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高二数学期末测试题


高中数学教与学

2004 年

高二数学期末测试题
一、 选择题( 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 每小题 4 个选项中, 只有一项符合要 求) 1. a 是任一直线, A是一平面, 则在平面 A内必 有直线与 a ( ( A) 平行 ( C) 异面 ) ( B) 相交 ( D) 垂直 ) 对的概率为(

( A) 0. 98 ( C) 0. 83 5. 若二项式 ( A) 6 ( ) ( A) 1 B 2 2 ( C) 1 B 3 3 和是 5 的概率为( ( A) ( B) 1 B 3 ( D) 1 B 3 ) ( D) ) 1 36 x) ( B) 0. 72 ( D) 0. 7

2 n 的展开式的第 5 项是 x 常数项, 则自然数 n 的值为( ) ( B) 10 ( C) 12 ( D) 15

2. 4 本不同的书放入 3 个不同的 抽屉中 ( 设每 个抽屉足够大) , 共有不同的放法为( ( A) 7 函数为( ( B) 12 ) ( C) 64 ( D) 81

6. 正 方 体 的 内 切 球 与 外 接 球 的 体 积 比 是

3. 对任意 x , 有 f c( x ) = 4x 3, f ( 1) = - 1, 则此 ( A) f ( x ) = x 4 ( B) f ( x ) = x 4 - 2 ( C) f ( x ) = x 4 + 1 ( D) f ( x ) = x + 2 4. 两 个同 学做 同一 条 题, 他们 做 对的 概率 分 别为 0. 8 和 0. 9, 则该题至少 被一个同 学做
4

7. 将正方体骰子先后抛掷 2 次, 则向上的数之 1 1 1 ( B) ( C) 6 9 12 8. 函数 y = 1 + 3x - x 3 有( ( A) 极小值 - 1, 极大值 1 ( B) 极小值 - 2, 极大值 3

^ sin A + sin B = sin A + cos A P , 4 P P P 3P 又0< A < , _ < A+ < . 2 4 4 4 P _ 1 < 2 sin A + [ 2. 4 = 2sin A + 所以 sin A + cos A 的取值范围为( 1, 2] . ( 2) 存在 k 使不等式成立. 设 b = ccosA , a = csinA , 则 1 u= [ a 2 ( b + c) + b 2( c + a) + abc c 2( a + b) ] = 1 [ cos2 A ( sin A + 1) + sin A cos A sin2 A ( 1 + cos A ) + cos A + sin A ]

1 + sin A + cos A . sin A cos A 令 t = sin A + cos A , 由 ( 1) 知 t I ( 1, = sin A + cos A + 2] . 2 2 = t - 1+ + 1. t- 1 t- 1 令 t - 1 = s, _ u = t+ 记 f ( s) = s + 调递减. 故原式在 t = 为 3 2 + 2. ^ k [ u 恒成立, _ k [ u min , 所以, k 的取值范围为(- ] , 3 2 + 2] . ( 本试题系江苏省泰州市 2003 ~ 2004 学 年第二学期期末联考高一数学试题( A 卷) ) 2 时 取得最 小值, 最小值 2 , 则 f ( s) 在( 0, 2 ) 上单 s

# 32 #

第8 期
( C) 极小值 - 2, 极大值 2 ( D) 极小值 - 1, 极大值 3 9. 在地球北纬同 一纬度 圈上 有甲、 乙两地, 它 PR ( R 为 地球半 2 PR 径) , 这两地间的球面距离是 , 则 甲、 乙两 3 地是在北纬( ) 们在 纬 度 圈 上 的 弧 长 为 ( A) 30b ( B) 45b ( C) 60b ( D) 75b 10. 4 名男生和 5 名女生排成一排, 要求所有男 生( 可以相 邻, 也可以 不 相邻 ) 从左 到右 按 学号顺序, 所有女生( 可以相邻, 也可以不相 邻) 从左到右也是按学号顺序, 则不同 的排 法为( ( A) 126 11. 若
n C21

