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辽宁省重点中学协作体2015年高考模拟考试数学(文)试题


辽宁省重点中学协作体 2015 年高考模拟考试

数学(文)试题
第I卷
一、选择题(本大魍共 1 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.设全集

2.如果复数

为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于

A.0 B.l C.2 D.3 3.已知平面 a 及空间中的任意一条直线 l 那么在平面 a 内一定存在直线 b 使得( ) A.lI//b B.l 与 b 相交 C.l 与 b 是异面直线 4.函数

D.l⊥b

所对应的图象向左平移 个单位后的图象与 y 轴距离最近的对称轴方程为

5.已知平面向量 A.2 B. C.4

( ) D.12

6.若对任意正数 x,不等式 小值为( )

恒成立,则实数 a 的最

7.某几何体的三视图如图所示,此几何体的表面积为( )

8.己知数列

·1 ·

9.定义在 R 上的奇函数 A.-1 10.下列四个命题:

( B.1 C.-2 D.2



①样本相关系数 r 满足:

,而且|r|越接近于 1,线性相关关系越强:

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③命题“已知 ”是真命题;

④己知点 A(-l,0) ,B(l,0) ,若|PA| -|PB|=2,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支。 其中正确命题的个数为( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4

11 . 已 知 椭 圆

,左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线 与椭圆交于 B,C 两点,若四边形丘尉℃是菱形,则椭圆的离心率是( )

12.已知函数 合条件的 a 的值有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

的一个零点,若 x0∈Z,则符 D.无数个

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二、填空题; (本大题共 4 小-题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.函数 14.设数列 结果 s 为__ 。 时取得极小值 ,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出

15.将一个质点随机投放在关于 x,y 的不等式组 三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是____ 16.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,
·2 ·

所构成的三角形区域内,则该质点到此

平面 PAD⊥平面 ABCD.若

,PC=2,

则四棱锥 P-ABCD 的体积最大值为 。 三,解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 己知函数 对称中心. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边,若 ,求 6+c 的最大值. 为函数 f(x)图象的一个

18. (本小题满分 12 分) 为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时 数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学(勤奋程度和自觉性都一样) .以下茎 叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成绩.

(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同学中至少 有一名被抽中的概率: (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀。请填写下面的 2×2 列联表,并判断是否有 99%把 握认为“成绩优秀与教学方式有关” .

下面临界值表仅供参考:

·3 ·

19. (本小题满分 12 分) 如图,在等腰梯形 PDCB 中,DC//PB,PB=3DC=3,PD= ,DA⊥PB,垂足为 A,将△PAD 沿 AD

折起,使得 PA⊥AB,得到四棱锥 P-ABCD。 (1)证明:平面 PAD ⊥平面 PCD; (2)点必在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P—ABCD 分成两个几何体,当这两个几何体的体积之



时,求点 B 到平面 AMC 的距离。

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,曲线 C 由上半圆 C1: 和部分抛物线 连接而成,

A,B 为 C1 与 C2 的公共点(B 在原点右侧) ,过 C1 上的点 D(异于点 A,B)的切线 l 与 C2 分别相 交于 M,N 两点. (1)若切线 l 与抛物绩 y=x2 -1 在点曰处的切线平行,求点 D 的坐标。 (2)若点 D(x0,y0)勾动点时,求证 恒为钝角。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ,e 为自然对数的底数。

(1)若 f(x)在 x=ln2 处的切线的斜率为 l,求实数 m 的值; (2 ) 当 m=1 时, 若正数 a 满足: 存在 成立。 试比较

的大小,并说明埋由。 考生在第 22、23、24 题中任送—道作答,并糟 28 铅笔将答趣卡上所选的题目对反的题号右侧方框 涂黑,按废涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的酋题进行
·4 ·

评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 EF 与 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G. (I)证明:EF=EG; (II)求 GH 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 CD=8,DE= 4,

己知曲线 Cl 的参数方程为

,已知曲线 C2 的极坐标方程为

(1)写出曲线 C1、C2 的直角角坐标方程。 (2)若曲线 C1 和 C2 有旦只有一个公共点,求实数 m 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式逡讲 已知函数 (I)当 的解集;

(Ⅱ)设

恒成立,求 a 的取值范围.

