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2011年深圳一模文科数学试题(完全word版)


绝密★启用前

试卷类型:A

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考结论: 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V
? 1 3 Sh

2011.3



一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A A. ? 2 ? 2.复数( 3 ?
4i )i (其中 i

? ? 0, ,2 ? 1

,集合 B

? ? x x ? 2 ? ,则 A ? B ?

B. ? 0,1,2 ?

C. ? x

x ? 2?

D. ?

为虚数单位)在复平面上对应的点位于 B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 3.双曲线 x 2 A. x
? y
2

? 1 的渐近线方程为

4
? ?1

B. y
y ?1? 0

? ?2

C. y
: x ? ay ? 2 ? 0

? ?2 x

D. x
? ? 1 ,则 p

? ?2 y

4.已知 p : 直线 l1 : x ? A.充要条件

与直线 l 2

平行, q : a

是q 的

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

5.设数列 ?( ? 1)n ? 的前 n 项和为 S n ,则对任意正整数 n , S n ? A.
n ?( ? 1 ) ? 1 ? ? ?
n

2

B. C.

( ? 1)

n ?1

?1

2 ( ? 1) ? 1
n

F E

G

2

D.

( ? 1) ? 1
n

2

O Q P H

6.如图所示的方格纸中有定点 O , P ,Q , E , F ,G , H ,则 O P
???? ?

??? ?

???? ? OQ ?

A. O H
????

B. O G
????

C. F O
????

D. E O 7.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数
h( x ) ? c o s( x ? ? 6 ) 的部分图象(如图) ,则 f( x) ? 2 s in( 2 x ? ? 4 ) , g( x ) ? s in( 2 x ? ? 3 ),

A. a 为

f( x), b

为 g( x ) , c 为 h( x )
f( x), c f( x), c

c b

B. a 为 h( x ) , b 为 C. a 为 g( x ) , b 为

为 g( x ) 为 h( x )
f( x)

a

D. a 为 h( x ) , b 为 g( x ) , c 为 8.已知圆面 C :( x ? a )2 域的面积大于 A. ? ? ? ,2 ? C. ? ? ? ,? 1 ? ? ? 1,2 ?
1 2 S
2 2

? y ? a ? 1 的面积为 S

,平面区域 D : 2 x ?

y ? 4

与圆面 C 的公共区

,则实数 a 的取值范围是 B. ? ? ? ,2 ? D. ? ? ? ,? 1 ? ? ? 1,2 ?
开始 输入 P(a,b,c) a>b? 是 e=a a=b b=e 是 a>c?

9.如图所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标平面中一点
P( a ,b,c ) ,输出相应的点 Q( a ,b,c ) .若 P 1 的坐标为( 2,3, ) ,

则 P ,Q 间的距离为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” )

A. 0 B. C. D. 2

2 6

2
f (t ) ? ?t

10.若实数 t 满足 函数

,则称 t 是函数
e
x

f ( x ) 的一个次不动点.设



e=a a=c c=e 是 e=b b=c c=e

f ( x ) ? ln x

与函数 g( x ) ?

(其中 e 为自然对数的底数)的
b>c?

所有次不动点之和为 m ,则 A. m B. m
?0 ?0

否 输出 Q(a,b,c) 结束 _

C. 0 ?

m ?1

D. m

?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题 两部分.
(一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万 人,并根据所得数据画出了样本频率分 布直方图(如图) .为了深入调查,要从 这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽 出 100 人, 则月收入在[ 2 5 0 0,3 0 0 0 ) 元) ( 段应抽出 人.
0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 频率 组距

1000

1500

2000 2500 3000 3500 4000

1

1

12.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角 形)的高与底面边长均为 2,其直观图和正(主) 视图如下,则它的左(侧)视图的面积是 13.已知 y 与 x( x
x


直观图 正视图

? 1 0 0 ) 之间的部分对应关系如下表:

11
2 97

12
1 48

13
2 95

14
1 47

15
2 93

… …

y

则 x 和 y 可能满足的一个关系式是



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题 的得分. 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中, P ,Q 是曲线 C : ?
PQ ? 4 sin ?

上任意两点,则线段

长度的最大值为

. C

15. (几何证明选讲)如图, A B 是半圆 O 的直径, C 是半圆
O C 上异于 A,B 的点, D ? AB

, 垂足为 D , 已知 A D

? 2

, A D O B

CB ? 4 3

,则 C D

?