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的概率为 . 三、 解答题( 本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应 写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) x+ 1 2
4

1 , 则 M 可到达点( 0, 3) 的概率为 3

二 项 式

n

x

( n I N* ) 的展开式中, 前三

项的系数依次成等差数列. ( 1) 求 n 的值; ( 2) 求此展开式中所有有理项. 18. ( 本小题满分 12 分) 甲、 乙两位乒乓球选手 比赛时, 比赛一 局甲 获胜的 概率是 赛采用五局三胜制, 求: ( 1) 比赛三局, 甲即可获胜的概率; ( 2) 直到打满五局, 甲才获胜的概率. 19. ( 本小题满分 12 分) 从数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 7 个数字 中任取 5 个不同 的数字 排成五 位数, 求: ( 1) 共有多少个不同的五位偶数? ( 2) 最中间 数 字比 两边 其它 所 有数 字都 大的五位数共有多少个? 20. ( 本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ax + bx 当 x = 1 时有极大值 2. ( 1) 求 a , b 的值; ( 2) 过点( 2, - 2) 作函数 f ( x ) 的图象的 切线, 求切线方程. 21. ( 本 小题 满 分 12 分)
3

) ( B) 3 024
2 Cn+ 21 (

2 , 若比 3

( C) 9 072

( D) 630

<

n I N) , 则满足条件的 n 的 ( C) 10 ( D) 11

个数有( ( A) 8

) ( B) 9

12. 如图, 一个封闭的立方体, 它 6 个表面各标 出 1、 2、 3、 4、 5、 6 这 6 个 数字, 现放成 下面 3 个不同的位置, 则数字 1、 2、 3 对面的数字分 别是( ) ( B) 6、 4、 5 ( D) 5、 6、 4 ( A) 4、 5、 6 ( C) 5、 4、 6

二、 填 空题( 本 大题共 4 小题, 每 小题 4 分, 共 16 分) 1 3 1 13. 曲线 y = x - x 2 + 1 上以 1, 为切 3 3 点的切线的倾斜角为 . 14. 1 + 4( x - 1) + 6( x - 1) 2 + 4( x - 1) 3 + ( x - 1) 等于
4

如 图, 在 直 三 棱 柱 A BC - A 1 B 1 C 1 中, N BA C = 90b, AC = A B = A 1 A , E 是 BC 的中点. ( 1) 求异面直线 A E 与 A 1 C 所成的角; ( 2) 若 G 为 C 1 C 上一点, 且 EG L A 1 C, 试确定 G 的位置; ( 3) 在( 2) 的 条件下, 求 二面角 A 1 - A G - E 的大小. 22. ( 本小题满分 14 分) 对于函数 y = f ( x ) ( x I D ) , 若同时满足下列条件:

.

15. 一个简单多 面体的 各个面 都是 三角形, 且 有 6 个 顶 点, 则 这个 简单 多 面体 的 面数 是 . 16. 从原点出发的 某质点 M , 按向量 a = ( 0, 1) 移动的概率为 2 , 按向量 b = ( 0, 2) 移动 3

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高中数学教与学
( 1) f ( x ) 是定义域 D 上的单调函数; ( 2) 存在闭 区间 [ a, b] A D , 使 得 f ( x ) 在[ a , b] 上的值域也 是[ a, b] . 此时称 函数 f ( x ) 为 D 上的闭函数。 ( i) 求闭函数 f ( x ) = - x ( x I R) 符合
3

2004 年
3 中间是 4 时, 其它 4 个数码可组成 C1 3A 3 个

四位数;
3 中间是 5 时, 其它 5 个数码可组成 C1 4A 4 个

四位数;
3 中间是 6 时, 其它 6 个数码可组成 C1 5A 5 个

条件( 2) 的闭区间[ a , b] ; ( ii) 判断 g ( x ) = x - 3x 是否为 R 上的 闭函数; ( iii) 是 否 存在 实 数 m , 使 函 数 h ( x ) = g ( x ) + mx 是 R 上的闭函数, 若存在, 求出 m 的取值范围, 若不存在, 请说明理由.
参考答案 一、 选择题 1. D 71B 21 D 81D 31B 91 C 41A 101A 51 C 111C 20 27 C2 n
r 3 2

四位数; 所以最中间数字 比两 边其它 所有 数字都 大的五位数共有
3 1 3 1 3 C1 3A 3 + C4 A 4 + C5A 5 = 414 个.

