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北师大版必修一复习复合函数


复合函数初步

复合函数:
如果y是u的函数,而u又是x的函数, 即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数 y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u 叫做中间变量.
注意:若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域为B, 则必须满足B ? A

求复合函数的定义域
(1)已知函数y=f(x)的定义域,求它的 复合函数f[g(x)]的定义域. 我们知道函数 f(x)? 1 ? x 2 的 定义域为____________, {x|-1≤x≤1} {x|-2≤x≤0} 则f(x+1)的定义域为___________.

训练:已知f(x)的定义域是[-1,4],求 g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域.

{x|-2≤x≤2}

说明:
函数的定义域是指自变量x的取值 范围, 所以对于g(x)=f(x+1)+f(1-x) 的定义域,应设x+1,1-x的取值范围满 足y=f(x)中的x的取值范围.

结论:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域应有不等 式a≤g(x)≤b解出x即得.

求复合函数的定义域
(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域, 求原函数y=f(x)的定义域. 我们知道函数f(x ? 2)? x(1? x) 的定义域为____________, {x|0≤x≤1} 则f(x)的定义域为___________. {x|2≤x≤3} 训练:已知f(x+1)的定义域是[-1,4],求 f(x)的定义域. x∈[0,5]

结论:
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其 复合函数f[g(x)]的定义域,应由不 等式a≤g(x)≤b解出x即得. (2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为 [a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应

求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得
y=f(x)的定义域.

练习:

(1)设函数f(x)的定义域是[0,2],求函 数f(x2)的定义域. (2)已知y=f(2x+1)定义域是[0,1],求 y=f(x)的定义域. (3).已知f(x2)的定义域是[-1,1],求 函数f(x)的定义域.

(1) [? 2 , 2 ]

(2) [1,3]

(3) [0,1]

求复合函数的值域
例1求下列函数的定义域、值域: ⑴
y ? 0.4
1 x ?1



y?3

5 x ?1



y ? 2 ?1
x

解:(1)由x-1≠0得x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 由 1 ? 0 ,得y≠1
x ?1

所以,所求函数值域为{y|y>0且y≠1}

y ? 0.4

1 x ?1
1 ?t x ?1

说明:对于值域的求解,可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}

0.4

t

(t ? 0)
6

5

4

3

2

1

-4

-2

2

4

6

-1

⑵ y?3 解:(2) 由5x-1≥0得

5 x ?1

1 x? 5 1? ? x|x? ? 所以,所求函数定义域为 ?
? 5?



5 x ? 1 ? 0 得y≥1

所以,所求函数值域为{y|y≥1} ⑶

y ? 2 ?1
x

解:(3)所求函数定义域为R


2 ?0
x

可得

2 ?1 ? 1
x

所以,所求函数值域为{y|y>1}

练习:

求下列函数的定义域和值域:
⑴ y ? 1? a 当 a ?1 时 , ∵
ax ? 0 ∴
x



解:⑴要使函数有意义,必须 1 ? a ? 0

1 y?( ) 2 x

1 x ?3

x ? 0 ;当

0 ? a ? 1时 ,

? a ?1 x?0
x

∴值域为 { y | 0 ? y ? 1} 0 ? 1? a x ? 1

⑵要使函数有意义,必须 x ? 3 ? 0


?

x ? ?3

1 ?0∴ x?3

1 x ?3 1 0 y ? ( ) ? ( ) ?1 2 2

1

又∵

y?0

∴值域为

(0,1) ? (1,??)

练习:

1. (1)若函数f(x)的定义域为(0,1),则 f ( 2 的定义域为_________. 1 2 x ?1 ? 的定义域为 (2)函数 y ? 3 9 ________.
x

?x

)

a ?1 2.求函数y ? x    ? 0, 且a ? 1) (a a ?1  的定义域、值域.