三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 14 分) 已知向量 a
? ? ( ? 1,s in

?

? 4 ? ) 与向量 b ? ( ,2 c o s ) 垂直,其中 ? 2 5 2

为第二象限角.

(1)求 tan ? 的值; (2)在 ? A B C 中, a, b, c 分别为 ? A, ? B,? C 所对的边,若 b 2
tan(? ? A ) 的值.

?c ?a
2

2

?

2bc

,求

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S
CD ? 3 AB ? ABCD ?

中, A B

? AD

, A B // C D ,

S

,平面 S A D , DM

平面 A B C D , M 是线段 A D 上一 , SM
? AD

点, A M

? AB

? DC

. A
? ABCD

M B

(1)证明: B M ? 平面 S M C ; (2)设三棱锥 C ? S B M 与四棱锥 S 别为 V 1 与 V ,求
V1 V

D

的体积分

的值. C

18. (本小题满分 14 分)

已知函数

f( x) ?

1 3

x ? ax ? b
3

,其中实数 a ,b 是常数.
f (1) ? 0

(1)已知 a ? ? 0,1,2 ? , b ? ? 0,1,2 ? ,求事件 A“ (2)若
f( x)是 R

”发生的概率; 时

上的奇函数, g( a ) 是

1 f ( x ) 在区间 ? ? 1, ? 上的最小值,求当 a ? 1

g( a ) 的解析式.

19. (本题满分 12 分) 如图,有一正方形钢板 A B C D 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线 O C 是以直线 AD 为对称轴,以线段 A D 的中点 O 为顶点的抛物线的一 部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部 分成为一个直角梯形.若正方形的边长为 2 米,问如 何画切割线 E F ,可使剩余的直角梯形的面积最大? 并求其最大值. O F E D C

A 20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 为
2 2 b

B

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 a ? b ? 0 ) 的左焦点 F (

及点 A( 0,b ) ,原点 O 到直线 F A 的距离



(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ? 及点 P 的坐标.
y ? 0 的对称点 P

在圆 O : x 2

? y

2

? 4 上,求椭圆 C

的方程

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (1)已知 a1
? 1,d ? 2

, 时,
Sn ? 64 n

(ⅰ)求当 n ? (ⅱ)当 n ?
N
?

N

?

的最小值;
? 3 S2S4 ?? ? n ?1 S n S n?2 ? 5 16
? n

时,求证:

2 S1 S 3

; 的最小正整数

(2)是否存在实数 a 1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 a m 解为 3 n ? 2 ?若存在,则求 a 1 的取值范围;若不存在,则说明理由.

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 D 2 B
n

3 C

4 A

5 D

6 C

7 B

8 C

9 C

10 B

5. 数列 ? ( ? 1)
? ??? ?

? 是首项与公比均为 ? 1 的等比数列.
??? ? ????

6. a ? O P ? O Q , 利用平行四边形法则做出向量 O P ? O Q ,再平移即发现. a ? F O .

????

?

????

7.从振幅、最小正周期的大小入手:b 的振幅最大,故 b 为 f ( x ) ; a 的最小正周期最大, 故 a 为 h ( x ), 从而 c 为 g ( x ) . 8. 圆面 C : ( x ? a ) ? y ? a ? 1 的圆心 ( a , 0 ) 在平面区域 : 2 x ? y ? 4 内,
2 2 2

?a ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ? , ? 1) ? (1, 2 ). 则? ?2a ? 0 ? 4
2

9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列,若 P ( 2, 3,1) ,则 Q (1, 2, 3) . 10.画图即知:函数 y ? ln x 的图象与直线 y ? ? x 有唯一公共点 ( t , ? t ),
e ? ? x ? x ? ln ( ? x ) ? x ? ? t . 故两个函数的所有次不动点之和 m ? t ? ( ? t ) ? 0 .
x

或利用函数 y ? ln x 的图象与函数 y ? e 的图象关于直线 y ? x 对称即得出答案.
x

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. 2 5 . 12.. 2 3 13. y (1 0 8 ? x ) ? 2 . 14. 4 .
2 108 ? x

15. 2 3 .

第 13 题写或不写 x

? 100

都可以,写成如 y ?
100 10000 1 100

等均可.

