? n 1 2 n 2 n ? ?1 ? 1? ? 1 ? C n ? C n ? ? ? C n ? 1 ? n ? ?? ?1 2 n?n ? 1? ? 2 n 2 其中 0 ? n ? 2 n ?1 2 又? lim ?0 n ?? n ? 1 n ? lim n ? 0 n ?? 2 解析:要证明此题,重点是对 2 n 进行放缩,多项式幂的形式可以用二项式定理 进行放缩,这种解法是解决此类题的技巧,是对例⒎的更巧妙的运用。为了适度 放 缩 必 须 在 展 开 式 中 选 择 适 合 的 项 , 像 此 题 中 若 选 择 n 或 n ?1 , 则 n n lim ? l i m? 会导致结果错误。所以作者首先得对要求的结果有一个大致的 1 n ?? n ? 1 n ?? n 致的估计。 ㈥换元放缩 当题中出现的字母比较多或者形式比较复杂时我们可以通过换元的方式使 原式的性质更明显的表现出来,进而方便计算。 1 1 1 例 10.已知 a ? b ? 0 ,求证 ? ? ?0 a ?b b?c c ?a 证明:? a ? b ? 0 故可设 a ? c ? t , b ? c ? u

?t ? u ? 0?

?t ? u ? 0 1 1 1 1 1 1 1 1 t ?u 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 a ?b b?c c ?a t ?u u t u t tu 1 1 1 ? ? ?0 即 a ?b b?c c ?a 解析:我们发现三个分式之间看似没有联系,无法用分式放缩和裂项放缩。所以 我们可以通过换元转化, 将原来特征不明显的多项式转化为特征明显,可以放缩 的多项式。本题中我们对变量 a , b 进行换元,换元后将正数项缩小,连续运用 俩次放缩即可得到我们所需要的结果。 ㈦运用函数性质进行放缩

函数的学习是我们整个课程学习中较难的一个环节,函数的内容细而多,且 用法巧妙,可以和方程不等式等其他数学知识相互转化,综合运用。就放缩的运

7

用而言, 运用函数性质进行放缩是不可或缺的。下面我们仅对 3 个主要方面—单 调性,凸函数性质,三角函数有界性进行说明。 ⑴、单调性 单调性是函数最基本的性质之一。在利用函数性质进行放缩的过程中,函数 的单调性是最常用的一种方式。 运用单调性进行放缩, 短点处的最大值或 最小 值即为 放缩的界 。在一般情况下,题设中不出现函数,我们也可以构造函数, 然后用函数的性质进行放缩。
? 1? ? 1? ? 1? 例 11.证明 ?1 ? 1? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2n ? 1 ? 3? ? 5? ? n?

?1 ? 1? ? ?1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?
解:令 Tn ?
? 3? ? 2n ? 1

1 ? ? 2n ? 1 ?

?

Tn ?1 ?1 Tn

即 Tn ?1 ? Tn

??Tn ? 单调递增且有 Tn ? T1 ?

2 3

? 1 故结论得证

解析:初看此题,我们发现运用前六种方法不太容易得到本题的放缩结果,所以 我们需要另谋新法-构造函数。 构造函数是本法的核心内容。将多项式问题 转化 为函数问题,运用函数的单调性,确定出函数最值 T1 ,并求出 T1 的值,则本题结 论得证。这种方法很巧妙。一旦想到可以构造函数,那么接下来的解题就是水到 渠成的事。所以读者一定要熟知这种思路,解题会有事半功倍的效果。 ⑵、凸函数的性质 凸函数作为一种特殊的函数,有许多特殊的性质。运用这些性质我们可以对 构造的函数进行放大和缩小,实现放缩的目的。在运用函数性质的过程中,有两 部分比较难解决。 第一部分即辨别是否为凸函数,第二部分即综合运用凸函数的 性质。 由于我们平日里对凸函数的运用较少,所以这种方法是不太容易被广大读 者熟悉掌握的。 例⒓证明如果 0 ? a, b, c ? 1, 那
a b c ? ? ? ?a ? 1? ? ?b ? 1? ? ?c ? 1? ? 1 b ? c ?1 c ? a ?1 a ? b ?1

8

解析: 很多同学看到这道题都无法下手,不知道想要等式左边的式子突破口在哪 里。我们发现面对这样的不等式,我们之前所研究的加减项,分式放缩,裂项放 缩,重要不等式放缩都不太好用,虽然都可以解出但都比较繁琐。在这样的情况 下学生们就得培养敏锐的洞察力和联想想象能力。试验用函数原理来解决这道 题。若我们令左边的多项式为 f ?a, b, c ? ,我们能发现 f 连续且对每一个变量 都 是凸的,即 固定 任意 两个变量 ,那么 f 是 第三个变量 的凸函数,故在端点处取 得最大值。8 个点 ??0,0,0?, ?0,0,1?,??1,1,1?? 当中, 每个点 的 f 值 都是1 .显然 f 在
0 ? a, b, c ? 1上 是连续的 。而有限个凸函数的和仍然是凸函数,所以 f 对每个 变

量都是凸函数 ,从而对 0 ? a, b, c ? 1,有 f ?a, b, c ? ? 1
⑶利用三角函数的有界性

对于任意的 x 均有 s inx ? 1 , cos x ? 1 。通过三角函数变换又可以得到
A sin??x ? ? ? ? A , A cos??x ? ? ? ? A ,对于此类三角函数我们均可以用其有界性

进行放缩。 例 13.已知 x 2 ? y 2 ? r 2

?r ? 0 ? ,求证 y ? tx

? t 1? a2

解:设 x ? r cos? , y ? r sin ? 则 y ? tx ? r cos? ? rt sin ? ? r cos? ? t sin ? ? r 1 ? t 2 sin?? ? ? ?
sin ? ?t cos ?