练习:

1 求函数 f ( x) ? 1 ? 2 的定义域和值域.
x

2 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 的值域 是(12, ??) ,求f(x)的定义域.
x

x?2

3 已知关于x的方程 2 ? m ? 1 有 实根,求实数m的取值范围.
4.当x>0时,函数 f ( x ) ? (a ? 1) 的值 总大于1,则实数a的取值范围是___.
2 x

?| x|

复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数

则 增函数 增函数 y=f[g(x)]
规律:

当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;
当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数

“同增异减”

1 x 2 ?3 x ? 2 例:求函数 f ( x) ? ( ) 的单调性. 2
解:设
1 u u ? x ? 3x ? 2 ,f (u ) ? ( ) 2
2

.

f(u)和u(x)的定义域均为R

因为,u在

1 u 而 f (u ) ? ( 2 ) 在R上是减函数, 1 x 2 ?3 x ? 2 3? ? f ( x) ? ( ) ? ? ?, ? 上是增函数, 所以, 在 ? 2? 2

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

上递减,在

?3 ? ,?? ? ?2 ? ?

上递增.



?3 ? ,?? ? ?2 ? ?

上是减函数.

例:求
解:

y?3
u

x 2 ? 2 x ?1

的单调区间.

设 y ? 3 ,u=x2-2x-1,由u∈R, 得原复合函数的定义域为x∈R. u 因为 y ? 3 在定义域R内为增函数, 所以由二次函数u=x2-2x-1的单调性易知 u=x2-2x-1=(x-1)2-2在x≤1时单调减, 由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u减) 解得x≤1.所以(-∞,1]是该复合函数的单 调减区间. 同理[1,+∞)是该复合函数的单调增区间.

练习: 求函数 f ( x) ? x ? x ? 6 的单调区间.
2

答案:

(-∞, -3]单减区间
[2,+∞)单增区间

注意:求单调区间时,一定要先 看定义域.

?复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断:
(1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;

(2) 确定函数的定义域;
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性; (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增 函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为增函 数; (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个 是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数 y=f[g(x)]为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”。

训练:求下列函数的单调区间 : (1) y ? a
x ? 2 x ?3
2

   ? 0, 且a ? 1) (a

1 (2) y ? . x 0.2 ? 1

复合函数的奇偶性 x a ?1 1.判断函数f ( x) ? x    ? 0且 (a a ?1 a ? 1)的奇偶性.

a ?1 2.判断函数f ( x) ? x ? x (a ? 0且 a ?1 a ? 1)的奇偶性.
x
函数的奇偶性: 类比:

奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 奇+偶=(不确定)

负+负=负 正+正=正 负×负=正 正×正=正 负×正=负 负+正=(不确定)

2 已知函数f ( x ) ? a ? x (a ? R ), 2 ?1 (1)求证 : 对任何a ? R, f ( x )为增函数; ( 2)当f ( x )为奇函数时, 求a的值.

1、函数y=2

x2-2x+3

[4,+∞) 的值域是______

分析:因为x2-2x+3= (x-1)2+2≥2,函数y=2x为增函数。

2、函数y=2

-x2+2x-1

的减区间是______

[1,+∞)

10 x ? 10 ? x 3.讨论函数f(x)= 10 x ? 10 ? x 的奇偶性和单调性

分析:函数的定义域为R

10 x ? 10 ? x 10 ? x ? 10 x (1) ∵f(-x)= ? x =- x ? x=-f(x) x 10 ? 10 10 ? 10

2 10 2 x ? 1 (2)设x1,x2∈R,且x1<x2 ∵f(x)= =1- 2x 10 2 x ? 1 10 ? 1 2 2 则 f(x1)-f(x2)=(1- 2 x1 )-(1- 2 x ) 2 10 ? 1 10 ? 1


∴ f(x)在R上是奇函数

2 10
2 x2

?1



2 10 2 x1 ? 1 =

2(10 ? 10 ) (10 2 x1 ? 1)(10 2 x2 ? 1)
2 x1 2 x2

∵ x1<x2

∴上式的分子小于0,分母大于0
故函数f(x)大R上是增函数。

即:f(x1)<f(x2)

作业:

2 ?1 已知函数 f ( x) ? x 2 ?1
x

(1)确定f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性; (3)求f(x)的值域.


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