当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(2)
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1. 设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 , 且小于 4 , 则实数 m 的范围是
2 2



2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

. .

/>
3.设实数 x , y 满足 x2-4x+y2+3=0,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是
*

4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N ) ,则 n 的最小 值是 . .
*

5. 若三角形 ABC 的三边 AB ,BC ,AC 成等差数列, 则 ? A 的取值范围是

6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 ,(an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0( n ? N ) ,则满足条件的 a1 的 所有可能值之积是 .

7.已知 f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则

n ?30

? ? f (n) ?

60

f (n) ? ?



8 .设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 ,则 x ? y 的最大值 2

为 . 9.复数 z1,z2 满足|z1|=3,|z2|=5,|z1+z2|=6,则|z1-z2| =___________ 10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完 全平方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数 仍为完全平方数,小王现在的年龄是 . 二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11. 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 设 a ? c ? 2b, A ? C ? 值.

?
3

. 求 sin B 的

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、C 关 于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

13.设关于 x 的一元二次方程 2x2-tx-2=0 的两个根为?、?,(t 为实数,?<?). ⑴ 若 x1,x2 为区间[?,?]上的两个不同点,求证:4x1x2-t(x1+x2)-4<0; 4x-t ⑵ 设 f(x)= 2 ,f(x)在区间[?,?]上 的最大值与最小值分别为 fmax 与 fmin,g(t)=fmax x +1 -fmin,求 g(t)的最小值.

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某 等腰梯形的顶点.

11. 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 设 a ? c ? 2b, A ? C ? 值. 分析 化角为边转化为三角关系处理. 解 由正弦定理及角变换求解.由 a ? c ? 2b , 得

?
3

. 求 sin B 的

sin A ? sin C ? 2sin B .再由三角形内角和定理及 A ? C ?

?
3



A?

2? B ? B ? ,C ? ? , 3 2 3 2

所以

sin A ? sin(

2? B 3 B 1 B ? )? cos ? sin , 3 2 2 2 2 2

? B 3 B 1 B sin C ? sin( ? ) ? cos ? sin , 3 2 2 2 2 2
又 sin B ? 2sin

B B cos ,代入到 sin A ? sin C ? 2sin B 中得 2 2

3 cos

B B B B B 3 ? 4sin cos ,由 cos ? 0 得 sin ? , 2 2 2 2 2 4

从而 cos

39 B 13 ,所以 sin B ? . ? 8 2 4

13.设关于 x 的一元二次方程 2x2-tx-2=0 的两个根为?、?,(t 为实数,?<?). ⑴ 若 x1,x2 为区间[?,?]上的两个不同点,求证:4x1x2-t(x1+x2)-4<0; 4x-t ⑵ 设 f(x)= 2 ,f(x)在区间[?,?]上 的最大值与最小值分别为 fmax 与 fmin,g(t)=fmax x +1 -fmin,求 g(t)的最小值. (湖南省 2002 年高中数学竞赛) 解 ⑴考察函数 h(x)=2x2-tx-2. 由于?<x1,x2<?,故 2x12-tx1-2<0,2x22-tx2-2<0, 两式相加得 2(x12+x22)-t(x1+x2)-4<0. 又 4x1x2≤2(x12+x22). 所以 4x1x2-t(x1+x2)-4≤2(x1 2+x22)-t(x1+x2)-4<0. ⑵ 由已知得 2x2-2=tx,所以 2x2+2=tx+4>0。 对于 t≠0,及 tx+4>0,f(x)= 此时 f(x)单调增. 所以 fmax=f(?),fmin=f(?). 2(t2+16) 1 1 所以 g(t)=f(?)-f(?)= ( - ) t t?+4 t?+4 t(?-?) 2(t2+16) = (2 ) t t ??+4t(?+?)+16 =2(?-?)= t2+16,对于 t=0,此结果也成立. 所以 g(t)的最小值为 4. 2(4x-t) 2 t2+16 = (4- ). tx+4 t tx+4


更多相关文档:

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(2)一.填空题:...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。试题及参考答案2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案 (5 月...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案

2013年全国高中数学联赛... 2页 2下载券2​0​1​3​年​全​国...​数​学​联​赛​江​苏​赛​区​初​赛​试​题...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析

2013年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 儒雅的sxh219 贡献于2016-09-22 1/2 相关文档推荐 ...

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(3)一.填空题(...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (5 月 5 日 8:00 至 10:00) 一.填空...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及参考答案 (5 月 5 日 8:00 至...

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014...(2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个...

2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。啦啦啦2012 年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析 1. 当 x ? [ ?3,3] 时,函数 f (...
更多相关标签:
创联赛海外赛区确认 | 2016数学建模江苏赛区 | 中乙联赛山东赛区 | 2016乒超联赛安徽赛区 | 2016乒超联赛赛区 | 富联赛西南赛区 | 中国女排联赛云南赛区 | 2016乒超联赛天津赛区 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com