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2--八年级--分式习题(附答案)


分式 1、 (1)当 x 为何值时,分式
x2 ?1 有意义? x2 ? x ? 2 x2 ?1 的值为零? x2 ? x ? 2
x?4 ? 2 x ?1 ? (3) ?1 ? ? ?? 2 x x ? 2 ? x ? 2x ?

(2)当 x 为何值时,分式 2、计算:
a2 ? 4 1 (1) ? ?a ? 2? ? a?2

a?2

x2 (2) ?x?2 x?2

?2 2 ?x? y ?? x ? y ? x ? y ?? ? (4) ? ? ? x ?? ? 3x x ? y ? 3x

(5)

1 1 2 4 ? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4

3、计算(1)已知

x2 1 1 ? ? x ? 1 ? ? ,求 ? ? ? x ? 的值。 ??? 2 2 x ? 2 1? 2 ?1? x 1? x ? ? x ?1 ?

? 2 x ? x 2 ? 2 xy ? y 2 x 2 ? xy 0 ?? ? 2 (2)当 x ? 4 sin 30 0 ? ?? 1? 、 y ? tan 60 0 时,求 ?1 ? ? x? y? 3x ? 3 y x ? y2 ? ?

的值。

(3)已知 3x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 0 ( x ≠0, y ≠0) ,求

x y x2 ? y2 ? ? 的值。 y x xy

(4)已知 a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,求

a2 的值。 a4 ?1

?2 ? a ?2 ? 3 ? b 2 ? c 2 ? 4 4、已知 a 、 b 、 c 为实数,且满足 (b ? 3 )?c ? 2?

? 0 ,求

1 1 的值。 ? a ?b b?c

5、解下列分式方程: (1) x ?
x ?2 ; ? x?2 2? x

(2)

x 2 ? 1 3( x ? 1) ? 2 ?4 x ?1 x ?1

1 ? (3) 2? x 2 ? 2 x ?

1? ? ? ? ? 3? x ? ? ? 1 x? ? ?

(4) 2 x ?

1 4x ? 2 ?3 x 2x ? 1

?1 1 1 ?x ? y ? 3 ? 6、解方程组: ? ?1 1 ? 2 ?x y 9 ?

2 x?m 1 ,是否存在 m 的值使得方程无解?若存在,求出满足条件的 m 的值; ? 2 ? 1? x x ?x x ?1 若不存在,请说明理由。

7、已知方程

8、某商店在“端午节”到来之际,以 2400 元购进一批盒装粽子,节日期间每盒 按进价增加 20%作为售价,售出了 50 盒;节日过后每盒以低于进价 5 元作为售 价,售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利 350 元,求每盒粽子的进价.

9、某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用 1200 元购书若干本, 并按该书定价 7 元出售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批 发价已比第一次提高了 20%,他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本.当按 定价售出 200 本时,出现滞销,便以定价的 4 折售完剩余的书.试问该老板这两 次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了(不考虑其它因素)?若赔钱,赔多少?若 赚钱,赚多少?

10、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记者 与驻军工程指挥官的一段对话:
你们是用 9 天完成 4800 米 长的大坝加固任务的? 我们加固 600 米后,采用新的加固模 式,这样每天加固长度是原来的 2 倍.

通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.

11、 建筑学要求,家用住宅房间窗户的面积 m 必须小于房间地面的面积 n,但窗户的面积与地面面积的 比值越大,采光条件越好。小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积 a,以改善采光条件。他这 样做能达到目的吗?

12、阅读下列材料: ∵ ∴
1 1?1 1? 1 1? 1 1 ? 1 1? 1? 1 1?1 1? ? ? ? ?, ? ? ? ?, ? ?1 ? ? , ? ? ? ? ,?? 17 ?19 2 ? 17 19 ? 1? 3 2 ? 3 ? 3 ? 5 2 ? 3 5 ? 5 ? 7 2 ? 5 7 ?

1 1 1 1 ? ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 17 ?19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 17 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 = (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) ? . 2 3 3 5 5 7 17 19 2 19 19 解答下列问题: 1 1 1 (1)在和式 ? ? ? ?? 中,第 6 项为______,第 n 项是__________. 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2)上述求和的想法是通过逆用________法则,将和式中的各分数转化为两个数之差,使 得除首末两项外的中间各项可以_______,从而达到求和的目的. (3)受此启发,请你解下面的方程:
1 1 1 3 . ? ? ? x( x ? 3) ( x ? 3)( x ? 6) ( x ? 6)( x ? 9) 2 x ? 18

答案
1、 分析: ①判断分式有无意义, 必须对原分式进行讨论而不能讨论化简后的分式; ②在分式 无意义;若 B≠0,则分式

A A 中, B=0, 若 则分式 B B

A A 有意义;③分式 的值为零的条件是 A=0 且 B≠0,两者缺一不可。答案: (1) x ≠2 B B

且 x ≠-1; (2) x =1 2、分析: (1)题是分式的乘除混合运算,应先把除法化为乘法,再进行约分,有乘方的要先算乘方,若分式的分子、 分母是多项式,应先把多项式分解因式; (2)题把 ? ?x ? 2? 当作整体进行计算较为简便; (3)题是分式的混合运算, 须按运算顺序进行, 结果要化为最简分式或整式。 对于特殊题型, 可根据题目特点, 选择适当的方法, 使问题简化。 (4) 题可以将 ? x ? y 看作一个整体 ? ?x ? y ? , 然后用分配律进行计算; 5) ( 题可采用逐步通分的方法, 即先算 用其结果再与

1 1 , ? 1? x 1? x

2 相加,依次类推。 1? x2
2x 1 4 x?2 8 ; (2) ; (3) ? (4) ; (5) x? y a?2 x?2 x ?1 1 ? x8

答案: (1)

3、分析:分式的化简求值,应先分别把条件及所求式子化简,再把化简后的条件代入化简后的式子求值。 略解: (1)原式= ? ∴1 ?

