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新人教版选修2-3第3.1节回归分析的基本思想及其初步应用 课件


3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用 温故知新 不相关 两个变量的关系 函数关系 相关关系 非线性相关 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。 相关关系是一种非确定性关系。 线性相关 例1、某大学中随机选取8名女大学生,其身高 和体重数据如下表所示. 编号 体重/kg 1 48 2 57 3 50 4 54 5 64 6 61 7 43 8 59 身高/cm 16

5 165 157 170 175 165 155 170 (1)画出散点图 (2)根据女大学生的身高预报体重的回归方程, (3)预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系, 因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。 样本点呈条状分布,身高和体重有较好的线性相关关 系,因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系 . 根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数a和b的最好估计, n n ? (xi - x)(yi - y) ? xiyi - nxy ? ? i=1 i=1 ? b = = = 0.849, ? n n 2 2 2 于是有? (x x) x ? ? i i - nx ? i=1 i=1 ? ? ?a = y - bx = -85.712 (x,y)称为 所以回归方程是 y ? 0.849x ? 85.712 样本点的中心 所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为 y ? 0.849 ?172 ? 85.712 ? 60.316(kg ) 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗? 如果不是,你能解析一下原因吗? 解:散点图: 思考P3 产生随机误差项e 的原因是什么? 3、从散点图还看到,样本点散布在某一条直线的附 我们可以用下面的线性回归模型来表示: 近,而不是在一条直线上,所以不能用一次函数 y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数, y=bx+a 简单描述它们关系。 e称为随机误差。 思考: 产生随机误差项e的原因是什么? 随机误差e的来源(可以推广到一般): 1、其它因素的影响:影响体重 y 的因素不只是身高 x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等 因素; 2、身高 x的观测误差。 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因 变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定,即自 变量x只能解析部分y的变化。 在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变 量y为预报变量。 残差 数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点(xi,yi ) 的残差。 ei =yi ? yi 例:编号为6的女大学生,计算随机误差的效应(残差) 61 ? (0.849 ?165 ? 85.712) ? 6.627 残差平方和 把每一个残差所得的值平方后加起来,用数学符号表 n 2 示为: ( y ? y ) ? i i i ?1 称为残差平方和 在例1中,残差平方和约为128.361。 残差分析与残差图的定义: 我们可以通过残差 1 2 n 来判断模型拟合的效果,判 断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。 e ,e , ,e 表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以 及相应的残差数据。 编号 身高 体重/kg 残差 1 165 48 -6.373 2 165 57 2.627 3 157 50 2.419 4 170 54

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