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山东省平阴县2017届高三数学下学期开学考试试题理


山东省平阴县 2017 届高三数学下学期开学考试试题 理
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰.超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项正确. (1)如果全集U=R,A={x|x -2x>0},B={x|y=ln(x-1)},则A ? CU B ? (
2

) (D) (-∞,0) )

(A) (2,+∞) (B) (-∞,0)∪(2, +∞)
2

(C) (-∞,1]∪(2, +∞)

(2)复数 z 满足 z=(5+2i) ,则 z 的共轭复数在复平面上对应的点位于( (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 )
2 2

(D) 第四象限

(3)执行右图的程序框图,输出的 S 的值为( (A) ?1 (B) 0 (C) 1

(D) ?1 ?

(4)下面是关于向量的四个命题,其中的真命题为(



p1 : 同一组基底下的同一向 量的表现形式是唯一的 。

p2: a // c是(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)的充分条件。
p 3 : 在?ABC 中,若 AB ? BC ? 0,则 ?ABC 为钝角三角形。

3 p4 : 已知 a ? 2 ,向量 a 与 b 的夹角是 ? ,则 a 在 b 上的投影是 2 。 4
(A) p1 , p2 (B) p2 , p3 (C) p? , p? (D) p? , p?

(5)某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形, 则该三棱锥外接球的表面积为( (A)50 ? (B) 50 2 ) (C) 40 ? (D) 40 2

?

?

2 (6)已知随机变量 X 服从正态分布 N 3, ? , 且 P ? X ? 4? ? 0.84 , 则 P ? 2 ? X ? 4? ?

?

?

(A) 0.84

? x ? y ? 2 ? 0, ? 2 ( ) a ? 0) 为奇函数,设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, (7)若函数 y ? ln( ax ? x ? 1 ? y ? 1, ? 则目标函数 z=ax+2y 的最小值为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(B)

0.68

(C) 0.32

(D) 0.16

1

(8)函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是(



(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

(B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

(9) 如图, 将绘有函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ( ? ? 0, 面角,若 AB 之间的空间距离为 15 ,则 f ? ?1? ? ( (A) ? 1 (B) 1 (C) ? 3 (D)

?
2

? ? ? ? )部分图象的纸片沿 x 轴折成直二



3

(10)若函数 f ( x) ? e x ( x2 ? 2x ? 1 ? 2a) ? x 恒有 两个零点,则 a 的取值范围为( (A) ?0,1? (B)



?? ?,1?

(C) ( ?? ,

1 ) 2e

(D) (

1 ,?? ) 2e
. .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (11) ( x ? y ? 3) 展开式中不含 y 的各项系数之和为
3

(12)曲线 f ? x ? ?

2 ? 3 x 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为 x

(13)已知平面向量 a 与 b 的夹角为

? , a ? 1, 3 , a ? 2b ? 2 3 ,则 b ? 3
x , y ? x2 (0 ? x ? 1)

?

?

.

(14)如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 y ?

围成,在正方形内随机取一点,且此点取自阴影部分的概率是 a,

?log3 x( x ? a) ? 则函数 f ? x ? ? ? 1 x 的值域为 ( )( x ? a) ? ? 3

.

x2 y 2 P与 (15)已知 F 1 ,F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点 a b
2

点 F2 关于直线 y ?

bx 对称,则该双曲线的离心率为 a

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且 sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C .(1)求 B 的大小;
2 2 2

A

B

D
图)

C

(2)设 ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D , AD ? 2 3 , BD ? 1,求 sin ?BAC 的值. (第 16 题)

(17)(本小题满分 13 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,一等奖 500 元,二等奖 200 元, 三等奖 10 元.抽奖规则如下;顾客先从装有 2 个红球、4 个白球的甲箱中随机摸出两球,再从装有 1 个红球、2 个黑球的乙箱随机摸出一球,在摸出的 3 个球中,若都是红球,则获一等奖;若有 2 个 红球,则获二等奖;若三种颜色各一个,则获三等奖,其它情况不获奖. (I)设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为 X,求 X 的分布列和数学期望; (II)若某个时间段有三位顾客参加抽奖,求至多有一位获奖的概率.

(18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, 面PAB ? 面ABCD , PA ? PB ? 3 ,且四边形 ABCD 为菱形,

P
AD ? 2 , ?BAD ? 600 .
(1)求证: AB ? PD ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值。

B

C
3

A

D

(19)(本小题满分 12 分)
n ?3 n ? N * 构成等比数列. 已知函数 f ? x ? ? 4x ,若 4, f ? a1 ? , f ? a2 ? , ???, f ? an ? , 2

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1 ?b ? ? , n为偶数, (Ⅱ)设 bn ? ? n 求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? an ? ? ?n ? 2, n为奇数,

(20)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 、 B 都在椭圆 C 上,且 AB 中点 M 在线段 OP (不包括端点)上.求 ?AOB 面积的最 大值.
2 x2 y 2 ,且点 P(2,1) 在椭圆 C 上. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b

(21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln x.

