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2014年全国高中数学联赛试题及答案


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2014 年全国高中数学联赛 一 试
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

. .

>2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 .

4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中

a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,
则? ? ? ? .

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分)

9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 6 x 上 的 两 个 动 点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) , 其 中 x1 ? x 2 且
2

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.

11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数
3

列 {an } ,使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

1

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解 答
[?3, 3]
提示:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知

1.

f ( x) 的值域为 [?3, 3] .
2. ?

3 ? a ? 12 2

提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .
(t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当 t ? 0,?1 时(1)总成立;
2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

(1)

1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2

3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线 右半支于 Ak ,交直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区 域内部整点的个数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2 ? 4851 ? 98 ? 9800 . 4.
3

3 ? 3 提示 :设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则
3 ? d ? q,
(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
2

(1)代入(2)得 9 ? 12d ? d ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 . 从而有 3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 一切正整数 n 都成立. 从而
n?1

即 6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对 ? ? 对一切正整数 n 都成立,

log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,
2

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求得

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .
1 4
提示: 令 a x ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y 2 ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (? ,+?) 上是递增的.

5. ?

3 2

当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ?1 ] ,

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以

1 , 2

1 1 1 g ( y ) min ? ( ) 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ; 2 2 4


a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
所以

1 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? . 4 1 综上 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4 12 21 7 ? 6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ,从而先投掷人的获胜概率 17 36 12


7 5 7 5 7 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? ? ? 12 12 12 12 12 12

1 12 . ? 25 17 1? 144

7.

10 提示:解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在 4

直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则

B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA , 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1 ? (?2,0,2), BP ? (?1
设分别与平面 BA 1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量 是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则
z A1 C1 B1 P A O C B x
3

? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0,

y

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由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即

3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 10 . 4

6 . 4

所以 sin ? ?

解法二:如图, PC ? PC1 , PA 1 ? PB . 设

A1 C1


A1 B



AB1







O,

E B1 O A P


OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从 而 AB1 ? 平
PA1 B .
过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE ? A 1 P ,垂足为 E .

C B

连 结 B1 E , 则 ?B1 EO 为 二 面 角 B ? A1 P ? B1 的 平 面 角 . 设 AA1 ? 2 , 则 易 求 得

PB ? PA 2, PO ? 3 . 1 ? 5, A 1O ? B1O ?
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?
6 4 5 . ? 5 5
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
sin ? ? sin ?B1 EO ?

2 8. 336675 提示:首先易知 x ? y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

4

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1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
所以

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 ,


k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 .
从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为

1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .

9. 解法一:

? f ?(0) ? c, ? 1 3 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由 ? ? f ?( ) ? a ? b ? c, 4 ? 2 ? ? ? f (1) ? 3a ? 2b ? c



1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以

1 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2 1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) ? 8 , 2
所以 a ? 为

8 8 3 2 . 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值 3 3

8 . 3
解法二: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c .
2

设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 .

设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

容 易 知 道 当 ? 1 ? z ? 1 时 , 0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从 而 当 ? 1 ? z ? 1 时 ,

0?

h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 即 2 0?

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4 3a 3a 8 ? b ? c ? 1 ? 0 , z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1 知 a ? . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3

5

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10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 . ? 22 ? ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ?

3 ( x ? 2) ,即 y0
(2)

x?
2

y0 ( y ? y0 ) ? 2 . 3

(2)代入 y ? 6 x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即
2 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y 0 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
y

AB ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

A

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3
O

B

2 y0 ? (1 ? )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

C(5,0)

x

? (1 ?
?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3
6

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定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 1 1 9 ? y0 ( )3 3 2 3

?
?

14 7 . 3

2 2 当且仅当 9 ? y0 ,即 y0 ? ? 5 , A( ? 24 ? 2 y0

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值为

14 7. 3

解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为 (5,0) .

5 1 2 设 x1 ? t , x2 ? t , t1 ? t 2 , t ? t ? 4 ,则 S ?ABC ? t1 2 2 t2
2 1 2 2 2 1 2 2

0

1

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 S? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 ABC ? ( (5 6t1 ? 2 3 ? (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2 3 14 3 ? ( ) , 2 3
所 以 S ?ABC ?

14 2 7 , 当 且 仅 当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 , 即 t1 ? 3
, A(

7? 5 6

,

t2 ? ?

