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高三总复习58-离散型随机变量及其分布列


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考纲要求 1.理解取有限个值的 离散型随机变量及其 分布列的概念,了解 分布列对于刻画随机

现象的重要性. 2.理解超几何分布 及其导出过程,并能 进行简单的应用. 2014年高考预测

考点 离散型随机 变量分布列 的性质 求离散型随 机变量的分 布列

高考真题例举 2012 2011 2010 ——
上海 卷,9

——

浙江 卷, 19

江西 卷,16

湖南 卷,17

1.考查离散型随机变量及其分布列的概 念理解. 2.两点分布和超几何分布的简单应用.
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(对应学生用书 P204) 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字 母 X、Y、ξ、η ??表示.

所有取值可以 一一列出 的随机变量称为离散型随机变量.

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2.离散型随机变量的分布列

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一般地, 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1, x2, ?, xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi, 则表 X P x1 x2 ? ? xi ? xn

p1

p2

pi ?

pn

称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布 列.有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n 表示 X 的分布列.
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问题探究 1:离散型随机变量 X 的每一个可能取值为实数, 其实质代表的是什么? 提示:代表的是“事件”,但事件是用一个反映结果的实 数表示的.

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3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0,i=1,2,?,n; (2)?pi=1,i=1,2,?,n.
i=1 n

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问题探究 2:如何求离散型随机变量的分布列?

提示:首先写出离散型随机变量的各个取值,其次对每一 个取值求出它的概率,最后用表格形式列出.

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4.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 像 X P 0 1 p

1-p

这样的分布列叫做两点分布列. 如果随机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点 分布,而称 p=P(X=1) 为成功概率.

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(2)超几何分布列 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中
n-k Ck C M N-M P(X=k)= , n C N 恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的概率为

k=0,1,2,?,m



其中 m= min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称 分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分 布列,则称随机变量 X 服从超几何分布.

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X

0

1
n-1 C1 C M N-M Cn N

?

m
n-m Cm C M N-M Cn N

n-0 C0 C M N-M n C P N

?

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(对应学生用书 P204)

利用分布列中各概率之和为 1 的性质,可以求分布列中的 参数值.但此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.

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若离散型随机变量 X 的分布列为: X 0 1 P 9c2-c 3-8c 则常数 c=________,P(X=1)=________.

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【思路启迪】 应用离散型随机变量的各概率和为 1 及概 率值大于等于零可求得 c.

【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知: ?9c2-c+3-8c=1, ? 2 ?0≤9c -c≤1, ?0≤3-8c≤1, ? 1 1 P(X=1)=3-8×3=3. 1 1 【答案】 3 3
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1 解得 c= . 3

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不可忽略每个概率值大于等于零.

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随机变量 X 的分布列如下: X -1 0 1 P a b c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X |=1)=________.

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解析:∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c. 1 又 a+b+c=1,∴b=3, 2 ∴P(|X |=1)=a+c=3.

2 答案: 3

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求离散型随机变量的分布列问题,其核心是求随机变量取 各个值时对应事件的概率,通常与古典概型、相互独立事件的 概率等有关;而分布列的应用则主要是根据分布列求某一事件 的概率,这时关键是分析这一事件包含了随机变量的哪些个取 值,从而利用互斥事件的概率加法公式计算求解.

求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确.

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(2012 年浙江)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, 且规定: 取出一个白球得 2 分, 取出一个黑球得 1 分. 现从该箱中任取(无 放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和,求 X 的分布列.
【思路启迪】 确定 X 的所有取值,应用古典概型概率公 式求每一个值对应的概率,得出分布列.

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【解】 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且 C3 5 5 P(X=3)=C3=42, 9
2 C1 · C 4 5 10 P(X=4)= 3 = , C9 21 1 C2 · C 5 4 5 P(X=5)= C3 =14, 9

C3 1 4 P(X=6)=C3=21. 9

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所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6

5 10 5 1 P 42 21 14 21

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求离散型随机变量的分布列步骤是:(1)找出随机变量 X 的 所有可能取值 xi(i=1,2,?,);(2)求出取各值 xi 的概率 P(X= xi);(3)列表.

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盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经 使用. (1)从盒中每次随机抽取 1 个零件,每次观察后都将零件放 回盒中,求 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率. (2)从盒中随机抽取 2 个零件,使用后放回盒中,记此时盒 中使用过的零件个数为 X,求 X 的分布列.

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解:(1)记“从盒中随机抽取 1 个零件,抽到的是使用过的 2 零件”为事件 A,则 P(A)=7. 所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率
1 2 5 2 150 P=C3? ?? ? = .

? ?? ? ?7??7?

343

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(2)随机变量 X 的所有取值为 2,3,4.
1 1 C2 1 C 2 5C2 10 P(X=2)= 2= ,P(X=3)= 2 = , C7 21 C7 21

C2 10 5 P(X=4)=C2=21. 7 所以随机变量 X 的分布列为 X P 2 3 4

1 10 10 21 21 21

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超几何分布具有广泛的应用,它可以用来描述产品抽样中 的次品数的分布规律,也可用来研究我们熟悉的不放回摸球游 戏中的某些概率问题.在其分布列的解析表达式中,各个字母 的含义在不同的背景下会有所不同.

超几何分布的理论基础是古典概型.

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(2011 年江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一 项测试,以便确定工资级别,公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对,则月工资定为 3 500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2 800 元;否则月工资定为 2 100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有 鉴别能力.
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(1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 【思路启迪】 (1)由题意知,X 服从超几何分布;(2)由分 布列求工资的期望.

