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第02讲 数轴——数与形的第一次碰撞


数轴—— ——数与形的第一次碰撞 第 02 讲 数轴——数与形的第一次碰撞
为了学好有理数的概念,使思维适应数集的扩充,我们把现实生活中大量的有关模型, 如直尺,杠杆,温度计,仪表上的刻度,所具有的本质属性抽象化,建立起数轴模型.数轴 的建立,赋予了抽象的代数概念以直观表象. 数学一开始就是研究"数"和"形"的,从古希腊时期起,人

们就已试图把它们统一起 来. 数与形有着密切的联系,我们常用代数的方法研究图形问题;另一方面,也利用图形来 处理代数问题,这种数与形相互作用,是一种重要的数学思想——数形结合思想. 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系, 现阶段, 数轴是联系数与形的 桥梁,主要体现在: 1.运用数轴直观地表示有理数; 2.运用数轴形象地解释相反数; 3.运用数轴准确地比较有理数的大小; 4.运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题. 例题 【例 1】(1)数轴上有 A,B 两点,如果点 A 对应的数是一 2,且 A,B 两点的距离为 3, 那么点 D 对应的数是 . (江苏省竞赛题) (2)在数轴上,点 A,B 分别表示

1 1 和 ,则线段 AB 的中点所表示的数是 3 5

.

思路点拨 (1)确定 B 点的位置;(2)在数轴上选择两个特殊点,探索它们的中点所表示 的数与所选两点所表示的数的联系. 【例 2】 如图,在数轴上有六个点,且 AB=BC=CD=DE=EF,则与点 C 所表示的数最接 近的整数是( ) .

思路点拨 利用数轴提供的信息,求出 AF 的长度.

1 的大小. a 若把各个范围在 思路点拨 因为 a 表示的数有任意性,直接比较常会发生遗漏的现象, 1 1 数轴上表示出来,借助数轴讨论它们的大小,则形象直观,解题的关键是由 a = , 无意 a a 义得出 a = 1, 1,,据此 3 个数把数轴分为 6 个部分. 0
【例 3】比较 a 与 【例 4】 (1)阅读下面材料并回答问题. 28. (1)阅读下面材料:点 A,B 在数轴上分别表示实数 a,b,A,B 两点之间的距离表示为 |AB|. 当 A,B 两点中有一点在原点时,不妨设点 A 在原点,如图 1,|AB|=|OB|=|b| =|a-b| 当 A,B 两点都不在原点时, ①如图 2, A, 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|= b- a=|a - 点 B b|; ②如图 3,点 A,B 都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|= b- a=|a

- b|; ③如图 4, A, 在原点的两边, 点 B |AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=- b- (- a)=|a - b|; 综上,数轴上 A,B 两点之间的距离|AB|=|a-b|.

(2)回答下列问题: , 数轴上表示-2 和-5 的两点之间的 ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 距离是 ,数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是 ; ②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ,如果|AB|=2 用么 x 为; ③当代数式|x+1|十|x-2|取最小值时,相应的 x 的取值范围是 .

注: 有效地从图形,图表获取信息是信息社会的基本要求. 从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧,主要包括: (1)数轴上堵塞点所表示的数是正负性; (2)数轴上的点到原点的距离. (1)字母表示数是代数的特点,但字母具有抽象性,所以在条件允许的范围内赋予宇母 以特殊值来计算,判断或探求解题思路,能化抽象为具体,这就是我们常说的"赋值法" , 但这种方法不能作为解题的规范过程. (2)纯粹的代数的方法比较抽象,如能借助图形(利用数形结合的思想方法),则可使许多 抽象的概念和复杂的数量关系直观化,形象化,甚至简单化. (2)试求|x-1|十|x-2|+|x-3|+…|x-1997|的最小值. (天津市竞赛题)

思路点拨 对于(1),阅读理解从数轴上看, a b 的意义;对于(2)由于 x 的任意性, 无限性,因此,通过逐个求出代数式的值解题明显困难,不妨从绝对值的几何意义,利用数 轴入手,借助(1)的结论解题. 【例 5】 (1)工作流水线上顺次排列 5 个工作台 A,B,C,D,E,一只工具箱应该放在何处, 才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短? (2)如果工作台由 5 个改为 6 个,那么工具箱应如何放置能使 6 个操作机器的人取工具 所走的路程之和最短? (3)当流水线上有 n 个工作台时,怎样放置工具箱最适宜? 思路点拨 把流水线看作数轴,工作台,工具箱看作数轴上的点,这样,就找到了解决 本例的模型——数轴,将问题转化为例 4 的形式求解.

学力训练 1.在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 3,则 a 3 =

.

2. a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则

1 1 1 , , 中最大的是 ab cb ac

.

若 3. 有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示, m = a + b b 1 a c 1 c 则 1000m= . ( "希望杯"邀请赛试题)

, 则,

4.如图,工作流程线上 A,B,C,D 处各有 1 名工人,且 AB=BC=CD=1,现在工作流 程线上安放一个工具箱,使 4 个人到工具箱的距离之和为最短,则工具箱的安放位置是 .

5.有理数在数轴上的位置如图,化简 a + b c b 的结果为( A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c

).

6.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距 1 个单位,点 A,B,C,D 对应的数分别 ). 是整数 a,b,c,d ,且 d 2a =10,那么数轴的原点应是( A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点

7. x + 1 + x 1 的最小值是( A.2 B.0 C.1

). D.一 l

8.数 a,b,c,d 所对应的点 A,B,C,D 在数轴上的位置如图所示,那么 a + c 与 b + d 的大小关系是( ).(江苏省竞赛题) A. a + c < b + d B. a + c = b + d C. a + c > b + d D.不确定的

9.有理数 a,b 满足 a > 0 ,b < 0 , a < b ,用"<"将 a,b, a, b 连接起来

.

10. x + 1 + x 2 + x 3 的最小值是

.

11.若 a > 0,b < 0 ,则使 x a + x b = a b 成立的 x 取值范围是

.

12. 如图, B, D, 为数轴上的五个点. AB=BC=CD=DE, A, C, E 且 则图中与 P 点表示的数比较接近的一个数是( ) . A.一 l B.1 C3 D.5

13.不相等的有理数 a,b,c 在数轴上对应点分别为 A,B,C,若 a b + b c = a c , 那么点 B( ). A.在 A,C 点右边

B.在 A,C 点左边 C.在 A,C 点之间

D.以上均有可能

14.试求 x 2 + x 4 + x 6 + + x 2000 的最小值.

15.某城镇沿环形路上依次排列有五所小学:A1,A2,A3,A4,A5,它们顺次有电脑 15 台, 7 台,11 台,3 台,14 台,为使各校的电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问 怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最 少总台数. (湖北省荆州市竞赛题).

参考答案

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