4

(1)判断函数 g ? x ? ? af ? x ? ?

1 的单调性; x

(2)若对任意的 x>0,不等式 f ? x ? ? ax ? ex 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1 ? x2 ? 0 ,求证:

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2x ? 2 2 2. x1 ? x2 x1 ? x2

5

高三检测试题数学(理科)答案 2017、2 一、选择题:CDBAA BBCDC 15. 二、填空题:11.64 ;12.y=x+4 ; 13. 2 ; 14. 16? ?? 1 , ? ?? ; 三、(16)解:(1) sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C
2 2 2

5;

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac
? cos B ? a 2 ? c2 ? b2 ac 1 ?? ?? 2ac 2ac 2

………2 分 ………4 分 ………5 分 ………6 分

? B ? (0, ? )

2 ?B ? ? 3
(2)在 ?ABD 中,由正弦定理:

AD BD ? sin B sin ?BAD
………8 分

3 1? BD sin B 2 ?1 ?sin ?BAD ? ? AD 2 3 4

?cos ?BAC ? cos2?BAD ? 1 ? 2sin 2 ?BAD ? 1 ? 2 ?
7 15 ? sin ?BAC ? 1 ? cos 2 ?BAC ? 1 ? ( ) 2 ? 8 8

1 7 ? 16 8

………10 分

………12 分

6

(18)(1)证:取 AB 边中 点 G,连接 PG,DG,DB。 ∵ PA ? PB ? 3 ∴ PG ? AB ………2 分

0 又∵四边形 ABCD 为菱形且 ?BAD ? 60 ∴ ?ABD 为等边三角形 ∴ DG ? AB

又∵ PG ? DG ? G

∴ AB ? 面PGD ………5 分

P

又∵ PG ? 面PGD ∴ AB ? PD (2)又∵ PG ? AB , 面PAB ? 面ABCD , 且 面PAB ? 面ABCD ? AB ∴ PG ? 面ABCD

B
G

C

A
………6 分

D

∴以 G 为原点,GA,GD,GP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 ∴G(0,0,0), P(0,0, 2 ) , C(?2, 3,0) , D(0, 3,0) ∴ PC ? (?2, 3,? 2 ) , PD ? (0, 3,? 2 ) ∵ 面PAB ? 面ABCD ,且 面PAB ? 面ABCD ? AB, DG ? AB ∴ DG ? 面PAB ∴ GD 为 面PAB 的法向量,且 GD ? (0, 3,0) 设 n ? ( x1, y`, z1 ) 为 面PCD 的法向量,则 ? G

z

P

B A
x
………8 分

C D

y

?? 2 x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0
………10 分

令 z1 ? 3 ,则 y1 ?

2 ,且 x1 ? 0
GD ? n GD ? n ? 6 3? 5 ? 10 5

∴ n ? (0, 2, 3) ∴ cos ? GD, n ??

又平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的平面角的余弦值为 分 (19)解:(Ⅰ)∵ 4, f ? a1 ? , f ? a2 ? , ???, f ? an ? ,2 ∴ 则
n?3

10 ……12 5

成等比数列,其公比设为 q .
2

2n?3 ? 4 ? qn?

?



1





7

q ? 2 .……………………………………………………………………………2 分
∴ …………………………………………………………………………… f ? an ? ? 4an ? 4 ? 2n?1?1 ? 2n?2 , 4分 ∴ an ?

n?2 .…………………………………………………………………… 2

………………………………5 分 (Ⅱ)设

bn ? cn , an

则 n 为偶数时, cn ? 6分 ∴

1 1 1 ;n 为奇数时, ……………………………………… ? ? cn ? 2 . n ? n ? 2? n n ? 2

1 ?1 , n为偶数, ? ? ………………………………………………………………………………… cn ? ? n n ? 2 ? ?2, n为奇数
7分 当 n 为偶数时, Sn ? ? c1 ? c3 ? c5 ????? cn?1 ? ? ? c2 ? c4 ????? cn ?

