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高中数学竞赛讲义二


高中数学精神讲义(二) ──二次函数与命题

一、基础知识 1.二次函数:当 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对

称轴为直线 x=-

,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=-

,下同。

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当 a<0 时,情况相反。 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0? ③与函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分 别是{x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写 成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0=

,不等式②和不等式③的解集分

别是{x|x

}和空集

,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 .f(x)图象与 x 轴

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 无公共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=

,若 a<0,则当

x=x0=

时,f(x)取最大值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0), x0∈[m, n]时, 当 f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。 f(x)在[m, n] 上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即 可得出)。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含 逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的 命题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且 q”复 合命题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一 假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q;逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。

定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q” 中,如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p q 但 q 不 p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 q 但 p q,则 p 称为 q 的必要 非充分条件;若 p q 且 q p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α , , β 求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 因为方程 x2-x+1=0 中△ 0, 所以α β ,所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2.方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=

f(2)-

f(1),

所以

×(-1)+

≤f(3)≤

× 5+

× 4,

所以-1≤f(3)≤20. 3.利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。

例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;

,

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x.

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

]<0,所以 f(x)<x1.

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以



所以 5.构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

例 6 当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u≤1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x=

3 时,ymin=

.

例 7 设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是 【解】 由 x2+bx≤-x(b<-1),得 0≤x≤-(b+1).

,求 b 的值。

ⅰ)-

≤-(b+1),即 b≤-2 时,x2+bx 的最小值为(舍去)。

,所以 b2=2,所以

ⅱ) -

>-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数,

所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-

,b=-

.

综上,b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例 8 已知不等式组
2 2

①②的整数解恰好有两个, a 的取值范围。 求

【解】 因为方程 x -x+a-a =0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。

若 a>0,ⅰ)当 0<a<

时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

ⅱ)当 a=

时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当 a>

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3, 所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a≤2. 8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件, 而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ②

若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A 0,则因 为②恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0 恒成立,所以(B-A-C)2-4AC≤0,即 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2≤2BC 得(B-C)2≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成 立。 2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥ (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的 逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q≤1,则 x2+x+q=0 有实根” 的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2.由上列各组命题构成“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为真,p 且 q 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③ p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z. 3. 当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________. 5. x 1且x 2 是 x-1 的__________条件,而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方

程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集,A={x|3-x≥4}, B=

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y},点(2,1)∈A,但点(1,0) A, (3,2) A 则 a,b 的值是_________. 10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1≥-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12.对任意 x∈[0,1],有 四、高考水平训练题

①②成立,求 k 的取值范围。

1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________. 2.使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3.若不等式-x2+kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________. 4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围是_________. 5.设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集

分别为 M 和 N,那么“
2

”是“M=N”的_________条件。

6.若下列三个方程 x +4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实 根,则实数 a 的取值范围是_________. 7. 已知 p, q 都是 r 的必要条件, 是 r 的充分条件, 是 s 的充分条件, r 是 q 的_________ s q 则 条件。

8.已知 p: |1-

|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则

实数 m 的取值范围是_________. 9.已知 a>0,f(x)=ax2+bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求 x 的取值范围。 10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1 时,|f(x)|≤1, (1)求证:|c|≤1; (2)求证:当|x|≤1 时,|g(x)|≤2; (3)当 a>0 且|x|≤1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

11.设实数 a,b,c,m 满足条件: 有一根 x0 满足 0<x0<1. 五、联赛一试水平训练题 1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________.

=0, a≥0,m>0, 且 求证: 方程 ax2+bx+c=0

2.如果实数 x, y 满足: ,那么|x|-|y|的最小值是_________. 2 3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0,当函数的 最小值取最大值时,a+b2+c3=_________.

4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))=

x 有_________个实根。

5. 若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1, 1]上至少有一个实根, m 取值范围是_________. 则 4 3 2 6.若 f(x)=x +px +qx +x 对一切 x∈R 都有 f(x)≥x 且 f(1)=1,则 p+q2=_________.

7. 对一切 x∈R,f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则 _________.

的最小值为

8. 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图, 且

=b-2ac. 那么 b2-4ac_________4.(填>、

=、<) 9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两 个不等的实根。 10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给 出下一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数等于较小的根,二次项 系数都是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。 11.已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1.设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最多有几个? 2.设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使得在整 个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。

3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x=

, y=

, 求 f=y-x2 的最大值。

4.F(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1,求|F(x)|的最 大值。

5.已知 f(x)=x2+ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|≤

,|f(m+1)|≤

,求△=a2-4b 的最大

值和最小值。 6.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件: 1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x;

2)当 x∈(0, 2)时,f(x)≤

;

3)f(x)在 R 上最小值为 0。 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)≤x. 7.求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。 8. a,b,A,B∈R+, a<A, b<B, n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间, 个正数 b1, b2,?,bn 设 若 n 位于 b 与 B 之间,求证:

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值:

(ⅰ)

=381;

(ⅱ)g(x)max=444; (ⅲ)g(x)min=364.


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