2 x2



x2 1 ? 2 x ? 2 1? 2
∴?
0



x2 ? 2 ? 1? 2 x2
∴原式= ? 2

2 ? 1? 2 x2
0

2 ?? 2 x2
0

(2)∵ x ? 4 sin 30 ? ?? 1? ? 1 , y ? tan 60 ?

3

x ? y2 1? 3 ? ? 3 ?1 ∴原式= x ? y 1? 3

分析:分式的化简求值,适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。 略解: (3)原式= ? ∴x ?
2

2y x

∵ 3x ? xy ? 2 y ? 0
2 2

∴ ?3x ? 2 y ??x ? y ? ? 0

2 y 或 x ? ?y 3

当x ?

(4)∵ a ? 3a ? 1 ? 0 , a ≠0

2 y 时,原式=-3;当 x ? ? y 时,原式=2 3 1 ∴a ? ? 3 a
2

1? a2 1 ? 2 ∴ 4 = a 2 ? 2 = ? a ? ? ? 2 = 3 ? 2 =7 a? a ?1 a ?
4、解:由题设有 ?

? b ? 3 ?c ? 2? ? 0 ?
2 2 ??2 ? a ? ? 3 ? b ?

?

?

? c2 ? 4 ? 0

,可解得 a =2, b ? ? 3 , c =-2



1 1 1 1 = = 2 ? 3 ? 2 ? 3 =4 ? ? a ?b b?c 2? 3 2? 3

5、分析: (1)题用化整法; (2) (3)题用换元法;分别设 y ?

x2 ?1 1 , y ? x ? ,解后勿忘检验。 (4)似乎应先去 x ?1 x

1 2x 2 ? 1 2x 2 ? 1 分母,但去分母会使方程两边次数太高,仔细观察可发现 2 x ? ? ,所以应设 y ? ,用换元法解。答 x x x
案: (1) x ? ?1 ( x ? 2 舍去) (2) x1 =0, x 2 =1, x3 ? ;

3 ? 17 3 ? 17 1 , x4 ? (3) x1 ? , x2 ? 2 2 2 2

(4) x1 ? 1 ?

6 6 1 , x2 ? 1 ? , x3 ? , x 4 ? ?1 2 2 2

1 ? ?A ? B ? 3 1 1 ? 6、分析:此题不宜去分母,可设 =A, ? =B 得: ? ,用根与系数的关系可解出 A、B,再求 x 、 y , 2 y x ? AB ? ? ? 9 ?
解出后仍需要检验。

3 ? x 2 ? ?3 ? ? ? x1 ? 答案: ? 2 ,? 3 ? y1 ? 3 ? y 2 ? ? 2 ? ?
7、略解:存在。用化整法把原方程化为最简的一元二次方程后,有两种情况可使方程无解: (1)△<0; (2)若此方 程的根为增根 0、1 时。所以 m <

7 或 m =2。 4

8、解:设每盒粽子的进价为 x 元,由题意得 20%x×50 ? (

2400 ? 50)×5 ? 350 x

化简得 x2 ? 10x ? 1200 ? 0

解方程得 x1 ? 40,x2 ? ? 30(不合题意舍去) 经检验,x1 ? 40,x2 ? ? 30 都是原方程的解,但 x2 ? ? 30 不合题意,舍去.

9、解:设第一次购书的进价为 x 元,则第二次购书的进价为 ( x ? 1) 元.根据题 意得:

1200 1500 ? 10 ? x 1.2 x

解得: x ? 5 所以第一次购书为

经检验 x ? 5 是原方程的解

1200 . ? 240 (本) 5

第二次购书为 240 ? 10 ? 250 (本) 第一次赚钱为 240 ? (7 ? 5) ? 480 (元) 第二次赚钱为 200 ? (7 ? 5 ?1.2) ? 50 ? (7 ? 0.4 ? 5 ?1.2) ? 40 (元) 所以两次共赚钱 480 ? 40 ? 520 (元) 10、解:设原来每天加固 x 米,根据题意,得

600 4800 ? 600 ? ? 9. x 2x

去分母,得 1200+4200=18x(或 18x=5400)

解得 x ? 300 .

检验:当 x ? 300 时, 2 x ? 0 (或分母不等于 0) . ∴ x ? 300 是原方程的解.

11、分析:小明要想达到目的,就要比较改善采光条件前后窗户的面积与地面面积的比值的大小,改善采光条件前窗

户的面积与地面面积的比值为

,改善采光条件后窗户的面积与地面面积的比值为

。问题就转化为

比较 则

与 ;若

的大小,比较两个分式的大小,我们可以运用以下结论:若 ,则 。此题就转化为分式的加减运算问题。

,则

;若



解:

因为

所以



所以小明能达到目的。

12、 (1)

1 1 , . (2)分式减法,对消 11?13 (2n ? 1)(2n ? 1)

(3)解析:将分式方程变形为 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 3 ? ? ? ? ?? 3 ? x x ? 3 x ? 3 x ? 6 x ? 6 ? 2 x ? 18

整理得

1 1 9 ,方程两边都乘以 2x(x+9) ,得 2(x+9)-2x=9x,解得 x=2. ? ? x x ? 9 2( x ? 9)

经检验,x=2 是原分式方程的根. 点评:此方程若用常规方法来解,显然很难, 这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧.


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