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初四数学6-1圆的基本概念和性质知识点、经典例题及练习题带答案


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: GE—ZBM 副校长/组长签字: 签字日期:

学 员 编 号 : 学 员 姓 名 :吕心怡
课 题



级 :初四 辅 导 科 目 :数学



时<

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:3

学 科 教 师 :李倩

圆的基本概念和性质 2013-11-9

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点

【考纲说明】
1、理解圆及其有关概念, 知道圆的对称性,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系,了解直径所对的圆周角是直角,会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占 5 分左右。

【知识梳理】
1.圆的基本概念 定义:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定点 O 叫 做圆心;线段 OA 叫做半径;圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r);反之,到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上(另一定义) ; 以 O 为圆心的圆,记作“⊙O ” ,读作“圆 O” 2.圆的对称性及特性: (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径:经过圆心的弦叫直径。 注:圆中有无数条直径
C D

O

A

B O

5.圆弧: (1)圆上任意两点间的部分,也可简称为“弧”
A

1

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?

以 A,B 两点为端点的弧.记作 AB ,读作“弧 AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,其中每一条弧都叫半圆。如弧 AD.
?

(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB (用两个字母).
?

(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ACB (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: (1)定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; (2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 垂径定理归纳为:一条直线,如果具有:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角; 9.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角; 10.弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2) 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其 余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半; (2)圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 度的圆周角所对的弦是直径。

【经典例题】
【例 1】下列判断中正确的是( A. 平分弦的直线垂直于弦 ) B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 【例 2】如果两条弦相等,那么( )

A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等 C.这两条弦的弦心距相等 D.以上答案都不对 【例 3】如图,已知 AB 为⊙O 的直径,∠E=20°,∠DBC=50°,则∠CBE=______.

2

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【例 4】 (08 山东滨州)如图所示,AB 是⊙O 的直径,AD=DE,AE 与 BD 交于点 C,则图中与∠BCE 相等的角有( A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个



D C A
【例 5】 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦, 连接 AC,AD , ?CAB ? 35? , ?A C 若 则 D 度数为 . A O D C B

E

O

B


【例 6】 (08 年江苏南京)如图,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器,它的监控角度是

65? .为了监控整个展厅,最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 ...

台.

【例 7】 (2007 重庆市)已知,如图:AB 为⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点 D,AC 交⊙O 于点 E, ∠BAC=45 。给出以下五个结论:①∠EBC=22.5 , ;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧 AE 是
?
0 0

?

劣弧 DE 的 2 倍;⑤AE=BC。其中正确结论的序号是 .



【例 8】 (08 辽宁沈阳)如图所示, AB 是⊙O 的一条弦, OD ? AB ,垂足为 C ,交⊙O 于点 D ,点 E 在⊙O 上. (1)若 ?AOD ? 52? ,求 ?DEB 的度数; (2)若 OC ? 3 , OA ? 5 ,求 AB 的长. A O C D B E

【例 9】 (2007 山东德州) 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形, AC ? BC ,D 为⊙O 中 AB 上一点, 延长 DA 至点 E ,

?

3

中国教育培训领军品牌 使 CE ? CD . (1)求证: AE ? BD ; (2)若 AC ? BC ,求证: AD ? BD ? 2CD .

C E O A D B
图 12

【例 10】 (2006 年金华市)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,且 AB=5,BC=3. (1) 求 sin∠BAC 的值; (2) 如果 OE⊥AC, 垂足为 E,求 OE 的长; (3) 求tan∠ADC的值.(结果保留根号)

AB 【例 11】 (2009 山西省太原市) 如图, 是半圆 O 的直径, P 从点 O 出发, OA ? ? ? BO 的路径运动一周. OP AB 点 沿 设
为 s ,运动时间为 t ,则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是( )

【课堂练习】
1. 如图,将圆沿 AB 折叠后,圆弧恰好经过圆心,则等于 A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°

2. 如图.AB 为⊙O 的直径,AC 交⊙O 于 E 点,BC 交⊙O 于 D 点,CD=BD,∠C= 70°. 现给出以下四个结论: ①∠A=45°; ②AC=AB: ③ ? ? BE ; AE ? ④CE·AB=2BD .
2

其中正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ )

3. 如图,量角器外缘边上有 A,P,Q 三点,它们所表示的读数分别是 180? ,70? ,30? ,则∠PAQ 的大小为(

4

中国教育培训领军品牌 A. 10? B. 20? C. 30? D. 40? )

4. 如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB=∠A′OB′=60°,则(

A. C. D.

= 的度数= 的长度=

B. 的度数 的长度



5. 如图,已知⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 E, A. 60° B. 100° C. 80°

的度数为 60°,

的度数为 100°,则∠AEC 等于(



D. 130°

【课后作业】
1. (2013?温州) 在△ABC 中, ∠C 为锐角, 分别以 AB, 为直径作半圆, AC 过点 B, C 作 A, AC=2,S1﹣S2= ,则 S3﹣S4 的值是( ) , 如图所示. AB=4, 若

A.

B.

C.

D.

2. (2013?滨州)如图,已知圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC 的度数是(



A.156°

B.78°

C.39°

D.12°

3. (2012?黄冈)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 E,已知 CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为(



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A.8

B.10

C.16

D.20

4. (2012?鄂州)如图 OA=OB=OC 且∠ACB=30°,则∠AOB 的大小是(



A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

5. (2011?衢州)一个圆形人工湖如图所示,弦 AB 是湖上的一座桥,已知桥 AB 长 100m,测得圆周角∠ACB=45°,则 这个人工湖的直径 AD 为( )

A.

B.

C.

D.

6. (2012?德阳)已知 AB、CD 是⊙O 的两条直径,∠ABC=30°,那么∠BAD=(



A.45°

B.60°

C.90°

D.30°

7. (2011?重庆)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠OCB=40°,则∠A 的度数等于(



6

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A.60°

B.50°

C.40°

D.30°

8. (2011?玉溪)如图,已知,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,∠ABC=50°,则∠D 为(



A.50°

B.45°

C.40°

D.30°

9. (2011?台湾)如图,△ABC 的外接圆上,AB,BC,CA 三弧的度数比为 12:13:11.自劣弧 BC 上取一点 D,过 D 分别作直线 AC,直线 AB 的平行线,且交 于 E,F 两点,则∠EDF 的度数为( )

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°

10. (2011?长春)如图,直线 l1∥l2,点 A 在直线 l1 上,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线 l1、l2 于 B、 C 两点,连接 AC、BC.若∠ABC=54°,则∠1 的大小为( )

A.36°

B.54°

C.72°

D.73°

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【课后反馈】
本次 本次课后作业: 需要家长协助: 家长意见: 同学课堂状态:

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