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2010-2012年新课程文科数学试题及答案


2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课程) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1)已知集合 A ? x x ? 2, x ? R, B ? x | x ? 4, x ? Z | ,则 A ? B ? (A) (0,2) (B)[0,2] (C)|0,2| (D)|0,1,2|

r />(2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3) ,2a+b=(3,18) ,则 a,b 夹角的余弦值等于 (A)
8 65

(B) ?

8 65

(C)

16 65

(D) ?

16 65

(3)已知复数 z ? (A)
1 4

3 ?i ,则 i = (1 ? 3i)2
(B)
1 2

(C)1

(D)2

(4)曲线 y ? x2 ? 2 x ? 1在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1 (C) y ? 2 x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 2

(5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2) ,则它的离心率为 (A) 6 (B) 5 (C)
6 2

(D)

5 2

(6)如图,质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 p0 ( 2 , ? 2 ) ,角速度为 1, 那么点 p 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

(7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2

(8)如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于
1

(A)

5 4

(B)

4 5

(C)

6 5

(D)

5 6

(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 = (A) ? x x ? ?2或x ? 4? (C) ? x x ? 0或x ? 6? (10)若 sin a = (A)7 2 10

?

?

(B) ? x x ? 0或x ? 4? (D) ? x x ? ?2或x ? 2?

4 ? ,a 是第一象限的角,则 sin( a ? ) = 5 4

(B)

7 2 10

(C) -

2 10

(D)

2 10

(11)已知 ? ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在 ? ABCD 的 内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

? lg x1 ,0? x?10 ? 1 (12)已知函数 f(x)= ? x ? 6, x ? 0 ? 2
是 (A) (1,10)

若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则 abc 的取值范围

(B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24)

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)圆心在原点上与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为-----------。 (14)设函数 y ? f ( x) 为区间 ? 0,1? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ? x ? ? 1,可以用随机 模拟方法计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 所围成部分的面积,先产生两组 i 每组 N 个, 区间 ? 0,1? 上的均匀随机数 x1, x2.....xn 和 y1, y2..... yn ,由此得到 V 个点 ? x, y ?? i ?1, 2....N ? 。再数出其中满足

y1 ? f ( x)(i ? 1, 2.....N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为___________
(15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能 的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱

(16)在 ? ABC 中,D 为 BC 边上一点, BC ? 3BD , AD ? 2 , ?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD=_____ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。
2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 (18) (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂 足为 H , PH 是四棱锥的高。

(Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 、 、 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (19) (本小题满分 12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该 地区调查了 500 位老人,结果如下:

男 您是否需要志愿者 需要 不需要 40 160



30 270

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助 的老年人的比例?说明理由。 P(K ≧k) k


附:

0.050 0.010 0.001 3.841 6.625 10.828
2

n (ad-bc)

2

K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

y2 (20) (本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x + 2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直 b

线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (Ⅰ)求 AB
3

(Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值。 (21)本小题满分 12 分)设函数 f? x ? ? x ? e x ? 1? ? ax 2 (Ⅰ)若 a=
1 ,求 f? x ? 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f? x ? ≥0,求 a 的取值范围 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图:已知圆上的弧 ? ? BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: AC ? (Ⅰ) ?ACE = ?BCD 。 (Ⅱ) BC 2 =BE x CD。 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 :{ x=1+tcosa
y=tsina x= cos ? y= sin ?

{t 为参数}。

图 C2 :{

{ ? 为参数}

(Ⅰ)当 a=

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标: 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A、P 为 OA 的中点,当 a 变化时,求 P 点轨迹的参数方程, 并指出它是什么曲线。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ? ( x ) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ? ( x ) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ? ( x ) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围 2010 年高校招生考试文数(新课标) 试题及答案 一:选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最 符合题目要求的。 (1)D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C

二:填空题:本大题共 4 小题,每小题五分,共 20 分。 (13)x2+y2=2 (14)
N1 N

(15)①②③⑤

(16)2+ 5

三,解答题:接答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)解: (1)由 am = a1 +(n-1)d 及 a1=5,aw=-9 得 数列{am}的通项公式为 an=11-2n。

{

a1 ? 2 d ?5 a1 ?9 d ??9

解得

{d ??2

a1 ?9

……..6 分

4

(2)由(1) 知 Sm=na1+

n(n ? 1) d=10n-n2。 2

因为 Sm=-(n-5)2+25. ……12 分

所以 n=5 时,Sm 取得最大值。

(18)解:(1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. ……..6 分 所 以 HA=HB= 3 . 可得 PH= 3 . 因为

(2) 因 为 ABCD 为 等 腰 梯 形 , AB ? CD,AC ? BD,AB=

6.