1 1 1 1 1 1 ? n ?1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? n ? 2 ? n ? 2 ? n ? 2 .……… 9 n n?2? ?2 4 4 6
分 当 n 为奇数时, Sn ? Sn?1 ? cn?1 ……………………………………………………10 分

1 1 1 ? 3 1 ? 1 . ………………………………………………… ? n ?1? ? ?? ? ? ? n? ? 2 n ? 3 ? n ?1 n ? 3 ? 2 n ?1
……11 分

1 ? 1 n? ? , n为偶数, ? ? 2 n?2 Sn ? ? 综上, ……………………………………………………………………… ?n ? 3 ? 1 , n为奇数. ? 2 n ?1 ?
12 分
8

? c 2 ?e ? ? a 2 ? 1 ?4 (20)解:(1)由题意得: ? 2 ? 2 ? 1 b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
?a ? 6 x2 y2 ? ? ?1 ?? 所以椭圆 C 的方程为 6 3 ? ?b ? 3

………2 分

………4 分

(2)①法一、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的斜率为 k

? x12 y12 ? ?1 ? ? 6 3 则? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 6

?

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ?0 6 3

2 x0 2 y0 ? ?k ? 0 6 3 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 ?
所以 k ? ?1

………6 分

………8 分

法二、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6
由题意, ? ? 0

4k ( y0 ? kx0 ) 1 ? 2k 2 2k ( y0 ? kx0 ) ? x0 ? ? 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 1 2k ( ? k ) 2 ? 1 ? k ? ?1 所以 ? 1 ? 2k 2
所以 x1 ? x2 ? ?

………6 分

………8 分

法三、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m

9

? y ? kx ? m ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6
由题意, ? ? 0

4km 1 ? 2k 2 2km (i) ? x0 ? ? 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 (ii ) 2 2
所以 x1 ? x2 ? ?

………6 分

M 在直线 AB 上? y0 ? kx0 ? m (iii )
解 (i) (ii ) (iii ) 得: k ? ?1 设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? m , m ? (0,3) ………8 分

? y ? ?x ? m ? ? 3x 2 ? 4mx ? 2m2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?6

? ?? ? 0 ? 4m ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 2 ? 2m ? 6 ? x1 x2 ? 3 ?
所以 AB ? 1 ? (?1)2 | x1 ? x2 |? 原点到直线的距离 d ?

………9 分

4 9 ? m2 3
………10 分

|m| 2

? S?OAB ?

14 |m| 2 3 2 9 ? m2 ? ? (9 ? m2 )m2 ? 23 3 2 2

3 2 ? (0,3) 时,等号成立 . 2 3 2 所以 ?AOB 面积的最大值 . 2
当且仅当 m ? (21) 解:(1)∵ f ( x) ? ln x ,∴ g ( x) ? a ln x ? 故 g ?( x ) ?

………13 分

a 1 ax ? 1 ? ? 2 x x2 x

1 , x

…………………………………………………………2 分

因为 x ? 0 ,所以当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;

10

当 a ? 0 时,当 x ? (0, ? ), g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增, 当 x ? (?

1 a

1 , +?), g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; a

……………………………4 分

(2)∵对任意 x ? 0 ,不等式对任意的 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ax ? e x 恒成立,



ln x ex ln x ex x ? 0 在 上恒成立,进一步转化为 ?a? ( )max ? a ? ( )min ,……5 分 x x x x

ln x 1 ? ln x ) 时, h?( x) ? 0 ,∴ , h?( x) ? ,当 x ? (0,e) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (e,+ ? x x2 1 当 x ? e 时, hmax ( x) ? . ………………………………………7 分 e
设 h( x ) ? 设 t ( x) ?

ex xe x ? e x e x ( x ? 1) ,当 x ? (0,1) 时, t ?( x) ? 0 , , t ?( x) ? ? x x2 x2

当 x ? (1, +?) 时, t ?( x) ? 0 ,所以 x ? 1 时, tmin ( x) ? e ,…………………………9 分 即

1 1 ? a ? e ,所以实数 a 的取值范围为 [ , e] ……… ………………………………10 分 e e

(3)当 x1 ? x2 ? 0 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2x x ? 2 2 2 等价于 ln 1 ? .………11 分 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 ( x1 ) 2 ? 1 x2

2?

x1 ?2 x2

令t ?

x1 2t ? 2 (t 2 ? 1)(t 2 +2t ? 1) ? u ( t ) ? ln t ? u ( t ) ? ,则 , ? 1 ,设 x2 t2 ?1 t (t 2 ? 1)2

∵当 t ? 时, t 2 ?1 ? 0, t 2 +2t ?1 ? 0 ,∴ u?(t ) ? 0 ………………………13 分 ( 1, ? ?) ∴ u(t ) 在 上单调递增,∴ u(t ) ? u(1)=0 , ( 1, ? ?)



f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2x ? 2 22. x1 ? x2 x1 ? x2

………… ……………………………………………14 分

11


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