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【解】 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,
i Ci4C4 4 P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4),则 C8


X

0

1

2

3

4

1 8 18 8 1 P 70 35 35 35 70

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(2)令 Y 表示此员工的月工资, 则 Y 的所有可能取值为 2 100, 1 2 800,3 500,则 P(Y=3 500)=P(X=4)=70, 8 P(Y=2 800)=P(X=3)= , 35 53 P(Y=2 100)=P(X≤2)=70, 1 16 53 E(Y)=3 500×70+2 800×70+2 100×70=2 280, 所以此员工月工资的期望为 2 280 元.

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对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应 用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量 为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典 概型.

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某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生,4 名女生,从中选出 4 人参加数学竞赛考试,用 X 表示其中的男 生人数,求 X 的分布列.

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解:依题意,随机变量 X 服从超几何分布,
4 k Ck C 6 4 所以 P(X=k)= C4 (k=0,1,2,3,4).


10

4 3 C0 1 C1 4 6C4 6C4 ∴P(X=0)= C4 =210,P(X=1)= C4 =35, 10 10 2 1 C2 C3 8 6C4 3 6C4 P(X=2)= C4 =7,P(X=3)= C4 =21, 10 10 0 C4 1 6C4 P(X=4)= C4 =14. 10

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∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 4

1 4 3 8 1 P 210 35 7 21 14

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(对应学生用书 P205) 易错点 对随机变量的意义理解不清致误

某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9.如果命中就 停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数 X 的分布列.

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【错解】 P(X=1)=0.9;P(X=2)=0.1×0.9=0.09; P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009; P(X=4)=0.13×0.9=0.000 9; P(X=5)=0.15=0.000 01.

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【错因分析】 X=5 时,应包含两种情形:一是前 4 发都 没有命中,恰好第 5 发命中,概率为 0.14×0.9;二是这 5 发子 弹均未命中目标,概率为 0.15,因此 P(X=5)=0.14×0.9+0.15 =0.000 1 或 P(X=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1, 之所以发生 P(X=5)=0.15 或 P(X=5)=0.14×0.9 等错误, 原 因是对分布列性质不理解,分布列中概率和应为 1.

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【正确解答】 P(X=1)=0.9,P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)=0.1×0.1×0.1×0.9=0.000 9, 当 X=5 时, 只要前四次射击不中的都要射第 5 发子弹, 第 5 发子弹可能射中也可能射不中. ∴P(X=5)=0.15+0.14×0.9=0.14. ∴耗用子弹数 X 的分布列为

X 1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1
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准确无误地找出随机变量的所有可能取值,并计算出随机 变量每一个取值的概率是写出分布列的关键.在分布列中,各 个概率的和为 1,对分布列的性质不理解是发生错误的重要原 因.

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一个袋中有一个白球和 4 个黑球,每次从中任取一个球, 每次取出的黑球不再放回去,直到取得白球为止,求取球次数 的分布列.

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解:设取球次数为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,5,
1 2 1 1 A4 1 A4 1 P(X=1)= 1= ,P(X=2)= 2= ,P(X=3)= 3= ,P(X A5 5 A5 5 A5 5 4 A3 1 A 1 4 4 =4)= A4=5,P(X=5)=A5=5, 5 5

∴随机变量 X 的分布列为: X 1 2 3 4 5 P 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5

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求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 ξ 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出 ξ 取各个值 的概率.

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(对应学生用书 P206) 1.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 A.0 1 C. 3 1 B. 2 2 D. 3 ( )

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解析:“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功, 设失败率为 p,则成功率为 2p. 则 X 的分布列为 X 0 1

P p 2p 1 ∴由 p+2p=1 得 p=3.
答案:C
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1 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?, 2 则 P(2<X≤4)等于 3 A. 16 1 C.16 1 B.4 5 D.16 ( )

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解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4) 1 1 3 =23+24=16.
答案:A

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3.从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中,不放回地 任取 3 件,则取得次品数为 1 的概率为 32 A. 35 3 C. 35
2 C1 C 2 13 12 =1)= C3 =35. 15

(

)

12 B.35 2 D. 35

解析:设取得的次品数为 X,则 X 服从超几何分布,P(X

答案:B
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4.(2012 年潮州一模)设 X 是一个离散型随机变量,其分布 列为: X -1 0 1

P 0.5 1-2q q2 则 q 等于________.

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解析:由分布列的性质得 ?0≤1-2q<1, ? 2 0 ≤ q <1, ? ?0.5+1-2q+q2=1 ? 2 2- 2 ∴q=1- = . 2 2
2- 2 答案: 2

1 ? ?0<q≤2, ?? ?q=1± 2. 2 ?

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5.袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取 出的可能性都相等,用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字, 求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 X 的分布列; (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.

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1 1 1 C3 C 2 5 2C2C2 记为 A,则 P(A)= = . C3 3 10

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解:(1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件

(2)随机变量 X 的可能取值为 2,3,4,5,取相应值的概率分别 C3 1 4 为 P(X=2)=C3 =30, 10
2 2 1 C1 C C 2 2 4 2C 4 P(X=3)= C3 + C3 = 15, 10 10 2 2 1 C1 3 2C6 C 2C 6 P(X=4)= 3 + 3 = , C10 C10 10 2 2 1 C1 C C 8 2 8 2C 8 P(X=5)= C3 + C3 = 15. 10 10

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∴随机变量 X 的分布列为 X 2 3 4 5 1 2 3 8 P 30 15 10 15 (3)由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,所以当计分介 于 20 分~40 分时,X 的取值为 3 或 4,所以所求概率为 2 3 13 P=P(X=3)+P(X=4)=15+10=30.

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