? APB= ? ADR=600

所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1.

等腰梯形 ABCD 的面积为 S= AC x BD = 2+ 3 . 所以四棱锥的体积为 V= x(2+ 3 )x 3 =

1 2

……..9 分 ……..12 分

1 3

3? 2 3 3

(19)解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的 老年人的比例的估计值为
2

70 ? 14% . 500

……4 分

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 ? 9.967 (2) k ? 200 ? 300 ? 70 ? 430

由于 9.967 ? 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

……8 分

(3)由于(2)的结论知,该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区 男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的 比例,再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好. ……12 分 (20)解: (1)由椭圆定义知 ? ?F2 ? + ? ?? ? ? ? ?F2 ?? ? (2)L 的方程式为 y=x+c,其中 c ? 1? b2 又 2 ? AB ? = ? AF? ? ? ? ?F? ?? 得 ? AB ??
? ?

设 A( x1,y1 ),B( x1,y1 ) ,则 A,B 两点坐标满足方程组 则 x1 ? x2 ? 即
?2c 1 ? 2b 2 , x1 x2 ? . 1 ? b2 1 ? b2
4 ? 2 ? x2 ? x1 ? . 3

??y=x+c y2

x 2 ? 2 ?1 b

化简得 (1 ? b2 ) x2 ? 2cx ? 1 ? 2b2 ? 0.

因为直线 AB 的斜率为 1,所以 ? ?? ?? ? ? x 2 ? x1 ?

8 4(1 ? b2 ) 4(1 ? 2b2 ) 8b4 2 ? ? 则 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1x2 ? 9 (1 ? b2 )2 1 ? b2 1 ? b2
(21)解: (Ⅰ)a ?

解得

b?

2 . 2

1 1 时,f ( x) ? x(e x ? 1) ? x 2 ,f '( x) ? ex ?1 ? xex ? x ? (ex ?1)( x ? 1) 。 x ? ? ??, ?1? 时 f '( x) ? ? ; 当 2 2

当 x ? ? ?1,0? 时, f '( x) ? 0 ;当 x? ? 0, ??? 时, f '( x) ? 0 。故 f ( x) 在 ? ??, ?1? ,? 0,??? 单调增加,在(-1, 0)单调减少。
5

(Ⅱ)f ( x) ? x( xa ?1 ? ax) 。 gx x a? ? 令 () ? 1 a x

, g() e a? 。 a ? 1 , 则 'x ? x 若 则当 x? ? 0, ??? 时, '( x) ? ? , g

g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,即 f ( x) ≥0.

若 a ? ? ,则当 x ? ? 0,ln a ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x ? ? 0,ln a ? 时 g ( x) <0, 即 f ( x) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ??,1? 所 以 ?B C D ? ? A B C . 又 因 为 EC 与 圆 相 切 于 点 C , 故

( 22 ) 解 : ( Ⅰ ) 因 为 ? ? BD , AC ?
?A C E ? ? A B C

所以 ?ACE ? ?BCD . (Ⅱ)因为 ?ECB ? ?CDB , ?EBC ? ?BCD , 即
B C2 ? B E ? C. D

……5 分 所以 ? BDC ?? ECB ,故 ……10 分 时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) ,C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 1.
BC CD ? . BE BC

(23)解: (I)当 ? ?

?
3

联立方程组

?

y ? 3( x ?1), 1 3 , ) x ? x2 ? y 2 ?1, 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ( , ?

2

2

(II)C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ?

?0.

A 点坐标为 (sin 2

? x ? 1 sin 2 a 2 ? y ?? 1 sin a cos a ( a 为参数) a, ? cos a sin a) ,故当 a 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? 2
1 1 故 P 点是圆心为 ( , 0) ,半径为 的圆 4 4

1 1 P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 4 16

(24)解:

(Ⅰ)由于 f? x ? =

?

?2 x ? 5, x ??? 2 x ? 3, x ? 2. 则函数 y ? f? x? 的图像如图所示。
……5 分

(Ⅱ)由函数 y ? f? x? 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ? ?2 时,函数 y ? f? x? 与函数 y ? ax 的图像

6

?1 ? 有交点。故不等式 f? x? ? ax 的解集非空时,a 的取值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? , ?? ? 。 ……10 分 ?2 ?

2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课程) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M ? N ,则 P 的子集共有 A.2 个 5i ? 2.复数 1 ? 2i A. 2 ? i B.4 个 C.6 个 D.8 个

B. 1 ? 2i

C. ?2 ? i

D. ?1 ? 2i

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 A. y ? x3 4.椭圆 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2?|x|

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 16 8
1 3

A.

