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重庆一中2014年高2015级高三理科数学(10月)月考试题(含答案)


秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2015 级高三上期第二次月考









卷(理科)

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定

的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净 后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A?1 ,2?, B ? ?1 ,2? ,则可以确定不同映射 f : A ? B 的个数为( A. 1 B.2 C. 3 D. 4 ) )

2.已知集合 M ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0? , N ? ? x | x ? a? ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是( A. [2, ??) B. (2, ??) C. (??, 0) D. (??, 0] )
y 2

3.已知 ? , ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ? ?
A. 充分不必要条件 C. 充要条件

?
2

是 sin ? ? cos ? 的(

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, 则 f ( x) ? ( )
π 3

O

5π 12

x

π π A. 2 sin(2 x ? ) B. 2 sin(2 x ? ) 6 3 π π C. 2 sin(4 x ? ) D. 2 sin(4 x ? ) 3 6 5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

5 3 6
2

B.

4 3 3

C.

5 3 3

D. 3 ) D.
1 2
第5题

6.方程 log1 (a ? 2 x ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为( A.2 B.1 C.
3 2

7.函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) ,( ? ?

?
2

)的图像

? 关于点 ( , 0) 对称,则 f ( x) 的增区间( 6 5? ?? ? A. ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 ?3 ?

)

? ? ? ? B. ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 3 ? 6 ?

5? ? ? ? C. ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

? ? 7? ? D. ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?
) C.

8.

1+ cos 20? ? 4sin10? tan 80? ? ( sin 20?

A. 1

B.

2

3

D. 2 )

9.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ?( x) ? 2 f ( x) ,则( A. f (2) ? e2 f (1) C. 9 f (ln 2) ? 4 f (ln 3) B. e2 f (0) ? f (1) D. e2 f (ln 2) ? 4 f (1)

10.给定实数 a(a ? 0) , f : R ? R 对任意实数 x 均满足 f ( f ( x)) ? xf ( x) ? a ,则 f ( x) 的零点的个数( A.0 B. 1 C. 2 D. 3



二、填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.函数 y ?

ln(x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为______________.

12.在△ ABC 中, A ? 60?,AC ? 4,BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积_______________.

? x 2 ? 2, x ? [0,1), 13.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? ? 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , 2 ?2 ? x , x ? [?1, 0), 2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间[ ? 5 ,1]上的所有实根之和为_____________. g ( x) ? x?2
14.如图所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC, AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于_____________. 15.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的

?x ? t ?1 参数方程是 ? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? , ?y ? t ?3
则直线 l 被圆 C 截得的弦长为____________. 16.若不等式 | x ? 1| ? | x ? 3 |? a ?
4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是_________. a

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 13 分) ? ? ? 已知函数 f(x)= 2 cos( x ? )[sin( x ? ) ? 3 cos( x ? )] . 3 3 3 (1)求 f(x)的值域和最小正周期;

? (2)方程 m[f(x)+ 3]+2=0 在 x ? [0, ] 内有解,求实数 m 的取值范围. 6

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f(x)=ax2+bx-a-ab(a≠0),当 x ? (?1,3) 时,f(x)>0;当 x ? (??, ?1) (3, ??) 时,f(x)<0. (1)求 f(x)在 (?1, 2) 内的值域; (2)若方程 f ( x) ? c 在 [0,3] 有两个不等实根,求 c 的取值范围.

19.(本题满分 13 分) 如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 ABB1 A1 是正方形 1 AC ? AB ? 1 , A1C ? A1B ? BC , B1C1 / / BC , B1C1 ? BC . 2 (1)求证: AB1 / /面AC 1 1C ; (2)求二面角 C ? AC 1 1 ? B 的余弦值.

20.(本题满分 12 分) 1 设函数 f(x)=3x3-ax,g(x)=bx2+2b-1. (1)若曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)当 a=1,b=0 时,求函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间[t,t+3]内的最小值.