11.每个个体被抽入样的概率均为 在 [ 2500 , 3000 ) 内的频率为

?



0.0005×(3000-2500)=0.25,频数为 10 000×0.25=2 500 人,则该范围内应当抽取 的人数为 2 500×
1 100

=25 人.

3 2
2

12. 画出左(侧)视图如图,其面积为 2 3 . 13. 将各 11 ,12,13,14,15 对应的函数值分别写成 ,
2

,

2

,

2

,

2

,

97 96 95 94 93

分母成等差数列,可知分母 a n ? a 1 1 ? ( n ? 1 1)( ? 1) ? 9 7 ? n ? 1 1 ? 1 0 8 ? n . 14. 最长线段 P Q 即圆 x ? ( y ? 2 ) ? 4 的直径.
2 2

15. 根据射影定理得

CB

2

? B D ? B A ? ( 4 3 ) ? B D ( B D ? 2 ) ? B D ? 6, C D
2

2

? AD ? BD ? 12.

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 14 分) 已知向量 a
? ? ( ? 1,s in

?

? 4 ? ) 与向量 b ? ( ,2 c o s ) 垂直,其中 ? 2 5 2

为第二象限角.

(1)求 tan ? 的值; (2)在 ? A B C 中, a, b, c 分别为 ? A, ? B,? C 所对的边,若 b 2
tan(? ? A ) 的值.

?c ?a
2

2

?

2bc

,求

【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、 两角和的正切公式等基础知识,以及运算求解能力. 解: (1) ? a ? ( ? 1, s in
?

?

? ? 4 ? ? ) , b ? ( , 2 c o s ), a ? b 2 5 2
c o s? 2 3 5

4 ? ? ? ? a ?b ? ? ? 2 s i n 5 2
? ? 为第二象限角,

?

0 即 s ,in ? ?

4 5

. ……………………3 分

? c o s ? ? ? 1 ? s in ? ? ?
2

, ta n ? ?

s in ? cos ?

? ?

4 3

.

………………………6 分

(2) 在 ? A B C 中,
?b ?c ?a ?
2 2 2

2bc ,
2

? cos A ?

b ?c ?a
2 2

?

2 2

.

…………………………………………9 分

2bc

? A ? (0, π ) ,
? A ? π 4 ? ta n (? ? A ) ? ta n ? ? ta n A 1 ? ta n ? ta n A ? ? 1 7 . , ta n A ? 1,

……………………11 分 ……………………14 分

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S
CD ? 3 AB ? ABCD ?

S 中, A B
? AD

, A B // C D , A B C M D

,平面 S A D

平面 A B C D , M 是线段 A D 上一

点, A M

? AB

, DM

? DC

, SM

? AD



(1)证明: B M (2)设三棱锥 C

?

平面 S M C ; 与四棱锥 S
? ABCD

? SBM

的体积分别为 V 1 与 V ,求

V1 V

的值.

【命题意图】 本小题主要考查空间线面关系、 几何体的体积等知识, 考查数空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力. (1) 证明: ? 平面 S A D ? 平面 A B C D ,平面 S A D ? 平面 A B C D ? A D ,
S M ? 平面 S A D , S M ? A D ? S M ? 平面 A B C D ,???????1 分
? B M ? 平面 A B C D ,

? SM ? BM .

???????2 分

? 四边形 A B C D 是直角梯形, A B // C D , A M ? A B , D M ? D C ,

? ? M A B , ? M D C 都是等腰直角三角形, ? ? A M B ? ? C M F ? 4 5 ? , ? B M C ? 9 0 ? , B M ? C M . ………………4 分
? S M ? 平面 S M C , C M ? 平面 S M C , S M ? C M ? M ,

? B M ? 平面 S M C …………………………………………6 分

(2) 解: 三棱锥 C ? S B M 与三棱锥 S ? C B M 的体积相等, 由( 1 ) 知 S M ? 平面 A B C D ,
1 V1 V SM ? 1 2 1 2 ( AB ? CD ) ? AD BM ? CM ? 3 1 3 SM ?



,……………………………………………9 分

设 AB ? a, 由CD ? 3 AB , AM ? AB, DM ? DC , 得 C D ? 3a , B M ?
V1 V
2a, CM ? 3 2a, AD ? 4a,

从而

?

2a ? 3 2a (a ? 3a ) ? 4 a

?