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

5.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 A.120 B. 720 C. 1440 D. 5040 6.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参 加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率 为 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 7.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =
4 3 3 4 B. ? C. D. 5 5 5 5 8.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为

A. ?

9.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, | AB |? 12 ,P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为 A.18 B.24 C. 36 D. 48

10.在下列区间中,函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为
1 A. (? ,0) 4 1 B. (0, ) 4 1 1 C. ( , ) 4 2
7

1 3 D. ( , ) 2 4

? ? 11.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4 ? ? A. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 2 4 ? ? B. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递增,其图象关于直线 x ? 对称 2 2 ? ? C. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 2 4 ? ? D. y ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,其图象关于直线 x ? 对称 2 2
,1 12.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1 ] 时 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ?| lg x |

的图象的交点共有 A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, 为实数, k 若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直, k=_____________. 则

?3 ? 2 x ? y ? 9 14.若变量 x,y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是_________. ?6 ? x ? y ? 9
15. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________. 16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是 3 这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 16 ______________. 三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 1 1 17. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an} 中, a1 ? ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.
AB ? 18.本小题满分 12 分) ( 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, DAB ? 60? , ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 19. (本小题满分 12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标 越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下 面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102, 106) [106, 110] 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 [90, 94) [94,98) [98,102) [102, 106) [106, 110] 频数 4 12 42 32 10
8

(I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率;
? ?2, t ? 94 ? (II) 已知用 B 配方生产的一种产品利润 y (单位: 与其质量指标值 t 的关系式为 y ? ? 2,94 ? t ? 102 元) ? 4, t ? 102 ?

估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件 的利润. 20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?
x ? 2 y ? 3 ? 0.
a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

(I)求 a,b 的值;
ln x . x ?1 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为 ?ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC

(II)证明:当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根. (I)证明:C,B,D,E 四点共圆; (II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B,D,E 所在圆的半径. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 2cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ,M 为 C1 上的动点,P 点满足 (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ? ??? ? ???? ? OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 .
(I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,与

C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值. 2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课程)参考答案
9

一、选择题 (1)B (2)C 二、填空题 (13)1 三、解答题 (14)-6 (15)
15 3 4

(3)B (4)D(5)B(6)A(7)B(8)D(9)C(10)C(11)D(12)A

(16)

1 3

1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 3 ? 3 , Sn ? 3 1 2 1? 3 n( n ? 1) (Ⅱ bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ? ?(1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ) 2 n(n ? 1) . 所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ? 2
1 1 1 (17)解: )因为 a n ? ? ( ) n ?1 ? n . (Ⅰ 3 3 3

所以 S n ?

1 ? an , 2

(18)解:Ⅰ 因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD ,由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2, BD ? AD ( ) 故 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ )如图,作 DE ? PB,垂足为 E。已知 PD ? 底面 ABCD,则 PD ? BC。由(Ⅰ )知 BD ? AD,又 BC//AD, 所以 BC ? BD。 BC ? 平面 PBD, ? DE。 DE ? 平面 PBC。 故 BC 则 由题设知, PD=1, BD= 3 , 则 PB=2, 根据 BE· PB=PD· BD,得 DE=
3 3 ,即棱锥 D—PBC 的高为 . 2 2
22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配方生产 100

(19)解(Ⅰ )由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的频率为

的产品的优质品率的估计值为 0.3。由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 100

(Ⅱ )由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果知, 质量指标值 t≥94 的频率为 0.96,所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为
1 ? (4 ? (?2) ? 54 ? 2 ? 42 ? 4) ? 2.68 (元) 100

(20)解: (Ⅰ )曲线 y ? x 2 ? 6x ? 1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为 (3, , t) 则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1. 所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9.
? x ? y ? a ? 0, ? (Ⅱ )设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组: ? 消去 y,得到方程 2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ?

则圆 C 的半径为 3 2 ? (t ? 1) 2 ? 3.

2x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0. 由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a 2 ? 0.
10

因此, x1, 2 ?

(8 ? 2a) ? 56 ? 16a ? 4a 2 4

, 从而 x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ?

a 2 0 ? 2a ? 1 2

① ②

由于 OA⊥ OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a, 所以 2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0. 由① ,② a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1. 得

(21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b 1 x ? 2 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1),故 2 ( x ? 1) x 2

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? ? 1 即 ?a 1 ? f '(1)? ? 2 , ? 2 ? b ? ? 2 , ? ?

