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1.不等式与不等关系课件与练习


不等关系与不等式

? ? ? 题型 ? ? 求取值范围 ?待定系数法 ? ?

?作差法 ? 判断大小 ?作商法 ? 特值法 ?

一:不等式的性质
一个事实: (1)对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b, a<b三种关系中有且仅有一种成立. (2)判断两个实数大小的一个事实---公理
<

br />a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0

由此可见,要比较两个实数的大小,只要考 察它们的差的符号就可以了.

常用的基本不等式的性质

?1? a ? b ? b ? a ? 2 ? a ? b, b ? c ? a ? c ? 3? a ? b, c ? 0 ? a ? c ? b ? c ? 4 ? a ? b, c ? 0 ? ac ? bc
a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

(对称性) (传递性) (可加性) (可乘性)

常用的基本不等式的性质

?5? a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(同向不等式的可乘性)

? 6? a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a

n

?b ,
n

n

a?

n

b

(可乘方性、可开方性)

比较大小的常用方法: 1.作差法: 一般步骤是:作差;变形;定号;结论。 其中关键是变形,常采用配方法、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方 式。当两个式子都为正数时,有时也可以先 平方再作差。 2.作商法: 一般步骤是:作商;变形;判断商与1的 大小;结论。 3.特值法: 若是选择题、填空题可以用特值法比较大 小。

c c 例1. 已知a ? b ? 0, c ? 0, 求证: ? . a b

两个实数(式)的大小比较— —作差法

两个实数(式)的大小比较— —作商法
例2:已知a ? b ? 0, c ? 0, 求证:ac ? bc.

两个实数(式)的大小比较— —特值法 b?c a?c 例3:已知0 ? a ? b, c ? 0, 则 与 b+c b?c a?c a ?b ? a ? b b+c 的大小关系为 _________
例4.设a, b是非零实数, 若a ? b, 则下列不等式不成立的是 ? A. a 2 ? b2 1 1 C. ? 2 2 ab ab B. ab2 ? a 2b b a D. ? a b

?

注意特值法取的时候如果条件没有给定两数的 正负,需要带入两正、两负或一正一负

练习:
1. 有以下四个条件: (1) b>0>a; (2) 0>a>b; (3) a>0>b; (4) a>b>0.

1 1 其中能使 ? 成立的有________个. a b
2.若a ? b ? 0, 则下列不等式不成立的是 ? 1 1 A. ? a b C. a ? b ? 2 ab B. a ? b ?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?2? ?2?
a b

?

3. (2013 ? 北京高考)设a, b, c ? R, 且a ? b, 则 ? A. ac ? bc C. a ? b
2 2

?

1 1 B. ? a b 3 3 D. a ? b

4.设a ? 1, 且 m ? log a ? a 2 ? 1? , n ? log a ? a ? 1? p ? log a ? 2a ? , 则 m, n, p的大小关系为 ? A. n ? m ? p C. m ? n ? p

?

B. m ? p ? n D. p ? m ? n

求取值范围:
例4. 如果30<x<42,16<y<24, x 求x+y,x-2y及 y 的取值范围.

练习:
x 的取值范围。 y

1.已知x ? ? ?2, ?1? , y ? ?1,3? , 求x ? y,3x ? y,

3? ? 2.已知函数y ? 2 x ? 1, x ? ? ?1, ? , 求f ( x)的值域。 2? ?

3.已知函数f ( x) ? 3 ? x, x ?? ?4,1? , 求f ( x)的值域。

3. (2013 ? 全国卷I)已知函数f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? a g ( x ) ? x ? 3. (1)当a ? ?2时,求不等式f ( x ) ? g ( x )的解集. ? a 1? ? 2 ? 设a ? ?1, 且当x ? ? ? , ? 时,f ( x ) ? g ( x ), ? 2 2? 求a的取值范围. (1) ? 0,2 ?
? a 1? ? 2 ? 当x ? ? ? , ? 时, ? 2 2? ?a ? 1 ? 2x ? 1 ? 0,0 ? 2 x ? a ? 1 ? a ? f ( x ) ? 1 ? a. 不等式f ( x ) ? g ( x )化为1+a ? x ? 3.

待定系数法求取值范围
例1:已知函数f ( x) ? ax ? bx, 且1 ? f ( x) ? 2,
2

2 ? f ? x ? ? 4.求f ? ?2 ?的取值范围。
解:f ? ?1? ? a ? b, f ?1? ? a ? b, f (?2) ? 4a ? 2b ?m ? n ? 4 ?m ? 1 则? , 解得 ? ?m ? n ? ?2 ?n ? 3
? f (?2) ? ? a ? b ? ? 3 ? a ? b ? ? f ?1? ? 3 f ? ?1? 1 ? f ? ?1? ? 2,2 ? f ?1? ? 4 即f ? ?2 ?的取值范围为?5,10?

设m ? a ? b ? ? n ? a ? b ? ? 4a ? 2b ?5 ? f ? ?2 ? ? 10

练习:

??1 ? ? ? ? ? 1 1.若?,? 满足 ? , 试求? +3?的取值范围。 ?1 ? ? ? 2? ? 3

解: ?1,7?


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