其中

因为 sin ?? ? ? ? ? 1

所以 y ? tx ? t 1 ? a 2

解析:观察此题,我们发现题中设及两个变量 x , y ,三个任意常量 a , t , r ,
x 2 ? y 2 ? r 2 ?r ? 0 ? 是圆的标准方程形式。 未知量多而关系式少很难下手, 故可引

入新的关系式 x ? r cos ? , y ? r sin ? 换元进行化解,发现设及某量的正弦值的绝

9

对值,然后运用三角函数的有界性进行放缩。 放缩的这七种形式经常被混合使用。如运用第五种放缩方法时,对二项式展 开后, 筛选对解题有用的项的过程实际已经用到了第一种放缩方法;在例 10 中, 运用第六种放缩方法的同时,实际已经用到了的一种放缩方式;在例 13 中其实 已经用到了第六种放缩方式换元放缩。所以大家需要多进项练习,从而熟练掌握 多种放缩方式。

三、适度放缩
在解答一道题时, 我们发现即便我们选择了正确的放缩方法,但是仍然不能 正确的解决,这就要求我们要学会适度放缩。 例 14.求证① 1 ?
②1 ?

1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ; 2 2 3 n 1 1 1 7 ? 2 ?? ? 2 ? ; 2 4 2 3 n 1 1 1 5 ? 2 ?? ? 2 ? ; 2 3 2 3 n

③1 ?

证明:①?

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n?n ? 1? n ? 1 n

?n ? 2 ?

?1 ?

1 1 1 1? 1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?1? ? 2 2 n 2 3 n ? 2? ? 2 3? ? n ?1 n ?
1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? 2 n n ?1 2 ? n ?1 n ? 1 ?

②?

?n ? 2 ?

?1 ?

1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? 2 3 n ? n ? 1 n ? 1 ??

1? 1 1 1 ? 1? 1? 7 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 n n ?1? 2? 2? 4 1 4 4 1 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2? ? ? 2 n 4n 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

③?

?n ? 2 ?

10

?1 ?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 1 ?? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 3 n ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ?? 3 5 ? ? 5 7 ?

1 ? 1 5 ?1 ? 1 ? 2? ? ? ? 1? 2? ? 3 3 ? 3 2n ? 1 ?

解析:本题分为 3 个小题,对同一个多项式进行了不同程度的放缩,所用的放缩 方法皆为裂项放缩, 但却是不同的裂项方式。 用③题的方法可以解决②题和①题, 但如果一开始想用①题的放缩方法实现②、 ③题的放缩或想用②题的放缩方法实 现③题的放缩都是不可能的, 都是错误的思路。所以我们不仅要根据题设选择正 确的放缩方法, 还要适度的放缩。 适度放缩是建立在勤思考, 多练习的基础上的。 所以面对这道题时, 我们可以试着用多种思路来解题, 看看能否得出不同的结论, 并思考其原因。长此以往,我们必能快速而准确的运用放缩法了。 四、小结 放缩法这种方法看似简单实则形式变化多端,有些题经常需要多种放缩方式 混合使用, 有些题则是某一种方法的具体使用。本文尽可能的对放缩法的绝大多 数形式进行了归纳, 能使读者系统的对放缩法进行了解,希望能使广大读者熟练 运用放缩法。

参考文献
[1]洛桑斯基.制胜数学奥林匹克[M].科学出版社,2003:85 [2]刘艳.放缩法在高考题中的应用[J].湖北广播电视大学学报,2008,9:143 [3]徐广华.放缩法证明数列不等式有法可依[J].中学教学研究,2011:29 [4]赵忠平.例说放缩法证明不等式常用放缩途径[J].上海中学教学,2012:44 [5]张徐生.放缩有度 顺应目标[J].数理化解题研究(数学篇),2007(8):8—9 [6]周永江.用放缩法巧解数学题[J].北京电力高等学校学报,2010:9

致谢
我于四月下旬开始写这篇论文, 刚开始因为对放缩法感兴趣就选 择了放缩法及其应用这样一个题目。 在后续的准备过程中通过图书馆 查资料和上网阅读也仅是形成了一个不太完整的轮廓。 在书写的过程
11

中困难重重,如对某些数学专业术语的翻译,对某些数学公式的编辑 等都让我的论文书写一度止步不前。到现在我的论文能够顺利完成, 少不了我的指导老师,同班同学的无私帮助。是他们的帮助让我能够 成功地完成这样一篇完整、规范论文的书写。 我要谢谢我的指导老师。在开题时,老师给了我 一个正确的思 路。在初稿书写完成后又一遍遍不厌其烦地帮我修改论文中的错误, 老师的指导犹如一盏明灯照亮了我的写作之路。 我要感谢我的室友和同班同学。帮助我修改了论文的格式,帮助 我对论文进行正确的表述, 我的计算机操作能力差帮我生成目录等都 让我由衷地表示感谢。

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