20. ( 1) f c( x ) = 3 ax 2 + b. 依题意有 解得 f c( 1) = 0, f ( 1) = 2, a + b = 2, a = - 1, b = 3.
3 2



3 a + b = 0,

( 2) f ( x ) = - x + 3x, f c( x ) = - 3x + 3, 61 C 121C 若( 2, - 2) 是切点, 易知切线方程为 9 x + y + 16 = 0. 若切点不 是( 2, - 2) , 设 切点 坐标 是 ( s, 15. 8
1

二、 填空题 3P 14. x 4 4 三、 解答题 13. 17. ( 1) 由 出 n = 8. ( 2) T r+ 1 = Cr 8( x)
8- r

16.

t ) ( s X 2) , 则由导数几何意义得 t = f ( s) , 1 2
2

2C1 n

1 2

=

C0 n+ 1 2
4

,解

t - (- 2) = f c( s) , s- 2 t = - s 3 + 3s, t+ 2 = - 3 s 2 + 3, s- 2



x

1 x 2 当 r = 0, 4, 8 时对应的项为有理项, 分别 = Cr 8 为 T 1 = C0 8 1 x 4 = x 4, 2 4 35 1 x1 = x, T 5 = C4 8 8 2 8 1 1 T 9 = C8 x-2 = . 8 2 256x 2 18. ( 1) 即前三局都是甲获胜, 则有 P = 2 3
3 0

r

4- 3 4 r,

- s3 + 3 s + 2 = - 3s 2 + 3, s- 2 ( s - 2) ( s + 1) 2 = 3s 2 - 3, s- 2 s 2 - s- 2 = 0, s = - 1 或 s = 2( 舍去) , 即 切点是(- 1, 2) , 此时切线方程是 y - 2 = f c( 1) [ x - (- 1) ] , 即 y = 2. 综上, 过点( 2, - 2) 作函 数 f ( x ) 的图象 的切线的方程是 9 x + y + 16 = 0 和 y = 2. 21. 解法 1 ( 1) 如图, 以 A 为 坐标原点, AB 、 A C、 A A 1 为 x , y, z 轴建立坐标系. 设 A C = A B = A 1 A = 2 a , 则有 E( a, a, 0) , A 1( 0, 0, 2 a) , C( 0, 2 a, 0) , _ AE = ( a, a, 0), A 1 C = ( 0, 2a, - 2a) , _ cos3A E , A 1 C 4 = = AE # A 1C | A E | | A 1C | 2a2 1 = , 2 2 a # 2 2a

=

8 . 27

( 2) 即前四局甲与 乙的 比分 为 2 比 2, 且 第五局是甲胜, 则有 P = C2 4 2 1 2 16 @ = . 3 3 3 81 4 1 1 3 19. ( 1) A 6 + C3 C5A 5 = 1 260. ( 2) 中间只能有三种可能性, 6, 5, 4.
2 2

# 34 #

第8 期
所以异面直线 AE 与 A 1 C 所成的角是 ( 2) 设 CG = h , 则 G( 0, 2 a , h ) , EG = (- a , a, h ) , ^ EG L A 1 C, _ EG # A 1 C = 0, 即 2 a 2 - 2ah = 0, h = a. 所以, G 是 CC 1 的中点. ( 3) 连 A G, 设 P 是A C 中点, 过 P 作PQ L A G , Q 是垂足, 连 EP 、 EQ . ^ N BA C = 90b, _ EP L A C, 又三棱柱是直三棱柱, _ EP L 平面 A CC 1 A 1 , _ PQ 即为EQ 在平面A CC 1 A 1 上的射影, 又 PQ L A G , _ EQ L A G, _ N PQE 为二面角 C- A G- E 的平面角. 同( 1) 有: PE = a , A P = a, PQ = PE _ tan N PQE = = PQ 1 a, 5 P . 3