7? 5 6

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

7

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A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
所以, ?ABC 面积的最大值是

14 7. 3

11. 令 f ( x) ? 2x 3 ? 5x ? 2 , 则 f ?( x) ? 6 x 2 ? 5 ? 0 , 所 以 f ( x) 是 严 格 递 增 的 . 又

1 3 1 f (0) ? ?2 ? 0, f ( ) ? ? 0 ,故 f ( x) 有唯一实数根 r ? (0, ) . 2 4 2
所以

2r 3 ? 5r ? 2 ? 0 ,
2 r ? ? r ? r 4 ? r 7 ? r10 ? 3 5 1? r
.

故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ? ,
这里 s1 ?s 2 ?s 3 ? ?, t1 ? t 2 ? t3 ? ? ,所有的 s i 与 t j 都是不同的. 不妨设 s1 ? t1 ,则

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ? ,

1 ? r t1 ?s1 ? r t2 ? s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ?
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

1 ?1 ? 1? r

1 1 1? 2

? 1 ? 1,




A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是 边 BC 上一点 (不是边 BC 的中点) , D 是线段 AK 延长线上 一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N, 直线 CD 与 AB 交于点 M. 求 证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.
B

O

EK D

C

P

Q

8
N

M

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2.

( 40 分 ) 设 k 是 给 定 的 正 整 数 , r ? k ?

1 . 记 f ( 1() r )? 2

f( r ? ) ? r ? , ? r?

f (l ) (r ) ? f ( f (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存在正整数 m,使得 f ( m) (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不
小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. 2 3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 ,

?1? ? ?

, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2,
, k ? 1, 2, ,n.

, n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? k

? ak

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A 1 A2

An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中

的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至 少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?




A

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P, 连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

O

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
同理
P

B

EK D

C

Q

QK 2 ? ? QO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
M

N

所以 故 OK ⊥ PQ .

PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,
由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ AP ? . QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



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NB DE AQ ? ? ? 1, BD EA QN



MC DE AP ? ? ? 1. ③ CD EA PM NB MC ND MD ? ? 由①, ②, ③可得 , 所以 , 故△DMN ∽ △DCB, 于是 ?DMN ? ?DCB , BD CD BD DC
所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆. 注 1:“ PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使得
2

PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故



?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是

PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤-④,得



PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O) .
注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.
A

O F B EK D P C

Q

N M

2. 记 v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f 下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时

( m)

(r ) 为整数.

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 2?? 2? ? 2? ?
为整数. 假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立. 对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式
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k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ?
这里, ?i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, 于是 .



1?? 1 ? ? 1 ? ? f ( r )? ? k? ?? k? ? ?? k ? ?? k 1 ? ? 2?? 2? ? 2 ? ?
1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? 2 1 ? k? ? , 2 ?
这里

? 22 v ?


k ? ? 2v?1 ? (?v?1 ?1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ?
显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? ? k ? ? 由①知, f ( v ?1) (r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明. 3. 由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

? 22v ?

.

1 经过 f 的 v 次迭代得到整数, 2

?a
i ?1

k

i

? k,

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ? ai ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1

?1 n ?1 1? k ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?1 ?1 1? ? ? max ? (n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n
? 1?
n n

k , n
k



?a ? ? A
k ?1 k k ?1

? nAn ? ? Ak
k ?1

n

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n ?1 n ?1

?

?? A
k ?1

n

? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1

n ?1 ? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?

4.

对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边

上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A 1 上的 设置 (共有 4 种) , 按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , 为了使得最终回到 A , An 上的设置. 1时

的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数 等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条, 0 ? i ? ? ? ,标有 b 的边有 2 j 条, 0 ? j ? ? 2

?n? ? ?

? n ? 2i ? .选取 2 i 条边标 ? 2 ? ?

2i 2j 记 a 的有 Cn 种方法,在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn ? 2i 种方法,其余的边标记 c.由乘 2i 2j 法原理,此时共有 Cn Cn ? 2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
?n? ?2? ? ? i ?0 ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

4?
0 这里我们约定 C0 ? 1.



当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n?2i ?1 .



代入①式中,得

4?
i ?0

?n? ? ? ?2?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C ? 4 C 2 ? 2 ? n ? ? ? Cn2i 2n?2i ? ? ? n ? n ? 2i ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

k n?k k n ?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n k ?0 k ?0

n

n

? 3n ? 1 .
当 n 为偶数时,若 i ?

n n ,则② 式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时 2 2

只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
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?n? ?2? ? ? i ?0 n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2i 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? ?? ? Cn ? Cn ? 2 i ? ? 4 ? ? 1 ? ? ? Cn 2 i ?0 j ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

4?

2i n ? 2i ?1 ? 2 ? 4? ? Cn 2 ? ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ?2? ? ?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;当 n 为
n

偶数时有 3 ? 3 种.
n

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