21. (本题满分 12 分)
x2 y 2 已知圆 C : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 经过椭圆 Γ∶ 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F, 且 F 到右准线的距离为 a b
2 2

2. (1)求椭圆 Γ 的方程; (2)如图, 过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q, 与圆 C 的交点为 P, M 为 OP 的中点, 求 OM ? OQ 的最大值.

22.(本题满分 12 分) x 设函数 f ( x) ? ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x (1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的取值范围; 若不存在,说明理由; (3)证明:不等式 ?1 ? ?
k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? . 2 k ?1 k ? 1
2 n

2014 年重庆一中高 2015 级月考考试(理科)答案 一、 选择题 DAABC 二、 填空题 11. (?1,1) 三、解答题 π? ? 17 解:(1)f(x)=2sin?2x+3?- 3. ? ? 12. 2 3 13. ?7 3 14. 2 15. 2 2 16.
(?? , 0) ? {2};

BDCBA

π? ? ∵-1≤sin?2x+3?≤1. ? ? π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin?2x+3?- 3≤2- 3,T= 2 =π, ? ? 即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. ……………………………7 分 π? π ?π 2π? ? (2)当 x∈?0,6?时,2x+3∈?3, 3 ?, ? ? ? ? π ? ? ? ? 3 故 sin?2x+3?∈? ,1?, ? ? ?2 ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin?2x+3?∈[ 3,2]. ? ? 2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=- , m 2 即 3≤-m≤2, 2 ? ?m+ 3≤0, 即? 2 ? ?m+2≥0, 2 3 ? 2 3 ? 解得- 3 ≤m≤-1.即实数 m 的取值范围是?- ,-1?………13 分 3 ? ?

18.解:(1)由题意, ?1,3 是方程 ax2+bx-a-ab=0 的两根,可得 a ? ?1, b ? 2 则 f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 在 (?1, 2) 内的值域为 (0, 4] ………………………………………7 分 (2)方程 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? c 即 x 2 ? 2 x ? c ? 3 ? 0 在 [0,3] 有两个不等实根, ? g (1) ? 0 ? 2 设 g ( x) ? x ? 2 x ? c ? 3 则 ? g (0) ? 0 ,解得 3 ? c ? 4 .…………………………………13 分 ? g (3) ? 0 ? 19.解(1)作 BC 的中点 E,连接 AE, B1E, C1E

B1C1 / /CE 且 B1C1 ? CE ,? 四边形 CEB1C1 是平行四边形,

? B1E / /CC1 ,则 B1E //面 AC 1 1C
同理 AE // AC 1 1C

AE

B1E ? E ,? 面 B1 AE // 面 AC 1 1C

AB1 ? 面 B1 AE ,? AB1 // 面 AC 1 1C ………………………………………6 分
(2) 四边形 ABB1 A1 为正方形, ? A1 A ? AB ? AC ? 1 , A1 A ? AB

A1

z

B1

? A1B ? 2 ,

AC ? A1B 1

? AC ? 2 1

C1

由勾股定理可得: ?A1 AC ? 90 ,? A1 A ? AC , 同理可得 AB ? AC ,以 A 为原点如图建系。
1 1 则 C (1, 0, 0), A1 (0, 0,1), C1 ( , ,1), B(0,1, 0) 2 2 1 1 1 1 ? CA1 ? (?1, 0,1), CC1 ? (? , ,1), BA1 ? (0, ?1,1), BC1 ? ( , ? ,1) 2 2 2 2
A E B y

C

x

设面 AC 1 1C 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 n 1 ? CA 1 ? 0, n 1 ? CC1 ? 0
?? x ? z ? 0 ? ?? 1 ,令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, ?1,1) 1 ? x? y? z ?0 ? ? 2 2

设面 AC 1 1B 的法向量为 n2 ? (m, n, k ) ,则 n2 ? BA 1 ? 0, n2 ? BC1 ? 0
??n ? k ? 0 ? 则 ?1 ,令 k ? 1 ,则 n2 ? (?1,1,1) 1 m ? n ? k ? 0 ? ?2 2

所以 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

?
1 3

?1 ? 1 ? 1 1 ?? 3 3? 3

所以 cos ? ? cos ?? ? ? ? ?