3 8

. …………………………… 12 分

18. (本小题满分 14 分) 已知函数
f( x) ? 1 3 x ? ax ? b
3

,其中实数 a ,b 是常数.

(1)已知 a ? ? 0,1,2 ? , b ? ? 0,1,2 ? ,求事件 A“ (2)若
f( x)是 R

f (1) ? 0

”发生的概率; 时

上的奇函数, g( a ) 是

1 f ( x ) 在区间 ? ? 1, ? 上的最小值,求当 a ? 1

g( a ) 的解析式.

【命题意图】 本小题主要考查古典概型、 函数的奇偶性与零点、 导数、 解不等式等知识, 考 查化归与转化、分类列举等数学思想方法,以及运算求解能力. 解:(1) 当 a ? ? 0,1, 2 ? , b ? ? 0,1, 2 ? 时,等可能发生的基本事件 ( a , b ) 共有 9 个:
(0,), , , ,), (1,), , , ,),2,), , , ,). …………………………4 分 0 (0 1) (0 2 0 (1 1) (1 2 ( 0 ( 2 1) ( 2 2

其中事件 A “ f (1) ?

1 3

? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件:

(0,), , , ,), , , ,),2,). …………………………4 分 0 (0 1) (0 2 (1 1) (1 2 ( 2

故 P ( A) ?

6 9

?

2 3

.…………………………6 分
2 3

答:事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 (2)
f ( x )? 1 3 1 3
3

.………………7 分

x ? a x 是 R 上的奇函数,得 f (0 ) ? 0, b ? 0 . ………………8 分 ? ,b
2 f ?( x ) ? x ? a ,

∴ f (x) ?

x ? ax,
3

………………………9 分

① 当 a ? 1 时,因为 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上单调递减, 从而 g ( a ) ? f (1) ?
1 3 ? a ;……………………11 分

② 当 a ? ? 1 时,因为 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上单调递增, 从而 g ( a ) ? f ( ? 1) ? ?
1 3 ? a . ……………………13 分

1 ? a ? , a ? ?1 ? ? 3 综上,知 g ( a ) ? ? . ??a ? 1 , a ? 1 ? 3 ?

……………………14 分

19. (本题满分 12 分)

如图,有一正方形钢板 A B C D 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线 O C 是以直线 AD 为对称轴,以线段 A D 的中点 O 为顶点的抛物线的一 部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部 分成为一个直角梯形.若正方形的边长为 2 米,问如 何画切割线 E F ,可使剩余的直角梯形的面积最大? 并求其最大值. O F E D C

【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值 A 等知识,考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数 y 学思想方法,以及将实际问题转化为数学问题的能力. D 解法一:以 O 为原点,直线 A D 为 y 轴, 建立如图所示的直角坐标系,依题意 O 可设抛物线弧 O C 的方程为 y ? a x (0 ? x ? 2 )
2

B C E P

x

F

∵点 C 的坐标为 ( 2 ,1) , A ∴2 a ? 1,a ?
2

B

1 4 1 4

故边缘线 O C 的方程为 y ?

x ( 0 ? x ? 2 ) . ……4 分
2

要使梯形 A B E F 的面积最大,则 E F 所在的直线必与抛物线弧 O C 相切,设切点坐标 为 P (t ,
1 4 t )( 0 ? t ? 2 ) ,
2

∵ y? ?

1 2

x, 1 4 t ?
2 2

∴直线 E F 的的方程可表示为 y ? 由此可求得 E ( 2 , t ? ∴ | A F |? | ?
1 4
2

1 2

t ( x ? t ) ,即 y ?

1 2

tx ?

1 4

t ,…………6 分

2

1 4

t ) , F (0, ?
2

1 4

t ). 1 4 t ) ? ( ? 1) | ? ?
2

t ? ( ? 1) | ? 1 ?

1 4

t , | B E |? | ( t ?
2

1 4

t ? t ? 1 ,…8 分
2

设梯形 A B E F 的面积为 S ( t ) ,则

S (t ) ?

1 2

| A B | ? ? | A F | ? | B E | ? ? (1 ?

1 4

t ) ? (?
2

1 4

t ? t ? 1) ? ?
2

1 2

t ?t?2
2

? ?

1 2

( t ? 1) ?
2

5 2

?

5 2 5 2

.
.,

……………………………………………………………10 分

∴当 t ? 1 时, S ( t ) ?

