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高考数学常用方法:分类讨论思想


引言
分类讨论思想是一种基本的逻 辑思维,也是解决中学数学教学问 题的重要思想方法,它是考查我们 学生综合能力的主要内容之一,也 是近年来高考的热点,它更是我们 在高考中的得分点之一。

思想方法解读
分类讨论思想 我们在解决问题过程中,经常会遇到不 能用一种标准、同一种运算、或同一个类型、 或同一个定理、或同一种方法去解决问题, 因而会出现多种情况,这就需要分成若干个 局部的问题去解决,这就是分类讨论的思想。 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数 学思想,其实质是“化整为零,各个击破, 再积零为整”

引起分类讨论的原因
(1)由数学概念而引起的分类讨论;
(2)由定理、公式、性质的限制引起 的分类讨论; (3)由运算而引起的分类讨论;

引起分类讨论的原因
(4)由参数的变化而引起的分类讨论;

(5)由图形的不确定性引起的分类讨论;
(6)其他根据实际问题具体分析而引起的 分类讨论。

(1)由数学概念而引起的分类讨论
绝对值的定义 “二次”问题

二次项系数是否为0?正、负?对称轴位置?△?
直线的倾斜角、斜率

直线的截距式

指、对数函数问题.

(2)由定理、公式、性质的限制引起 的分类讨论;
一次函数、二次函数、指、对数函数的单调 性,均值定理、等比数列的求和公式等性质、定 理与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在 一定的限制条件下才成立,这时要小心,应根据 题目条件确定是否进行分类讨论。

(3)由运算而引起的分类讨论;
(1)解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零, 是正数,还是负数的讨论 (2)解二次不等式中两根大小的讨论 (3)求函数单调性时,导数值的正负的讨论 (4)排序问题、差值比较中差的正负的讨论 (5)有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨 论

(4)由参数变化引起的分类讨论
如果某些含有参数的问题,由于参数值的
取值不同会导致所得结果的不同,或者由于不

同的参数值要运用不同的求解或证明方法,则
必须根据题意合理分类。 含有参数的不等式求解;含有参数的方程

求解;含有参数的函数的单调性、极值(最值)
问题。解题思路为:结合参数的意义及对结果

的影响进行分类讨论。

分类讨论的步骤
(1)确定分类讨论的对象:即对哪个参数进行 讨论; (2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时 要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越 级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步 解决; (4)归纳总结:将各类情况归纳总结。

自主探究、自我完善
1 y ? x ? (-∞,-2]∪[2,+∞) 1.函数 x 的值域是_________。

2.若函数 y ? log a x 在区间 [a,2a] 上的最大值是
2 或 4 最小值的 3 倍,则 a 的值为 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2 m
n

8 1 3 或 3 2 2 ,则 m=______

(?1) n ?1 n ? N ? 恒成立, 4.若不等式 (?1) a ? 2 ? 对 n

3 [ ? 2, ) 则实数 a 的取值范围是 2

练习1变题
a 求函数 y ? x ? x (a ? 0) 在[1,2]上的最小值

谈谈你的解题思路?
y

o

a

1

a

2

a

x

2.若函数
解:

y ? loga x 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小

值的 3 倍,则
当 a >1 时, 函数

a 的值为

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y ? loga x 在区间 [a,2a] 上单调递增

3 log 2 a ? 3log a ? 2 a ? a ?a ? 2 由题意: a a

当 0< a <1 时, 函数

y ? loga x 在区间 [a,2a] 上单调递减
3

2 由题意: log a a ? 3log a 2a ? a ? (2a) ? a ? 4 2 综上: a ? 4 或 a ? 2

函数的性质而引起的分类讨论

自主探究、自我完善:

x2 y2 3.已知椭圆 2 ? m ? 1 的离心率为
1 又e= ,所以 2

1 2

,则 m=________

[解析]当椭圆的焦点在x轴上时,a2=2,b2=m,则c2=2-m,

当椭圆的焦点在y轴上时, a2=m,b2=2,则c2=m-2,又e=
1 2

所以
[点评]本题主要考查椭圆的方程及其性质,椭圆的方程 虽然是标准形式但由于焦点位置未定所以要讨论.