………………………………………13 分

1 20.解:(1)因为 f(x)=3x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1, 所以 f′(x)=x2-a,g′(x)=2bx. 因为曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线, 所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1), 1 即3-a=b+2b-1,且 1-a=2b, 1 1 解得 a=3,b=3. ………………………………………5 分 1-a 1 (2)当 a=1,b=0 时,h(x)=3x3-x-1,b= 2 , 则由(2)可知,函数 h(x)的单调递增区间为 (??, ?1), (1, ??) ,单调递减区间为(-1,1). 5 5 因为 h(-2)=-3,h(1)=-3,所以 h(-2)=h(1). 1 ①当 t+3<1,即 t<-2 时,[h(x)]min=h(t)=3t3-t-1. 5 ②当-2≤t<1 时,[h(x)]min=h(-2)=-3. 1 ③当 t≥1 时,h(x)在区间[t,t+3]上单调递增,[h(x)]min=h(t)=3t3-t-1. 综上可知,函数 h(x)在区间[t,t+3]上的最小值 13 ? ?3t -t-1,t∈(-∞,-2)∪[1,+∞), [h(x)]min=? ……………………………12 分 5 ?-3,t∈[-2,1). ? 21.解:(1)在 C:(x-1)2+(y-1)2=2 中, 令 y=0 得 F(2,0),即 c=2, 又 x2 y2 a2 ? c ? 2 得 a 2 ? 8 ∴椭圆 Γ: + =1. ………………………………………4 分 8 4 c

(2)法一: 依题意射线 l 的斜率存在,设 l:y=kx(x>0,k>0),设 P(x1,kx1),Q(x2,kx2)

y=kx ? ? 2 2 由?x2 y2 得:(1+2k2)x2=8,∴x2= .(6 分) 1+2k2 + 4 =1 ? 8 ? ?y=kx 2+2k 由? 得:(1+k2)x2-(2+2k)x=0,∴x1= , 2 2 1+k2 ?(x-1) +(y-1) =2 1+k x1 kx1? 1 → ·OQ → =? ? 2 , 2 ?·(x2,kx2)= (x1x2+k2x1x2)=2 2 ∴OM (k>0). (9 分) 2 ? ? 1+2k2 =2 2 (1+k)2 =2 2 1+2k2 k2+2k+1 . 1+2k2

设 φ(k)=

k2+2k+1 -4k2-2k+2 , φ′( k) = , 1+2k2 (1+2k2)2

-4k2-2k+2 1 令 φ′(k)= 2 2 >0,得-1<k< . 2 (1+2k ) 1? ? ?1 ? 又 k>0,∴φ(k)在?0,2?上单调递增,在?2,+∞?上单调递减. ? ? ? ? 1 ?1? 3 → ·OQ → 的最大值为 2 3.………………12 分 ∴当 k= 时,φ(k)max=φ?2?= ,即OM 2 ? ? 2 22.解析:(1)由已知得: f ?( x) ?
1 a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0 1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2 1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x
x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?(0) ?

?1 ? 0 ?
1

2

?

∴ f ( x) ?

∴ f ?( x) ?

?1 ? x ?

2

?

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 ………………………………………………4 分 (2)由已知得: g ?( x) ?
1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

①若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ②若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?
1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ③若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ?
1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? 当 x ? ?0, ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? ………………………………………8 分
x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x 1 1 1 1 取 x ? 得: ? ln(1 ? ) ? n 1? n n n

(3) 由(1)、(2)得:

令 xn ? ? 则 x1 ?

k ? ln n , k ?1 k ? 1
2

n

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 n ?1 n ? n ?1 ? n ?1 n

?

?

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?

1 . 2

n n ?1 ? 1? 又 ln n ? ? ? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? , ? ? ?? ? ? ? k? k ?2 k ?1

故 xn ? ?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ?
n

1 . 2
n ?1

?? ?ln k ? ln ? k ? 1? ? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? , ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

故 xn ?
n ?1

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?? ? ?1 ? ? ?1 ………………………12 分 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k


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