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( 2) 由( 1) 知, A 1 E 1 L B 1 C 1, 又三棱柱是 直三棱柱, _ A 1 E 1 L 平面 BCC 1 B 1 , _ E 1 C 为A 1 C 在平面BCC 1 B 1 上的射影. ^ EG L A 1 C, _ EG L E 1 C, _ N E 1 CC 1 = N GEC, _ & E 1 CC 1 V & GEC, _ C1E1 CG CG 2a = ,即 = , CG = a. 2 a CE C1C 2a

所以, G 是 CC 1 的中点. ( 3) 同解法 1. 22. ( i) 由 f c( x ) = - 3x 2 [ 0, 知 函 数 f ( x ) 是 R 上的减函数, 故有 f ( a) = b, f ( b) = a, 即 a = - 1, b = 1.

所求区间为[ - 1, 1] . ( ii) gc( x ) = 3 x - 6x . 当 x [ 0 或 x \ 2 时, gc( x ) \ 0;
2

5, 即 二面角 C -

A G - E 的平面角是 arctan 5 , _ 二面角 A 1 - A G - E 的平面角是 Parct an 5.

当 0 < x < 2 时, gc( x ) < 0, 故 g ( x ) 在 R 上不是单调函数, 所以 g ( x ) 不是 R 上的闭 函数. ( iii) hc( x ) = 3x 2- 6 x + m , 要使 h ( x ) 在 R 上单调, 则必有 hc( x ) \ 0 或 hc( x ) [ 0 在 R 上恒成立, 显然不可能 hc( x ) [ 0 在 R 上恒 成立, 故必有 hc( x ) \ 0 在 R 上 恒成立, 即其 判别式 $1 = (- 6) 2 - 4 @ 3 @ m [ 0, m \ 3, 此时 h ( x ) 单调递增.

解法 2 ( 1) 取 B 1 C 1 的 中 点 E 1 , 连 A 1 E 1 , E 1 C, 由 几 何 体 是 三 棱 柱 知 A E M A 1 E 1 , 则 N E 1 A 1 C 即为异面直 线 A E 与 A 1 C 所成的角. 设 A C = A B = A 1 A = 2a , 则 A 1 E 1 = 2 a, A 1 C = 2 2 a , E 1 C 1 = _ E1 C = 在 & A 1 E 1 C 中,
2 2 A 1E2 1 + A 1 C - E1 C cos N E 1 A 1 C = 2 A 1E1 # A 1C

设 h ( x ) 在 [ a , b] 上的 值域 也 是[ a, b] , 则由 h ( x ) 单调递增知 a = h( a) , 这样 a, b b = h ( b) . 为方程 x = h ( x ) 的两个不相等 的实数根, 显 一根为 0, 故方程 1 = x 2- 3 x + m 必至少有一 个非 0 实根, 即其判别式 $2 = (- 3) 2 - 4 @ ( m - 1) \ 0, m [ 13 . 4

然方程 x = h ( x ) , 即 x = x 3 - 3 x 2 + mx 有

1 B C = 2 1 1 6a,

2 a,

2 E1 C2 1+ C1 C =

13 ,使 4 函数 h ( x ) = g ( x ) + mx 是 R 上的闭函数. 综上可得, 存 在实数 m, 3 [ m [ ( 本试题系扬州市 2003 ~ 2004 学年度第 二学期期末调研测试题)

=

2a + 8a - 6a 1 = , 2 2 @ 2a @ 2 2a P . 3

2

2

2

所以异面直线 AE 与 A 1 C 所成的角是

# 35 #


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