数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: BADB ACDD CBCB 二、填空题:
·5 ·

13. 2

14.

4

15.

1?

?
12

16.

2 6 9

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)

f ( x)的最小正周期T ? ? ?? ? 2

(

5? , 0为 ) f(x) 的对称点 24

?2 ? ?? ?

5? ? ? ? ? ? k? ? 且0 ? ? ? 24 2 2

?

? f ( x) ? 2cos(2 x ?

?
12

)

-------------4 分

12

令2k? ? ? ? 2 x ?

?
12

? 2k?

k? ?

13? ? ? x ? k? ? 24 24

13? ? ? ? k? ? ,k? ? ? k ? Z ………………………6 分 故 f(x)单调递增区间为: ? 24 24 ? ?
(Ⅱ)

A ? ? 2 f ( ? ) ? 2cos( A ? ) ? 2 ? cos( A ? ) ? 2 12 12 2 ? ? 11? ? ? ? ? ? A? ? ? A ? ? ? A ? ………………………………9 分 12 12 12 12 4 3

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc
?b ? c ? 6

?(b ? c)2 ? 9 ? 3bc ? 9 ? 3(

b?c 2 ) 2

当且仅当 b ? c ? 3 时取等号

故 b ? c 的最大值为 6……………………………………12 分 18.解:18. 解: (1)记成绩为 87 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C、D、E,“从甲班 数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共 10 个, 同学”所组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)一共 7 个, 所以所求事件的概率是 P= (2) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40
·6 ·

………2 分“抽到至少有一个 87 分的

…………………4 分 …………5 分

7 . 10

…………………………7 分

?2 ?

40? (6 ? 6 ? 14?14) = 6.400 ? 6.635 20? 20? 20? 20
2

………………………………10 分 …………………12 分

因此,我们没有 99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 19.解: (1)

在等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , ? 在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA ,

又 PA ? AB , DC

AB ? DC ? PA, DC ? DA ,? DC ? 平面 PAD

DC ? 平面 PCD

? 平面 PAD ? 平面 PCD
(2)

????????4 分

DA ? PA 且 PA ? AB , ? PA ? 平面 ABCD,又 PA ? 平面 PAB ? 平面 PAB ? 平面

ABCD,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? 平面 ABCD . 1 1 1 1 1 依据题意, VM ? ABC ? VP ? ABCD ,而 VP ? ABCD ? S ABCD PA ? , ? VM ? ABC ? S ?ABC MN ? 3 3 2 3 6
又易知 AC ? BC ? 2 , AB ? 2
2 ? A C2 ? B C ? A2 B 即 AC ? BC

? S?ABC ? 1? MN ?

1 1 ,故 MN ? PA ,所以 M 是 PB 的中点. 2 2

????8 分

由 AC ? BC , PA ? BC 得 BC ? 平 面 PAC , ? BC ? PC . 在 直 角 三 角 形 PAB 、 PBC 中

CM ? AM ?

1 5 6 PB ? ,又 AC ? 2 ,故可求得 S?MAC ? .设 B 到平面 MAC 的距离为 d , 2 2 4
d? 6 ....................12 分 3

则由

1 1 1 S ?MAC d ? S?ABC MN ? 得: 3 3 6

20.解:解: (1)设点 D 的坐标 ( a, b) ,由已知 B(1, 0) ,又 y ?= 2 x ,所以切线 l 的斜率 k = 2 ,



b 1 2 5 5 2 2 =,b = , 且 a + b = 1 , 解 得 a= , 于 是 点 D 的 坐 标 为 a 2 5 5

(-

2 5 5 , )。 5 5

????????4 分 切线 l 方程为 x0 x + y0 y = 1 ,

(2)证明设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 由点 D ( x0 , y0 ) 知 由? í

