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讲义22:反三角函数的图像和性质


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号_

学员编号: 学员姓名:

年 级:高一 辅导科目:数学

课 时 数:3 学科教师:





反三角函数的图像和性质

授课日期及

时段 理解反三角函数的概念,掌握符号 arcsin x 、 arccosx 和 arctan x 的的含义,并会用以表示 角;知道反三角函数的图像,并能形数结合掌握反三角函数的性质。

教学目的

教学内容

**完成上次讲义的内容**

强化训练
已知 f ( x) ? sin( x ?

?

), g ( x) ? cos( x ? ) ,则 f ( x) 的图像 ( 2 2

?



A.与 g ( x) 图像相同 C. 向左平移

B. 与 g ( x) 图像关于 y 轴对称 D. 向右平移

? 个单位,得 g ( x) 图像 2

? 个单位,得 g ( x) 图像 2


函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? ? 0, ? ? A. y ? ?4 sin( C. y ? ?4 sin(

?

?

2

? ?
8 8

x? x?

? ?
4

) )

, x ? R ? 的部分图像如图所示,则函数表达式为( y ? ? B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 4
D. y ? 4 sin(

?

4

8

x?

?

4

)
?2 O ?4

6

x

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1

中小学 1 对 1 课外辅导专家 电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 I ? A sin(?t ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的图像如右图所示,则当

t?

1 秒时,电流强度是 ( 100
B、 5 安 D、 10 安



A、 ? 5 安 C、 5 3 安

设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称是直线 x ? (1)求 ? ; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。

?
8

.

设 函 数 f ? x ? ? 1 ? 2a ? 2a cos x ? 2sin2 x 的 最 小 值 为 g ( a ) . ⑴ 求 g ( a ); ⑵ 求 使 g(a) ?
1 的 a 的 值 及 此 时 f(x)的 最 大 值 2

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2

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一、知识梳理
反正弦函数 1、反正弦函数的定义 函数 y=sinx,x∈[-

? ? , ]的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,x∈[-1,1] 2 2
? 2 1 y y=arcsinx y=x

2、反正弦函数的性质 ① 图像 ② 定义域[-1,1] ③ 值域[-

y=sinx

? ? , ] 2 2

o

1

? 2

x

④ 奇偶性:奇函数,即 arcsin(-x)=-arcsinx,x∈[-1,1] ⑤ 单调性:增函数 注: (1)arcsinx 是一个完整的记号 (2) y ? arcsin x 中自变量满足 x ?? ?1,1? ,当 x ? 1时,函数无意义 (3)arcsinx 表示一个角, arcsin x ? ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

反余弦函数:

反正切函数:

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3

中小学 1 对 1 课外辅导专家 反三角函数式的恒等式:

sin(arcsin x ) ? x,x ?? ?1,1? cos(arccos x ) ? x,x ?? ?1,1?

sin(arccos x ) ? 1 ? x 2 ,x ?? ?1,1? cos(arcsin x ) ? 1 ? x 2 ,x ?? ?1,1?

?? ? ? arcsin(sin ? ) ? ?,? ? ?? , ? 2? ? 2
arcsin(? x) ? ? arcsin x
arcsin x ? arccos x ?

arccos(cos? ) ? ?,? ??0,? ?
arctan( ? x) ? ? arctanx

arccos( ? x) ? ? ? arccosx
arctgx ? arcctgx ?

?
2

?
2

二、例题解析 1 例 1 函数 y ? arcsin 2

x ? 1 的定义域为_______,值域为________
3? ? ?? , ? 的反函数为( 2? ?2 )

例 2 函数y ? sin x,x ? ?

A. y ? arcsin x,x ???1,1? C. y ? ? ? arcsin x,x ???1,1?
巩固训练

B. y ? ? arcsin x,x ???1,1? D. y ? ? ? arcsin x,x ???1,1?

1、已知 y ? sin x 与 y ? arcsin x ,下列说法正确的有 ① 互为反函数 ③ 都是奇函数 (A)1 个 2、 arcsin( ? ) = ② 都是增函数 ④ 都是周期函数 (C)3 个





(B)2 个

(D)4 个

1 2

3、函数 y = arcsin( 3 ? x) 的定义域是

4、函数 y ?

1 arcsin(2 x ? 1) 的值域是 2

5、函数 y ? arcsin x , x ? [? ,

1 3 ] 的值域是 2 2
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 6、函数 y ? arccos(x ? x 2 ) 的值域是_________________

7、若 x ∈ [ -

1 1 , ] ,则 y = arccosx 的值域是_________ 2 2

8、 y ? 2 sin?