图形的不确定性引起的分类讨论

自主探究、自我完善:
n ?1 ( ? 1) n ? ( ? 1) a ? 2 ? n ? N 4.若不等式 恒成立, n 对

则实数 a 的取值范围是

解:

1 ? 当 n 为奇数时,可化为: ? a ? 2 ? 对 n ? N (n≥1)恒成立, n

1 ? 2 ? 2 ? ? 3 ??a ? 2  即:a ? ?2 n 1 ? a ? 2 ? n ? N 当 n 为偶数时,可化为: 对 (n≥2)恒成立,
n

3 1 3 ? ? 2 ? ? 2 ?a ? 2 2 n
3 综上可得: ?2 ? a ? 2

由运算而引起的分类讨论

例题讲解1 2 S ? 32 n ? n a ? ? 例 1.已知数列 n 的前 n 项的和 n ,求数列 ?| an |?
的前 n 项的和 Tn 解:由 Sn ? 32n ? n2 得:

当 n=1 时, S1 ? a1 ? 31; 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 33 ? 2n 所以: an ? 33 ? 2n

(n ? N ? )

33 an ? 33 ? 2n ? 0得n ? ? n ? N ? ? n ? 16 由 2

a1 ? an ? n ? 16时,Tn ? n ? 32n ? n 2 2 n ? 17时,Tn ? 2S16 ? S n ? n 2 ? 32n ? 512
2 ? 32 n ? n (n ? 16) ? 综上: Tn ? ?n 2 ? 32n ? 512(n ? 16) ? ?

例题讲解2 3 2 例 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 4 的定义域和值域 都为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值

3 2 3 2 f ( x ) ? x ? 3 x ? 4 ? ( x ? 2 ) ?1 ? 1 分析: 4 4

y 4

1 0 2 x

3 2 例 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 4 的定义域和值域 都为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值

3 2 3 2 f ( x ) ? x ? 3 x ? 4 ? ( x ? 2 ) ?1 ? 1 解: 4 4

? f ( x)的值域为 [a,b]

?a ? 1

①当 1 ? a ? 2 ? b时,  ? f ( x) min ? 1

?a ? 1

3 2 例 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 4 的定义域和值域 都为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值

③当 1 ? a ? b ? 2时,f ( x)在[a,b]上单调递减

例2变题

3 2 例 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 4 的定义域和值域 都为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值
3 2 已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 5 的定义域和值域都为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值
3 2 已知不等式 a ? 4 x ? 3x ? 5 ? b 的解集为 [a,b] ,

变题1

变题2
其中 a, b 是常数,求 a ? b 的值

本题和例2一样吗?

3 2 变题1 已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3x ? 5 的定义域和值域都 为 [a,b] ,其中 a, b 是常数,求 a, b 的值。

解: y
b a

当2 ? a ? b时,f ( x)在[a,b]上单调递增 3 2 ? f (a) ? a ? 3a ? 5 ? a ? ? 4 ?? ? f (b) ? 3 b 2 ? 3b ? 5 ? b ? 4 ?
a b

3 2 3 f ( x) ? x ? 3x ? 5 ? ( x ? 2) 2 ? 2 ? 2 4 4

2

?a ? 2 ? 解得: 10 ? b? ? 3 ?

本题中,利用二次函数的图象,避免了分类讨论!
0
2 x

3 2 变题2 已知不等式 a ? 4 x ? 3x ? 5 ? b 的解集为 [a,b] ,

其中 a, b 是常数,求 a ? b 的值

y b a a 1 0 a 2 b x 4

感悟反思
解决分类讨论问题需要注意的几个问题 没有无缘无故的分类 寻求思路时要牢记三个“W” 为什么要讨论? Why? 讨论的对象是什么? What?
怎样分类讨论? How? 解题过程中要做到: (1).知识背景----清 (2).分类依据----明 (3).不重不漏,有化有归


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