故 S ( t ) 的最大值为 2 .5 .

此时 | A F | ? 0.75, | B E | ? 1.75 .………11 分

答:当 A F ? 0 .7 5 m , B E ? 1 .7 5 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值 为 2 .5 m .
2

………………………………………………………………………12 分

解法二:以 A 为原点,直线 A D 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛 物线弧 O C 的方程为 y ? a x ? 1(0 ? x ? 2 )
2

∵点 C 的坐标为 ( 2 , 2 ) , ∴2 a ?1 ? 2 ,a ?
2

1 4

故边缘线 O C 的方程 为y ?
1 4 x ? 1( 0 ? x ? 2 ) . ………4 分
2

要使梯形 A B E F 的面积最大,则 E F 所在的直线必与抛物线弧 O C 相切,设切点坐标 为 P (t ,
1 4 t ? 1)( 0 ? t ? 2 ) ,
2

∵ y? ?

1 2

x,

∴直线 E F 的的方程可表示为 y ? 由此可求得 E ( 2 , t ? ∴ | A F |? 1 ?
1 4
2

1 4

t ?1 ?
2

1 2

t ( x ? t ) ,即 y ?

1 2

tx ?

1 4

t ? 1 ,…6 分
2

1 4

t ? 1) , F ( 0 , ?
2

1 4

t ? 1) .
2

t , | B E |? ?

1 4

t ? t ? 1 ,……………7 分
2

设梯形 A B E F 的面积为 S ( t ) ,则
S (t ) ? ? ? 1 2 1 2 | A B | ? ? | A F | ? | B E | ? ? (1 ?
2

1 4

t ) ? (?
2

1 4

t ? t ? 1) ? ?
2

1 2

t ?t?2
2

( t ? 1) ?

5 2

?

5 2 5 2

.
.,

……………………………………………………………10 分

∴当 t ? 1 时, S ( t ) ?

故 S ( t ) 的最大值为 2 .5 .

此时 | A F | ? 0.75, | B E | ? 1.75 .………11 分

答:当 A F ? 0 .7 5 m , B E ? 1 .7 5 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值 为 2 .5 m .
2

………………………………………………………………………12 分

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 为
2 2 b
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 a ? b ? 0 ) 的左焦点 F (

及点 A( 0,b ) ,原点 O 到直线 F A 的距离



(1)求椭圆 C 的离心率 e ; (2)若点 F 关于直线 l : 2 x ?
y ? 0 的对称点 P

在圆 O : x 2

? y

2

? 4 上,求椭圆 C

的方程

及点 P 的坐标. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识, 考查数形结合、方程等数学思想方法,以及运算求解能力.
, 及 解 : (1) 由 点 F ( ? a e , 0 ) , 点 A ( 0 b ) b ?

1 ? e a 得 直 线 FA 的 方 程 为
2

x ? ae

?

y 1? e a
2

? 1 ,即 1 ? e x ? ey ? a e 1 ? e
2

2

? 0 ,…………………2 分
2

∵原点 O 到直线 F A 的距离为 ∴
ae 1 ? e
2 2

2 2

b ? a

1? e 2



? a
2

1? e 2

2

,e ?

2 2

1? e ? e

. ………………………………………5 分

故椭圆 C 的离心率 e ?

2 2

.

…………………………………7 分
2 2 a , 0 ) 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点为

(2) 解法一:设椭圆 C 的左焦点 F ( ?
P ( x 0 , y 0 ) ,则有

y0 1 ? ? , ? 2 2 ? x0 ? a ? 2 …………………………………………10 分 ? 2 ? x0 ? a ? y 2 ? 0 ? 0. ?2 ? ? 2 2

解之,得 x 0 ?
2

3 2 10
2

a, y0 ?

4

2

a.

10

? P 在圆 x ? y ? 4 上

∴(
2

3 2 10

a) ? (
2
2

4

2
2

a) ? 4 ,
2
2

10

∴ a ? 8, b ? (1 ? e ) a ? 4 . ……………………………………13 分 故椭圆 C 的方程为
x
2

?

y

2

? 1,

8
6 8

4

点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分
5 5

解法二:因为 F ( ?

2 2

a , 0 ) 关于直线 l 的对称点 P 在圆 O 上,又直线 l : 2 x ? y ? 0 经过

2 2 圆 O : x ? y ? 4 的圆心 O (0, 0 ) ,所以 F ( ?