?x ?? ? 3 ? ? ?在x ? ?? , ? ? 上的反函数为 ?3 6? ? 2 ?

例 3 求下列各式的值

?1? arcsin ? ? sin
?

??
? 6?

? 2 ? arcsin ? ? sin
?

7? ? ? 6 ?

例 4 求下列各式的值

?1? cot ? ? arcsin
?

?

3? ? 2 ? ?

? 2 ? sin ? ? 2arcsin
?

4? ? 5?

(3) sin(arcsin

3 8 ? arcsin ) . 5 17

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5

中小学 1 对 1 课外辅导专家 巩固训练 1、计算: cos[ 2 arcsin( ? )] =

1 3

2、 arcsin sin(

4? ) ? ___________ 3

3、若 0 ? ? ? A、

?
2

,则 arcsin ?cos(

?
2

? ? ) ? + arccos ?sin(? ? ? ) ?等于



) D、 ?

? 2

B、 ?

?
2

C、

?
2

? 2?

?
2

? 2?

4、若 x 满足 0< x <2 ? 且 arccos(sinx) =

? ,则 x 的值为_________ 7

5、若 cos? =-

1 3? ,? ∈ ( ? , ) ,则 ? 用反三角函数表示为___________ 5 2 1 3 1 3 arccos( ? )] =____________ 2 5

6、 cos[ 2 arcsin( ? )] = ________ ; cos[

例 5 函数 y = arccos(x 2 ? x) 的单调递增区间为_________

例 6 不等式 arccos( 2x 2 ? 1) ? arccosx 的解集为__________________

巩固训练 1、已知 ? ? ??

? ? 5? ? , ? ,则 arccos(sin? ) 的取值范围________ ? 6 6?

2、使 arcsin a ? 0 成立的 a 的取值范围是______________。

1 ? x) ? arcsin x 的 x 的取值范围是_______________ 3、满足 arcsin(

4、已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,若 a ? 18, b ? 13, A ? 30 ,则角 B 的值用反三角函数可表
o

示为

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三、总结反思

四、课后训练
1、下列各式中, 正确的是( A. arcsin( ? ) B. arcsin? sin

?
2

) ? ?1 )?

? ?

3 ? 3 ?? ? ? 4 ? 4
1 3 1 3

C. sin(arcsin

?
3

?
3

D. sin[arcsin( ? )] ? ? )

1 ? x) ,则 x 的取值范围是( 2、若 arccosx ? arccos(
A. 0 ? x ? 1 B. 0 ? x ?

1 2

C. 0 ? x ?

1 2

D.

1 ? x ?1 2
( )

3、函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图像如图所示,则 y 的表达式为 2?
2
2 1.5 1

? 10 x ? ? ? 10 x ? ? (A) y ? 2sin ? ? ? (B) y ? 2sin ? ? ? ? 11 6 ? ? 11 6 ?

0.5

?? ? (C) y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? (D) y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

-1

O
-0.5 -1

?
6

2? 3
1 2 3 4 5

-1.5

-2
-2

4、函数 y ? arcsin ? x 的定义域是

?

?

值域是

5、函数 y ? ? arcsin( 1 ? x) 的反函数为

6、函数 y ? 3 arccos

1 ? 2x 的反函数的最大值是_____________ 4

7、计算: tan(

1 1 arccos ) ? _____________ 2 3
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 8、若 x ? [ ?

? 2?
3 , 3

] ,则 arcsin(cosx) 的取值范围是____________

9、用反正弦函数值的形式表示下列各式的 x:

(1)sinx=

? ? 2 ,x∈[- , ]; 2 2 3
3 ,x∈[-π ,0]. 3

(2)sinx=-

? ? 1 ,x∈[- , ]; 5 2 2

(3)sinx=-

10、化简下列各式:

(1)arcsin(sin

? ) 7

(2)arcsin(sin

4? ) 5

(3) sin ?2 arcsin(? )? 5

? ?

3 ? ?

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11、已知函数 (1)求 f(x)的定义域; (2)写出函数 f ( x ) 的值域;



(3)求函数 f ( x ) 的单调递减区间。

12 、已 知 函 数 f ( x ) = sin( ? x + ? ) ( ? >0 , 0≤ ? ≤π) 是 R 上 的 偶 函 数 ,其 图 像 关 于 点 M (

3? 4

, 0) 对 称 ,

且 在 区 间 [0,

? ]上 是 单 调 函 数 , 求 ? 和 ? 的 值 。 2

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