ì ? x0 x + y0 y = 1 ? y0 x2 2 ? ? ? y= x - 1

x0 x - y0 - 1 = 0 ,
·7 ·

显然 D > 0 ,有 x1 + x2 = -

x0 1 , , x1 x2 = - 1y0 y0

2 2 2 2 所以 x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 - 1)( x2 - 1) = x1x2 + x12 x2 - ( x12 + x2 ) + 1=

x1x2 + ( x1x2 )2 - [( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] + 1 =
- 1x2 x 1 1 2 + (1+ )2 - ( 0 + 2 + ) + 1 = - 0 , x1 x2 = 2 y0 y0 y0 y0 y0
0 ,从而 ?MON 为钝角。
??????12 分

-

1 < 0 ,由此可知 OM ?ON y0

21. 解 : ( 1 )

f ?( x) ? e x ? me? x , 由 题 意 得 ,

f ?(ln 2) ? 2 ?

m ?1 , 则 2

m ? ?2 .
(2)当 m ? 1 时, f ?( x) ? e x + e? x , 设 h( x) ? f ( x) ? ax3 ? 3ax ,则 h?( x) ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3a ,

?????3 分

当 x ≥ 1 时 f ?( x) ? 0 ,且 3ax 2 ? 3a ? 0 ,∴ h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,
3 ? 3x0 ) , ∵存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0

∴即存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,
1? 1? 1 ∴ h(1) ? e ? ? 2a ? 0 , 即 a ? ? e ? ? . 2? e? e

??????????????7 分∵

ae?1 ? ln ae?1 ? ln ea ?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1, a ?1 e e ?1 e ?1? a 1? 1? ?1 ? , a ? ?e ? ? 设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m?(a) ? a a 2? e? ln
1? 1? 当 ? e ? ? ? a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递增, 2? e?

当 a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递减,
1? 1? 1? 1? 因此 m(a) 在 a ? ? e ? ? 时至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ,且 ? e ? ? ? 1 , 2? e? 2? e? 1? 1? 所以,当 ? e ? ? ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ; 2? e?

当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ;
·8 ·

当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 .

?????????????????12 分

22.解: (1)连接 AF、OE、OF 则A 、F、G、H 四点共圆 A F O C E

EF 是切线知 OF ? EF ?? F G E ? ?B A F? ? E F G ?????5 分 ? E F? E G
(2) OE 2 ? OH 2 ? HE 2 ? OF 2 ? EF 2

? EF ? OH ? HE ? OF ? 3 ? 8 ? 5 ? 48
2 2 2 2 2 2 2

H B

G

D

? EF ? EG ? 4 3 ? GH ? EH ? EG ? 8 ? 4 3
23.解: (1) C1:y ? mx ? 2m ? 1

??10 分

C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0( y ? 0)
(2)当直线与圆相切时

??5 分

?d ?

?2 ? 2 m? 1 5 ? 2 ?m ? ? 12 m2 ? 1

当直线过(0,0)点时 ??2m ? 1 ? m ? ? 综上: m ? ?

1 2

5 1 或m ? ? 12 2

????????10 分

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 24.解: (1)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
由图象可知, F ( x) ? 0 的解集 x ? (0, 2) (2)当 x ? ? ? ????????5 分

? a 1? , ? 时, f ( x) ? 1 ? a 不等式f ( x) ? g ( x) 可化为 1 ? a ? x ? 3 ? 2 2?
·9 ·

? a 1? ? x ? a ? 2 对 x ? ? ? , ? 恒成立, ? 2 2?

??

a 4 ? a ? 2 故 ?1 ? a ? 2 3

????????10 分

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·10·


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