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2013年普通高等学校招生全国统一考试学生


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫

米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期为▲.

2.设 z ? (2 ? i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为▲.

3.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为▲ . 16 9
开始 ▲
n ? 1,a ? 2

4.集合 ?? 1,0,1?共有▲个子集. 5.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是

6.抽样统计甲,乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次
a ? 20

n ? n ?1
Y
a ? 3a ? 2

93

N

输出 n 92 结束

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲.

(第 5 题) 7.现有某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概 率为▲ .

8.如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, D, E , F 分别是 AB, AC, AA 1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的
第1页

体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 ,则 V1 : V2 ? ▲ . 9.抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D ( 包含三角形内部和边界 ). 若点

P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是▲ .
10.设 D, E 分别是 ?ABC 的边 AB, BC 上的点, AD ? ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为▲.

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC 2 3

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区 间表示为▲ .
2 2

C1 B1 x y ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,右焦点为 ,右准线 F a 2 b2 A
1

12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为 d 2 .若 d 2 ? 6d1 ,则

F

C

椭圆的离心率为▲ . 13.平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ? 最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为▲ 14.在正项等比数列 ?a n ?中, a5 ? 正整数 n 的值为▲ .

E

B

A D 1 ( x ? 0) 图像上一动点,若点 P, A 之间 x

1 , a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? a3 ? ...? an ? a1a2 a3 ...an 的最大 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

?

?

? ?? ?? .

?

?

2 ,求证: a ? b ;

?

?

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

?

?

?

?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作 AF ? SB , 垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点.
第2页

求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0,3? ,直线

l:y ? 2 x ? 4 .设圆的半径为 1,圆心在 l 上.
(1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到 C ,另一种是 先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ? (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙 步行的速度应控制在什么范围内?

12 3 , cos C ? . 13 5

19. (本小题满分 16 分) 设 ?an ? 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ? d ? 0? , Sn 是其前 n 项和. 记 bn ? 其中 c 为实数. (1) 若 c ? 0 ,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ? k,n ? N * ? ; (2) 若 ?bn ? 是等差数列,证明: c ? 0 .
第3页

nSn , n ? N* , n2 ? c

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论.

第4页


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