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高二数学竞赛模拟试卷(4)


浙江省高中数学竞赛模拟试卷(4) 班级
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设函数 f ( x ) ? x 2 ? 6 x ? 8 , 如果 f ( bx ? c ) ? 4 x 2 ? 16 x ? 15 , 那么 c ? 2 b 的值等于( )

姓名

A.3 B.7 C.-3 D.-7 2.已知 P 为四

面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=
3xn ? 1 3 ? xn

,则 ? x n =(
n ?1

2005



A,1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 4 . 已 知 f ( x) ? ? , 定 义 f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )), 其中 f 1 ( x ) ? f ( x ) , 则 1 ? 2 (1 ? x ), x ? [ ,1] 2 ? 1 ) f 2007 ( ) 等于 ( 5 1 3 4 2

A.

B.

C.

D.

5

5
x a
2 2

5

5

5.已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F,右准线为 l ,一直线交双曲线两支于 P、Q

两点,交 l 于 R,则



) B. ? PFR ? ? QFR D. ? PFR 与 ? QFR 的大小定
C sin B , 都是方程 log A sin A

A. ? PFR ? ? QFR C. ? PFR ? ? QFR

6. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠1), 角 B、 b、 且

b

x=logb(4x-4)

的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 8.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________.

1

1 2 5 9.设 t ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 则关于 x 的方程 ( t ? 1)( t ? 2 )( t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为 2 3 6 10.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。 12.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的 所有整数 a=__________. 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) kabc 13.已知 a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

14.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外 切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求 ∠MAN 的度数。

? an ? 1, 当 n 为 偶数 时, ? 2 ? 15. 数列 ? a n ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, a n ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? a n ?1 ?

已知 a n ?

30 19

,求正整数 n.

高二数学竞赛模拟试卷(4)答案
一、选择题 1.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 8 , 如果 f ( bx ? c ) ? 4 x ? 16 x ? 15 , 那么 c ? 2 b 的值等于(
2 2



A.3

B.7

C.-3
2

D.-7

解 :取 x ? ? 2 , 有 f ( c ? 2 b ) ? 16 ? 16 ? 2 ? 15 ? ? 1 ,而 当 x ? 6 x ? 8 ? ? 1时有 x ? ? 3 ,所 以
c ? 2 b ? ? 3 ,故选 C.

2.已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆

2

解:把问题转化成动点 P 到 S 的距离与它到边 BC 的距离比值问题,容易的出答案 D 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=
3xn ? 1 3 ? xn

,则 ? x n =(
n ?1

2005



A,1
xn ? 3 3 3 3 xn

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

解:n+1= x
1?

, xn=tanα n, n+1=tan(α n+ 令 ∴x

?
6

), ∴xn+6=xn, x1=1,2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x4=-1, x

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有 ? x n ? x 1 ? 1 。故选 A。
n ?1

2005

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 4 . 已 知 f ( x) ? ? , 定 义 f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )), 其中 f 1 ( x ) ? f ( x ) , 则 1 ? 2 (1 ? x ), x ? [ ,1] 2 ? 1 ) f 2007 ( ) 等于 ( 5 1 3 4 2

A.

B.
1

C.
1

D.

5 1 7

5 3 1 4

5 2 1 9 1

1 7 解: 计算 f 1 ( ) ? , f2 ( ) ? , f3 ( ) ? , f4 ( ) ? , f5 ( ) ? , f6 ( ) ? , f7 ( ) ? 5 10 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 10 1 1 1 1 4 1 可知 f n ( ) 是最小正周期为6的函数。即得 f n ? 6 ( ) ? f n ( ) ,所以 f 2007 ( ) ? f 3 ( ) = , 5 5 5 5 5 5 故选 C.

5 1

5.已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F,右准线为 l ,一直线交双曲线两支于 P、Q

两点,交 l 于 R,则



) B. ? PFR ? ? QFR D. ? PFR 与 ? QFR 的大小定
P ?, Q ?, 由 相 似 三 角 形 的 性 质 , 得

A. ? PFR ? ? QFR C. ? PFR ? ? QFR

解 : 分 别 做 P P ? ? l , Q Q ? ? l , 垂足分别为
PR PP ? ? QR QQ ? PF PP ?

,又有双曲线的第二定义,得

?e?

QF QQ ?

,则

PR RQ

?

PF QF

. 故 FR 平 分

? P F Q. 所以选 C.

3

6. 在△ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠1), 角 B、 b、 且 的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 解: log 由
b

C

sin B , 都是方程 log A sin A

b

x=logb(4x-4)

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

x=logb(4x-4)得: 2-4x+4=0, x 所以 x1=x2=2, C=2A, 故 sinB=2sinA, A+B+C=180°, 因

所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0, 1 1 所以 sin2A= ,而 sinA>0,∴sinA= 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 4 2 二、填空题 7.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.
?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ? ? 2 答案: 3 。 ? x ? 2 y ? 0 2 ?x ? 4 y ? 4 ? ( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ?