2 2

a , 0 ) 也在圆 O 上, ………9 分

从而 ( ?

2 2

a ) ? 0 ? 4 , a ? 8, b ? (1 ? e ) a ? 4 . ………………………10 分
2 2
2 2 2 2

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ………………………………………11 分

8

4

? F ( ? 2, 0 ) 与 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 l 的对称,

1 ? y0 ? , ?x ?2 2 ? …………………………………………12 分 ?? 0 x0 ? 2 y0 ? 2? ? ? 0. ? ? 2 2 6 8 解之,得 x 0 ? , y 0 ? .…………………………………………13 分 5 5

故点 P 的坐标为 ( , ). ………………………………………14 分
5 5

6 8

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 S n . (1)已知 a1
? 1,d ? 2

, 时,
Sn ? 64 n

(ⅰ)求当 n ? (ⅱ)当 n ?
N
?

N

?

的最小值;
? 3 S2S4 ?? ? n ?1 S n S n?2 ? 5 16
? n

时,求证:

2 S1 S 3

; 的最小正整数

(2)是否存在实数 a 1 ,使得对任意正整数 n ,关于 m 的不等式 a m

解为 3 n ? 2 ?若存在,则求 a 1 的取值范围;若不存在,则说明理由. 【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化的数 学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解: ? a 1 ? 1, d ? 2,
n ( n ? 1) d 2 64 n

? S n ? n a1 ?

? n ,
2

S n ? 64 n

? n?

64 n

? 2

n?

64 n

? 16,

当且仅当 n ? 故
S n ? 64 n

, 即 n ? 8 时,上式取等号.

的最大值是 1 6 . ……………………………………………………4 分
2

(ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知 S n ? n , 当 n ? N 时,
?

n ?1 S n S n?2

?

n ?1 n (n ? 2)
2 2

?

? 1 ? 1 1 ,……6 分 ? 2 ? 2 ? 4 ?n (n ? 2) ?

2 S1S 3

?

3 S2S4

?? ?

n ?1 S n S n?2

?

? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? 1 ? 1 1 , ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ??? ? ? 2 ? 2 ? 4 ?1 3 ? 4?2 4 ? 4 ?n (n ? 2) ?

?

? 1? 1 1 1 ? 1 ? 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?? ? 2 ? 2 ?? ? 2 2 ? 4 ?1 2 n ? 4 ?3 5 ( n ? 1) (n ? 2) ? ? 1 ?1 1 1 1 ? , ……………………………………8 分 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 4 ?1 2 ( n ? 1) (n ? 2) ?

?

?

1 ( n ? 1)
2 S1S 3
2

?

1 (n ? 2)
2

? 0,

?

?

3 S2S4
?

?? ?

n ?1 S n S n?2

?

1

(

1
2

?

1 2
2

)?

5 16

. ……………………………………9 分

4 1

(2)对 ? n ? N ,关于 m 的不等式 a m ? a 1 ? ( m ? 1) d ? n 的最小正整数解为 c n ? 3 n ? 2 , 当 n ? 1 时, a 1 ? ( c1 ? 1) d ? a 1 ? 1 ;……………………10 分 当 n ? 2 时,恒有 ?
? a 1 ? ( c n ? 1) d ? n ? a1 ? ( c n ? 2 ) d ? n

,即 ?

? (3 d ? 1) n ? ( a 1 ? 3 d ) ? 0 ? (3 d ? 1) n ? ( a 1 ? 4 d ) ? 0

,

?3d ? 1 ? 0 ? 1 4 ? (3 d ? 1) ? 2 ? ( a 1 ? 3 d ) ? 0 从而 ? ? d ? ,1 ? a 1 ? . ……………………12 分 3 3 ?3d ? 1 ? 0 ? (3 d ? 1) ? 2 ? ( a ? 4 d ) ? 0 ? 1

当d ? 有 a1 ?

1 3

,1 ? a 1 ?

4 3

时,对 ? n ? N ,且 n ? 2 时, 当正整数 m ? c n 时,
cn ? 1 3 ? n . ……………………13 分

?

m ?1 3

? a1 ?

所以存在这样的实数 a 1 ,且 a 1 的取值范围是 ?1,
?

?

4? ? .……………………14 分 3?


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