解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? , (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x) ? x ?1 x

x2 ?1 ln x 1 ? (2 ln x ? ) 所以 f ( x) ? x ?1 1? x2 x
2 2 2 2 x ? ( x ? 1) ( x ? 1) 2 ? ?? x x2 x2

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

x2 ?1 x

( x ? 0) ,则 h?( x) ?

所以当 x ? 1 时, h?( x) ? 0, 而h(1) ? 0, 故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 可得

1 h( x) ? 0; 1? x2

当 x ? (1,??) 时, h( x) ? 0, 可得

ln x ln x 1 ? 0, 即f ( x) ? . h( x) ? 0; 从而当 x ? 0, 且x ? 1, f ( x) ? 2 x ?1 x ?1 1? x

(22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD× AB=mn=AE× AC, 即
AD AE ? .又∠ DAE=∠ CAB,从而△ADE∽ ACB △ AC AB

因此∠ ADE=∠ ACB

所以 C,B,D,E 四点共圆。 故 AD=2,AB=12.

(Ⅱ )m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠ A=900,故 GH∥ AB, HF∥ AC. HF=AG=5,DF= 为5 2
?x ? ? 2 ? 2 cos? , ? X Y ? ? (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 ? ? 2 2 ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2 ? ? ?
11

1 (12-2)=5.故 C,B,D,E 四点所在圆的半径 2



s ?x ? 4 c o ? ? ? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? 从而 C 2 的参数方程为 ? ? ? y ? 4 ? 4sin ? ?y ? 4 ? 4s i n ?

(Ⅱ )曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。射线 ? ?
A 的极径为 ? 1 ? 4sin

?
3

与 C 1 的交点

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

。所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .
x ? 3 或 x ? ?1 。

(24)解: )当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。由此可得 (Ⅰ 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。

?x ? a (Ⅱ 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组 ? ) ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? 即 ?x ? a ? ? 4

?x ? a 或? ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? a 或 ? a ? ? a 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2 ? 2

?

a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

2012 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修加选修Ⅰ)
一. 选择题 (1) 已知集合 A={x︱x 是平行四边形},B={x︱x 是矩形},C={x︱x 是正方形},D{x︱x 是菱形},则

(2) 函数 y=

(x≥-1)的反函数为

(3) 若函数

是偶函数,则

=

(4)已知 a 为第二象限角,sina= ,则 sin2a=

12

(5)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=-4,则该椭圆的方程为

(6)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1,Sn=2an+1,则 sn=

(7)6 位选手依次演讲,其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 A 240 种 B 360 种 C480 种 D720 种 (8) 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2, 1= CC 的距离为 ,E 为 CC1 的中点, 则直线 AC1 与平面 BED

(9)△ABC 中,AB 边的高为 CD,

|a|=1,|b|=2,则

(10)已知 F1、F2 为双曲线 C:X2-Y2=2 的左、右焦点,点 p 在 c 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2 =

(11)已知 x=lnπ ,y=log52 ,z= ,则 A x<y<z Bz<x<y

Cz<y<x

Dy<z<x

(12) 正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF= ,动点 p 从 E 出发沿 直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 p 第一次碰到 E 时,p 与正方形的边碰撞的次数为 A 8 B6 C4 D3 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上(注意:在试题卷上作答 ........... 无效) ... (13) 的展开式中 的系数为____________.

(14) 若 x、y 满足约束条件 (15)当函数 y=sinx(16)一直正方体 ABCD-

则 z = 3x – y 的最小值为_____________. 取得最大值时,x=_____________. 中,E、F 分别为 的中点,那么一面直线 AE 与 所成

角的余弦值为____________. 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) ..............
13

△ABC 中,内角 A、B、C 成等差数列,其对边 a、b、c 满足 (18) (本小题满分 12 分) (注意:......... 已知数列{ . .. 在试题卷上作答无效) . . (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 的通项公式。

,求 A。 }中, =1, n 项和 前 。

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱 形,PA 底面 ABCD,AC= PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC。

(I) 证明 PC 平面 BED; (II) 设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 (20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定,一局比赛,双方比 分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负 方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立。 甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (I) 求开球第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (II) 求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率。 (21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)已知函数 (I) (II) 讨论 f(x)的单调性; 设 f(x)有两个极值点 上,求α 的值。 ( 22 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ( 注 意 : 在 试 题 卷 上 作 答 无 效 ) 已 知 抛 物 线 C : 有一个公共点 A,且在 A 处两曲线的切线与同一直线 (I) 求 r; 与圆 若过两点 的直线 I 与 x 轴的交点在曲线

(II) 设 m、n 是异于 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 的距离。

14


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