由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 8.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 答案:46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 2 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数 4
4 字时,能组成 C 3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不
1 1 1 1 1

同数,所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个。 1 x 2 x 5 x 9.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 ( t ? 1)( t ? 2 )( t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为 2 3 6 1 x 2 x 5 x 3 x 4 x 5 x 答案:4 解:令 f ( x ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 变形为 f ( x ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 可以发现 2 3 6 6 6 6 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 减 函 数 。 又 因 为 f ( 3 ) ? 1, f (1) ? 2 , f ( 0 ) ? 3 , 从 而 关 于 x 的 方 程
( t ? 1)( t ? 2 )( t ? 3 ) ? 0 的解分别为 0、1、3,

10.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 答案:
13 ? 1 2 , 21 ? 1 2 1? 2 21 1? 2 21 1? 2 21

。 ①若 t2-4>0, t<-2 或 t>2, 解: 即 则由

t ?1 t ?4
2

>x(|x|≤1)恒成立, 得

t ?1 t ?4
2

? 1,

t+1>t2-4, t2-t-s<0 解得

?t ?

,从而

<t<-2 或 2<t<

1? 2

21

。②若 t2-4=0,

4

则 t=2 符合题意。 ③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由
?1? 2 13 ? 1 2 21 ? 1 2 13 ?1? 2 13

t ?1 t ?4
2

<x(|x|≤1)恒成立, 得
?1? 2 13

t ?1 t ?4
2

t+1>-t +4; ? ?1 ,
2

t2+t-3>0,解得:t<

或 t>

,从而

<t<2。综上所述,t 的取值范围是:

<t<

。 。
a ?b
2 2

11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 解
1




2


2


1






2


2







a,b,

,





ab =a+b+ a ? b ,?

ab - a - b ?

a ? b ,两边平方并整理有 ab-4a-4b+8=0, ? (a-4)(b-4)=

2 2 8,? a,b 都是正整数,? a=5 时 b=12;a=6 时 b=8,所以满足题意的三角形有 2 个。 12.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的 所有整数 a=__________. 答案: 或-2。 x=y=0 得 f(0)=-1; x=y=-1, f(-2)=-2 得, 1 令 令 由 f(-1)=-2, 又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0, 由 f(1)=1 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的 正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 三、解答题: kabc 13.已知 a, b, c∈R+,且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。 a?b?c

解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2 ac +2 2 bc )2=
(a ? b) ? (a ? b ? 4c)
2 2

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

? (a ? b ? c)

abc

≥ 8 (5

3 2

1 2a b c
2 2

) ? (5

5

a b c 2
4

2

2

) ? 100 。

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 14.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外 切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求 ∠MAN 的度数。 解: l 为 x 轴, P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, Q 的坐标为(x, 0), A(k, 以 点 设 点 λ ), ⊙Q 的半径为 r, M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。 则: 所以 x=± r ? 2 r ? 3 ,
2 2 2

5

o?r

∴tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

?

x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

o?h

?

2 rh (x ? k) ? r ? h
2 2 2

?

2 rh (? r ? 2r ? 3 ) ? r ? h
2 2 2 2

?

2 rh h ?k
2 2

,令
r ? 2r ? 3
2

? 3 ? 2r ? 2k

2m=h2+k2-3,tan∠MAN=
2

1 n

,所以 m+r ? k r ? 2 r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r ? 2 r ? 3 ,
2 2

两边平方,得:m +2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所
? m 2 ? ? 3 k 2 (1) ? 1 2 以 ? 2 m (1 ? nh ) ? 2 k ( 2 ) ,由(1)(2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 h ? 2 2 (1 ? nh ) ? k ( 3 ) ?

得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN=

1 n

=h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1

时∠MAN=60°),故∠MAN=60°。

? an ? 1, 当 n 为 偶数 时, ? 2 ? 15. 数列 ? a n ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, a n ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? a n ?1 ?
已知 a n ? 解
30 19

,求正整数 n.

由题设易知,a n ? 0 , n ?1, 2 , ? . 又由 a1 ? 1 , 可得, n 为偶数时,a n ? 1 ; n ( ?1 当 当 )
1 a n ?1 ?1.

是奇数时, a n ?

由 an ?

30 19

? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ?
2

30 19

?1 ?

11 19

? 1 ,所以,

n 2

是奇数.

于是依次可得:
an
2

?1

?

19 11

?1,

n 2

? 1 是偶数,

a n?2 ?
4

19 11

?1 ?

8 11

?1,

n?2 4

是奇数,

a n?2
4

?1

?

11 8

?1,

n?6 4

是偶数,

6

a n?6 ?
8

11 8

?1 ?

3 8

? 1,

n?6 8

是奇数,

a n?6
8

?1

?

8 3

?1,

n ? 14 8

是偶数,

a n ?1 4 ?
16

8 3

?1 ?

5 3

?1,

n ? 14 16

是偶数,

a n ?1 4 ?
32

5 3

?1 ?

2 3

? 1,

n ? 14 32

是奇数,

a n ?1 4
32

?1

?

3 2

?1,

n ? 46 32

是偶数,

a n ? 46 ?
64

3 2

?1 ?

1 2

?1,

n ? 46 64

是奇数,

a n ? 46
64

?1

? 2 ?1,

n ? 110 64

是偶数,

a n ?110 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

n ? 110 128

? 1 ,解得,n=238.

7


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